1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Заметим теперь, что F и A — непересекающиеся замкнутые множества. Поэтому µ∗ (F ∪A) =µ∗ (F ) + µ∗ (A). Таким образом, используя монотонность внешней меры, мы получим:µ∗ (G) > µ∗ (F ∪ A) = µ∗ (F ) + µ∗ (A) > µ∗ (F ) + µ∗ (G \ F ) − ε,откуда, в силу произвольности ε, следует требуемое неравенство µ∗ (G) > µ∗ (F )+µ∗ (G\F ).Лекция №14. 17.10.2016.В заключение этого пункта введем одно важное, очень часто используемое понятие.Определение 11.2.12. Скажем, что множество A ⊂ Rn является множеством мерынуль, если µ∗ (A) = 0.•Замечание 11.2.13. Согласно определению внешней меры, для того, чтобы A было множеством меры нуль, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовалотакое∑покрытие множества A не более чем счетным семейством параллелепипедов {Ik },•что k m(Ik ) < ε.Одно множество меры нуль мы уже знаем.
После теоремы 11.2.5 было показано, чтоµ (∅) = 0. Рассмотрим другие примеры.∗Пример 11.2.14. а) Точка в Rn является множеством меры нуль. В самом деле, пустьA = {a}, где a ∈ Rn . Воспользуемся замечанием 11.2.13. Возьмем произвольное ε > 0и определим покрытие множества A, состоящее из одного параллелепипеда I = {x ∈Rn | |xi − ai | < (ε/3)1/n , i = 1, . . . , n}. Нетрудно посчитать, что m(I) = 2ε/3 < ε.б) Из счетной полуаддитивности внешней меры следует, что счетное множество точек вRn является множеством меры нуль.в) Пусть A — отрезок одной из координатных осей в Rn , например, A = {x ∈ Rn | 0 6 x1 61, xi = 0, i = 2, . . . , n}. Для произвольного ε > 0 опять определим покрытие множества Aодним параллелепипедом I = {x ∈ Rn | 0 6 x1 6 1, |xi | < (ε/3)1/(n−1) , i = 2, .
. . , n}. Тогдаm(I) = 2ε/3 < ε и поэтому A является множеством меры нуль.•Множества меры нуль могут иметь очень сложную структуру. Со временем, в процессеизучения теории меры, мы сможем разобрать более содержательные примеры множествмеры нуль. Пока же предложим читателю следующее упражнение.Упражнение 11.2.15.
Доказать, что отрезок A = {x ∈ Rn | 0 6 x1 = . . . = xn 6 1}является множеством меры нуль в Rn .•Если какое-либо утверждение справедливо для всех точек множества A ⊂ Rn , кроменекоторого множества меры нуль, то говорят, что это утверждение справедливо почтивсюду в A или для почти всех точек множества A.5011.2.2Измеримые множества и мера ЛебегаОпределение 11.2.16. Множество A ⊂ Rn измеримо (по Лебегу), если для любого ε > 0найдутся замкнутое множество F и открытое множество G, такие, что F ⊂ A ⊂ G иµ∗ (G \ F ) < ε.
Совокупность измеримых множеств будем обозначать через M.•Пример 11.2.17. а) Пустое множество ∅ и Rn измеримы, так как они и открыты, изамкнуты. В самом деле, для ∅ мы можем взять F = G = ∅, для Rn положим F = G = Rn .В обоих случаях µ∗ (G \ F ) = µ∗ (∅) = 0 < ε для любого ε > 0.б) Любой параллелепипед I является измеримым множеством.
Согласно пункту 2 замечания 11.2.1 для любого ε > 0 существуют такие замкнутый и открытый параллелепипедыJF и JG , что JF ⊂ I ⊂ JG и m(I) < m(JF ) + ε/2, m(JG ) < m(I) + ε/2. Возьмем F = JF иG = IG . Тогда в силу теорем 11.2.11 и 11.2.6µ∗ (G \ F ) = µ∗ (G) − µ∗ (F ) = m(G) − m(F ) < m(I) + ε/2 − m(I) + ε/2 = ε,откуда следует измеримость I.в) Если A — множество меры нуль, то A измеримо. Действительно, пусть ε — произвольноеположительное число. Возьмем в качестве F пустое множество, а в качестве G — объеди∞нение∑∞ такого счетного семейства открытых параллелепипедов {Ik }, что A ⊂ G = ∪k=1 Ik иk=1 m(Ik ) < ε.
Такое семейство существует в силу замечания 11.2.13 и пункта 3 замечания 11.2.3. Таким образом,µ∗ (G \ F ) = µ∗ (G) 6∞∑µ∗ (Ik ) =k=1∞∑m(Ik ) < εk=1•и множество A измеримо.Изучим некоторые свойства измеримых множеств, которые упростят процедуру определения измеримости того или иного множества. Кроме того, эти свойства позволят определить структуру множества M.
