1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Нетрудно посчитать, что µ(Gk ) =2k R2 tg π/2k для всех k > 2. Аналогично предыдущему рассуждению мы найдем, чтоk 2k2µ(A) 6 µ(∩∞k=2 Gk ) = lim µ(Gk ) = lim 2 R tg π/2 = πR .k→∞k→∞Таким образом, из полученных двух неравенств мы получаем, что µ(A) = πR2 .•Пример 11.2.41 (Эллипс). Посчитаем меру Лебега эллипса Ay = {y ∈ R2 | (y1 /a)2 +(y2 /b)2 6 1}, где a > 0 и b > 0. Нетрудно видеть, что Ay = ΛAx , где Ax = {x ∈ R2 | x21 +x22 61} — круг единичного радиуса, Λ — линейное отображение, задаваемое формулами: y1 =ax1 , y2 = bx2 . Заметим, что det Λ = ab.
Поэтому, используя теорему 11.2.37 и предыдущийпример, мы получим:µ(Ay ) = |det Λ| µ(Ax ) = πab.•Пример 11.2.42 (Множество Кантора). Разобьем отрезок [0, 1] на три равные по длинечасти I11 , I12 и I13 . и отбросим интервал•6511.311.3.1Измеримые функцииПонятие измеримой функцииПерейдем от понятия измеримого множества к понятию измеримой функции.
Пусть X —измеримое множество в Rn .Определение 11.3.1. Функция f : X → R называется измеримой (по Лебегу), если длялюбого числа c ∈ R множество {x ∈ X | f (x) < c} измеримо.•Замечание 11.3.2. Даже если мы не будем предполагать, что X — измеримое множество,это свойство следует из измеримости функции f : X → R. Действительно, посколькумножество Xk = {x ∈ X | f (x) < k} измеримо для каждого k ∈ N, измеримым будет и•множество X = ∪∞k=1 Xk , так как измеримые множества образуют σ-алгебру.Утверждение 11.3.3. Для того, чтобы функция f : X → R была измеримой, необходимо и достаточно, чтобы для каждого c ∈ R были измеримы множества {x ∈ X | f (x) 6c}, {x ∈ X | f (x) > c} и {x ∈ X | f (x) > c}.Доказательство.
Пусть f : X → R — измеримая функция. Тогда для любого c ∈ R измеримыми являются множества{x ∈ X | f (x) 6 c} = ∩k∈N {x ∈ X | f (x) < c + 1/k},{x ∈ X | f (x) > c} = X \ {x ∈ X | f (x) 6 c},{x ∈ X | f (x) > c} = X \ {x ∈ X | f (x) < c}.Доказательство обратного утверждения аналогично. Измеримость функции f : X → Rбудет следовать из измеримости любого из перечисленных множеств, поскольку{x ∈ X | f (x) < c} = ∪k∈N {x ∈ X | f (x) 6 c − 1/k},{x ∈ X | f (x) < c} = ∪k∈N X \ {x ∈ X | f (x) > c − 1/k},{x ∈ X | f (x) < c} = X \ {x ∈ X | f (x) > c}.Лекция №20. 07.10.2016.В этом доказательстве мы существенно использовали тот факт, что измеримые множества образуют σ-алгебру.
Это свойство измеримых множеств позволяет дать и более общееопределение измеримости функции. Для этого вспомним понятие прообраза множества.Как и ранее, если F есть отображение из X в Y , то через F −1 (A) обозначим прообразмножества A ⊂ Y . То есть, F −1 (A) ⊂ X и F −1 (A) = {x ∈ X | F (x) ∈ A}. Отметимпростейшие свойства прообраза. Для произвольных множеств A и B из Y справедливыследующие очевидные соотношения:F −1 (A \ B) = F −1 (A) \ F −1 (B),F −1 (A ∪ B) = F −1 (A) ∪ F −1 (B),F −1 (A ∩ B) = F −1 (A) ∩ F −1 (B).66В этих соотношениях мы могли бы взять и счетные объединения и пересечения множеств.Докажем, например, первое из этих равенств. Оно следует из следующей цепочки равносильных утверждений:x ∈ F −1 (A \ B)⇔F (x) ∈ A \ B ⇔ (F (x) ∈ A) ∧ (F (x) ̸∈ B)⇔ (x ∈ F −1 (A)) ∧ (x ̸∈ F −1 (B)) ⇔ x ∈ F −1 (A) \ F −1 (B).Утверждение 11.3.4.
Для того, чтобы функция f : X → R была измерима, необходимои достаточно, чтобы множество f −1 (I) было измеримо для любого промежутка I ⊂ R(конечного или бесконечного — не важно).Доказательство. Для доказательства достаточности можно взять I = (−∞, c) с произвольным c ∈ R. Если же мы потребуем, чтобы I был конечным промежутком, то (−∞, c) =∪k∈N (−k,( c) и измеримостьf следует из измеримости множества {x ∈ X | f (x) < c} =)∪k∈N f −1 (−k, c) .Необходимость легко следует из утверждения 11.3.3. В самом деле, если, например, I— интервал (a, b) в R, то f −1 (I) = {x ∈ X | f (x) > a} ∩ {x ∈ X | f (x) < b} — измеримоемножество.Следствие 11.3.5.
Функция f : X → R измерима тогда и только тогда, когда множество f −1 (A) измеримо для любого борелевского множества A ⊂ R.◃ Это утверждение следует из свойств прообраза и того, что любое борелевское множество в R может быть получено из интервалов счетным набором операций объединения ипересечения.▹Функция f : X → R называется борелевской, если для любого числа c ∈ R множество{x ∈ X | f (x) < c} является борелевским. Так же, как и выше, нетрудно показать, чтофункция f : X → R является борелевской тогда и только тогда, когда множество f −1 (A)является борелевским для любого борелевского множества A ⊂ R. Поскольку B ⊂ M,каждая борелевская функция измерима.Из последнего наблюдения сразу следует, что непрерывные функции являются измеримыми. Рассмотрим для простоты случай открытого множества X ⊂ Rn .
Если f : X → R— непрерывная функция, то, как мы уже знаем, множество {x ∈ X | f (x) < c} являетсяоткрытым для всех c ∈ R. Следовательно функция f является борелевской и, как следствие, измеримой. Заметим, что её измеримость можно вывести просто из измеримостиоткрытых множеств, не вводя понятие борелевской функции.Отметим простейшие свойства измеримых функций.1.
Любая функция, определённая на множестве меры нуль, является измеримой. В самомделе, если µ(X) = 0, то µ(f −1 (A)) = 0 для любого множества A ⊂ R. Поэтому f −1 (A)измеримо, так как измеримо любое множество меры нуль.2. Если функция f : X → R измерима, то для любого измеримого множества X1 ⊂ Xфункция f : X1 → R также измерима. Это свойство следует из того, что {x ∈ X1 | f (x) <c} есть пересечение измеримых множеств {x ∈ X | f (x) < c} и X1 .3.
Если {Xk } — последовательность измеримых множеств и функция f определена и из∞мерима на каждом из них, то она измерима на ∩∞k=1 Xk и ∪k=1 Xk . Действительно, если∞X = ∩∞k=1 Xk (или X = ∪k=1 Xk ), то множество {x ∈ X | f (x) < c} измеримо, так какявляется пересечением (или объединением) измеримых множеств {x ∈ Xk | f (x) < c}.Мы выведем из этих свойств несколько полезных утверждений.67Теорема 11.3.6. Пусть заданы две функции f, g : X → R. Если функция f измерима иf = g почти всюду в X, то функция g тоже измерима.Доказательство. Здесь нам встретилось введенное в конце п. 11.2.1 понятие выполнениясвойства почти всюду на некотором множестве.