Наша цель — показать, что M является σ-алгеброй.Теорема 11.2.18. Если A ∈ M, то (Rn \ A) ∈ M.Доказательство. Зафиксируем произвольное ε > 0. Если A измеримо, то существуют такиезамкнутое множество F и открытое множество G, что F ⊂ A ⊂ G и µ∗ (G \ F ) < ε. ТогдаRn \G является замкнутым множеством, а Rn \F — открытым. Кроме того, (Rn \G) ⊂ (Rn \A) ⊂ (Rn \F ).
Утверждение теоремы следует теперь из того, что (Rn \F )\(Rn \G) = G\F .Теорема 11.2.19. Если множества A и B измеримы, то измеримы и множества A∩B,A ∪ B и A \ B.Доказательство. Сначала докажем, что множество A ∩ B измеримо. Зафиксируем произвольное ε > 0. Поскольку множества A и B измеримы, существуют такие замкнутыемножества FA , FB и открытые множества GA , GB , что FA ⊂ A ⊂ GA , FB ⊂ B ⊂ GB иµ∗ (GA \ FA ) < ε/2, µ∗ (GB \ FB ) < ε/2.51Определим множества F = FA ∩ FB и G = GA ∩ GB .
Очевидно, что F — замкнуто, G— открыто и F ⊂ (A ∩ B) ⊂ G. Кроме того,G \ F = (GA ∩ GB ) \ (FA ∩ FB ) ⊂ (GA \ FA ) ∪ (GB \ FB ).Отсюда в силу монотонности и полунепрерывности внешней меры мы получим:µ∗ (G \ F ) 6 µ∗ (GA \ FA ) + µ∗ (GB \ FB ) < ε/2 + ε/2 = ε.Следовательно A ∩ B — измеримое множество.Измеримость множества A ∪ B следует из( теоремы 11.2.18, первогоутверждения дока)зываемой теоремы и того, что A ∪ B = Rn \ (Rn \ A) ∩ (Rn \ B) .Наконец, множество A \ B измеримо, поскольку A \ B = A ∩ (Rn \ B).Докажем один полезный критерий измеримости множества.Теорема 11.2.20. Для того, чтобы ограниченное множество A было измеримым, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое замкнутое множество F ⊂ A, что µ∗ (A) < µ∗ (F ) + ε.Доказательство.
Необходимость. Если A измеримо, то, по определению, существуют такиезамкнутое и открытое множества F и G, что F ⊂ A ⊂ G и µ∗ (G \ F ) < ε. Заметим, чтов силу ограниченности A множество G тоже можно взять ограниченным. В самом деле,если множество A ограничено, то существует такой открытый шар B, что A ⊂ B. Еслимножество G не является ограниченным, то вместо G мы возьмем множество G∩B. Теперьв силу теоремы 11.2.11 и монотонности внешней мерыµ∗ (A) 6 µ∗ (G) = µ∗ (F ) + µ∗ (G \ F ) < µ∗ (F ) + ε.Достаточность. Зафиксируем произвольное ε > 0.
Пусть F — такое замкнутое множество,что F ⊂ A и µ∗ (A) < µ∗ (F ) + ε. По определению внешней меры существует∑такое счетное∞∗семейство открытых параллелепипедов {Ii }, что A ⊂ ∪∞i=1 Ii и µ (A) >i=1 m(Ii ) − ε.Возьмем G = ∪∞I.G—открытоемножествоиA⊂G.Всилусчетнойполуаддитивностиi=1 i∑внешней меры µ∗ (G) 6 ∞i=1 m(Ii ). Поэтому, используя теорему 11.2.11, мы получим:µ∗ (G \ F ) = µ∗ (G) − µ∗ (F ) < µ∗ (G) − µ∗ (A) + ε <∞∑i=1m(Ii ) −∞∑m(Ii ) + ε + ε = 2ε.i=1Из этого неравенства следует измеримость множества A. Заметим,что при выводе послед∑m(Iнего неравенства мы использовали ограниченность суммы ∞i ), которая следует изi=1ограниченности множества A.Из доказанной теоремы и теоремы 11.2.10, в частности, следует, что любое ограниченное открытое множество является измеримым.Лемма 11.2.21.
Пусть {Ak } — последовательность непересекающихся измеримых множеств, содержащихся ∑в некотором параллелепипеде I. Если A = ∪∞k=1 Ak , то множество∗µ(A).A измеримо и µ∗ (A) = ∞kk=152I Воспользуемся теоремой 11.2.20. В силу ограниченности и измеримости множеств Akдля произвольного ε > 0 существуют такие замкнутые множества Fk ⊂ Ak , чтоµ∗ (Ak ) < µ∗ (Fk ) +Ряд∑∞k=1ε2k+1.µ∗ (Fk ) сходится, поскольку, согласно следствию 11.2.8,ℓ∑()µ∗ (Fk ) = µ∗ ∪ℓk=1 Fk 6 µ∗ (I) < ∞k=1для каждого ℓ ∈ N.