То, что f = g почти всюду в X означаетсуществование такого множества A ⊂ X, что µ∗ (X \ A) = 0 и f (x)) = g(x) для всехx ∈ A. Заметим, что множества A и X \ A измеримы. Второе измеримо, так как являетсямножеством меры нуль, а первое — поскольку A = X \ (X \ A).В силу свойства 2 функция g измерима на A, а в силу свойства 1 она измерима наX \ A.
Тогда, как следует из свойства 3, g измерима на X = A ∪ (X \ A).Докажем теперь утверждение, которое позволит установить измеримость некоторыхсложных функций, исходя из измеримости исходных функций.Теорема 11.3.7. Пусть F : R2 → R — непрерывная функция. Если функции( f, g : X) → Rизмеримы, то измерима функция h : X → R, определённая как h(x) = F f (x), g(x) .Доказательство. Возьмем произвольное c ∈ R и рассмотрим множество G = {(y1 , y2 ) ∈R2 | F (y1 , y2 ) < c}. Поскольку функция F непрерывна, множество G является открытымв R2 . Тогда, в силу леммы 11.2.9, существует такое не более чем счетное семейство непересекающихся параллелепипедов (прямоугольников) {Ik } в R2 , что G = ∪k Ik . Заметим, чтокаждый прямоугольник Ik есть декартово произведение двух промежутков Ik1 и Ik2 из R.Поэтому(){x ∈ X | h(x) < c} = ∪k {x ∈ X | f (x), g(x) ∈ Ik }()()= ∪k {x ∈ X | f (x) ∈ Ik1 } ∩ {x ∈ X | g(x) ∈ Ik2 } = ∪k f −1 (Ik1 ) ∩ g −1 (Ik2 ) .Как следует из утверждения 11.3.4, каждое из множеств f −1 (Ik1 ) и g −1 (Ik2 ) измеримо, поэтому измеримым является и множество {x ∈ X | h(x) < c}.
В силу произвольности cфункция h измерима.Следствие 11.3.8. Если функции f и g измеримы, то измеримы и функции f + g, f · g,|f |, а также 1/f , если f не обращается в нуль.Теперь рассмотрим несколько примеров.Пример 11.3.9. а) Мы уже отмечали, что любая непрерывная функция является измеримой.
В частности, измерима функция, тождественно равная некоторой постоянной.Как следует из свойства 3, кусочно непрерывная функция тоже измерима. Более того,функция может быть непрерывна на каждом из множеств Xk (см. свойство 3), тогда онаизмерима на ∪k Xk . Например, функция x 7→ sgn(sin 1/x) измерима на (0, 1). Если мы какнибудь доопределим её в точке x = 0, то полученная функция будет измерима и на всейчисловой прямой R.б) Функция Дирихле{1, x ∈ [0, 1] ∩ Q,f (x) =0, x ∈ [0, 1] \ Qизмерима. Это следует из теоремы 11.3.6, поскольку f = 0 почти всюду на отрезке [0, 1].Заметим, что функция Дирихле, как мы установили ранее, не измерима по Риману.в) В примере 11.2.27 мы построили неизмеримое множество A ⊂ [0, 1].
Соответственно,неизмеримой будет и характеристическая функция этого множества, то есть функция,которая равна 1 в точках множества A и 0 — в остальных точках.•6811.3.2Последовательности измеримых функцийВ этом пункте мы изучим последовательности измеримых функций и их пределы.Теорема 11.3.10. Пусть {fk : X → R} — последовательность измеримых функций.Если g(x) = sup fk (x) и f (x) = lim fk (x) для всех x ∈ X, то функции g и f измеримы.k→∞k∈NДоказательство. Сначала докажем измеримость функции g. Для произвольного c ∈ R{x ∈ X | g(x) < c} = {x ∈ X | sup fk (x) < c} = ∩k∈N {x ∈ X | fk (x) < c}.k∈NТак как справа стоит пересечение измеримых множеств, множество, стоящее слева, тожеявляется измеримым. Поэтому функция g : X → R измерима.Рассмотрим теперь функцию f .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