Поэтому сходится и ряд∗µ (A) 6∞∑∑∞∗k=1µ (Ak ) <k=1µ∗ (Ak ). Отсюда следует, чтоℓε∑µ∗ (Ak ) +k=1ε2εдля некоторого ℓε ∈ N. Определим множество F = ∪ℓk=1Fk . Оно принадлежит A и замкнуто, так как является объединением конечного числа замкнутых множеств. Поэтомуµ∗ (A) <ℓε∑µ∗ (Ak ) +k=1ℓεℓε∑( ε) ε εεε ∑εµ∗ (Fk ) +<+ = µ∗ ∪ℓk=1Fk + + = µ∗ (F ) + ε,k+12 k=1222 2k=1откуда следует измеримость множества A.Докажем теперь равенство, фигурирующее в утверждении леммы. Для произвольногоℓ ∈ N мы имеем:ℓ∑( ℓ) εεε∗µ (Fk ) +µ (Ak ) <<µ∪F+ 6 µ∗ (A) + ,kk=1k+1222k=1k=1k=1ℓ∑∗ℓ∑∗поскольку ∪ℓk=1 Fk ⊂ A. Учитывая произвольность ℓ и ε, мы получаем неравенство∞∑µ∗ (Ak ) 6 µ∗ (A).k=1Так как противоположное неравенство справедливо в силу счетной полуаддитивностивнешней меры, требуемое равенство доказано.JЛекция №15.
20.10.2016.В следующей теореме мы избавимся от условия принадлежности множеств некоторомупараллелепипеду, то есть от их ограниченности.Теорема 11.2.22 (Счётная аддитивность внешней меры на измеримых множествах). Длялюбой последовательности {Ai }∑непересекающихся измеримых множеств, множество∞∗∗Aизмеримоиµ(A)=A = ∪∞i=1 ii=1 µ (Ai ).53Доказательство.
Пусть {Ij } — такая последовательность непересекающихся параллелепипедов, что Rn = ∪∞j=1 Ij . Например, мы можем взять в качестве такой последовательностисовокупность всех элементарных кубов какого-либо порядка. Введем следующие множества:Aij = Ai ∩ Ij , Bj = ∪∞i=1 Aij .Множества Aij являются измеримыми и непересекающимися. То же самое справедливои для множеств Bj . Их измеримость следует из леммы 11.2.21, а не пересекаются они,поскольку лежат в разных параллелепипедах Ij .Докажем измеримость множества A.
Заметим, что A = ∪∞j=1 Bj . Зафиксируем произвольное ε > 0. Для каждого j ∈ N множество Bj является измеримым, поэтому существуют такие замкнутое и открытое множества Fj и Gj , что Fj ⊂ Bj ⊂ Gj и µ∗ (Gj \ Fj ) < ε/2j .∞Возьмем F = ∪∞j=1 Fj и G = ∪j=1 Gj . Очевидно, что F ⊂ A ⊂ G, множество G является открытым, а вот замкнутость множества F — не столь очевидный факт. Мы доказали ранее,что объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.Здесь у нас — счетное объединение. Тем не менее, F — замкнутое множество.
Чтобы установить этот факт вспомним, что множество является замкнутым, если оно содержит всесвои предельные точки. Пусть x0 — предельная точка множества F . Любой открытыйшар, содержащий эту точку, пересекается только с конечным набором параллелепипедовIj , а значит, с конечным набором множеств Fj . Но объединение множеств Fj из этого конечного набора является замкнутым множеством и поэтому содержит предельную точкуx0 .
Следовательно x0 содержится и в F . Таким образом, F — замкнутое множество.Для доказательства измеримости A мы оценим внешнюю меру множества G \ F . Заметим, что∞G \ F = ∪∞j=1 (Gj \ F ) ⊂ ∪j=1 (Gj \ Fj ).Поэтому, используя монотонность и счетную полуаддитивность внешней меры, мы получим:∞∞∑( ∞) ∑ε∗∗∗µ (G \ F ) 6 µ ∪j=1 (Gj \ Fj ) 6µ (Gj \ Fj ) <= ε.2jj=1j=1Отсюда следует, что множество A измеримо.Теперь докажем равенство из утверждения теоремы. Сначала заметим, что Ai = ∪∞j=1 Aijдля всех i ∈ N. Кроме того, из леммы 11.2.21 следует, что∗µ (Bj ) =∞∑µ∗ (Aij ).i=1Поэтому, в силу счетной полуаддитивности внешней меры,∞∑i=1µ∗ (Ai ) =∞∑∞ ∑∞∞ ∑∞∞∑∑) ∑(∗∗A6µ∗ ∪∞µ(A)=µ(A)=µ∗ (Bj ).ijijj=1 iji=1 j=1i=1j=1 i=1j=1Здесь мы имеем право поменять порядок суммирования, так как все члены двойного рядаявляются неотрицательными. Далее, для каждого k ∈ N множества B1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
