1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Представим множество Ak ввиде объединения∑ не более чем счетной совокупности непересекающихся множеств Akm .Тогда µ(Ak ) = m µ(Akm ) для всех k и∫f dµ =A∑ak µ(Ak ) =k∑ak µ(Akm ).k,mДля каждого фиксированного k функция f принимает на множествах Akm одно и то жезначение ak . Обозначим теперь через {Bℓ } совокупность всех множеств Akm и через bℓ —значение функции f на множестве Bℓ .
То есть, каждое множество Bℓ совпадает с однимиз множеств Akm , A = ∪ℓ Bℓ и bℓ есть одно из чисел ak . Среди bℓ могут быть и одинаковыечисла. Таким образом,∫f dµ =A∑ak µ(Akm ) =∑k,m•bℓ µ(Bℓ ).ℓЛемма 11.4.6. Если f и g — простые интегрируемые на измеримом множестве Aфункции, то функция (f + g) является простой и интегрируемой на A и∫∫∫(f + g) dµ =f dµ +AAg dµ.AI Пусть {ak } и {bk } — множества значений на A функций f и g соответственно и Ak =f −1 (ak ) ∩ A, Bk = g −1 (bk ) ∩ A. Рассмотрим совокупность множеств {Ak ∩ Bm }. Очевидно,что∪m (Ak ∩ Bm ) = Ak ,∪k (Ak ∩ Bm ) = Bm∪k,m (Ak ∩ Bm ) = A.иМножества Ak ∩ Bm являются измеримыми, непересекающимися, и на каждом из нихфункция f + g принимает постоянное значение ak + bm , поэтому эта функция являетсяпростой.
Эта функция интегрируема на A, поскольку интегрируемы на A функции f и g:∑|ak + bm | µ(Ak ∩ Bm ) 6k,m=∑∑(|ak | + |bm |) µ(Ak ∩ Bm )k,m|ak | µ(Ak ∩ Bm ) +k,m∑|bm | µ(Ak ∩ Bm ) =k,m∑|ak | µ(Ak ) +∑|bm | µ(Bm ) < ∞.mkНаконец,∫(f + g) dµ =A∑∑∑(ak + bm ) µ(Ak ∩ Bm ) =ak µ(Ak ∩ Bm ) +bm µ(Ak ∩ Bm )k,mk,m=∑ak µ(Ak ) +∑mkk,m∫bm µ(Bm ) =∫f dµ +Ag dµAJи лемма полностью доказана.7311.4.2Интеграл ЛебегаВ этом пункте мы распространим понятие интегрируемости с простых на более широкийкласс функций.Определение 11.4.7. Функция f : X → R называется интегрируемой (или суммируемой) на измеримом множестве A ⊂ X, если существует последовательность простыхинтегрируемыхна A функций {fk }, сходящаяся к f равномерно на A.
При этом число∫limk→∞ ∫ A fk dµ называется интегралом Лебега от функции f по множеству A и обозначается A f dµ. Множество интегрируемых на A функций мы обозначим через L(A) . •Замечание 11.4.8. Необходимо сделать два замечания, касающихся корректности этогоопределения.а) Если {fk } — последовательность простых интегрируемыхна множестве A функций,∫которая сходится равномерно на A, то существует limk→∞ A fk dµ.
В самом деле, справедлива оценка∫ ∫∫|fk − fm | dµ 6 sup |fk (x) − fm (x)| µ(A).fm dµ 6 fk dµ −Ax∈AAAПоскольку последовательность {fk } сходитсяна A равномерно, из критерия Коши следует,∫что последовательность интегралов A fk dµ сходится, а поэтому и существует указанныйвыше предел.∫б) Предел limk→∞ A fk dµ не зависит от выбора равномерно сходящейся последовательности простых функций {fk }. Другими словами, если последовательности простых∫ интегрируемых∫функций {fk } и {gk } сходятся к f равномерно на множестве A, то limk→∞ A fk dµ =limk→∞ A gk dµ.Действительно, составим новую последовательность простых интегрируемых функцийhm , такую, что h2m−1 = fm и h2m = gm для всех m ∈ N. То есть, в этой последовательности на нечетных местах стоят функции fm , а на четных — функции gm .
Последовательность {hm } сходится равномерно к функцииf , поэтому, как следует из пункта (а) этого∫замечания, существует предел lim∫ m→∞ A hm dµ. Следовательно все частичные пределыпоследовательности интегралов A hm dµ совпадают. Это означает, что∫∫∫∫limfm dµ = limh2m−1 dµ = limh2m dµ = limgm dµ,m→∞Am→∞m→∞Am→∞AA•что и требовалось доказать.Отметим некоторые простейшие свойства интеграла Лебега.∫∫1◦ . Если f ∈ L(A) и α ∈ R, то αf ∈ L(A) и A αf dµ = α A f dµ.◃ Так как f ∈ L(A), существует последовательность {fk } простых интегрируемых на Aфункций, сходящаяся к f равномерно на A. Тогда {αfk } — последовательность простыхинтегрируемых функций, которая сходится к αf равномерно на A. Поэтому αf ∈ L(A) и∫∫∫∫αf dµ = limαfk dµ = α limfk dµ = α f dµ.▹Ak→∞k→∞A2◦ .
Если f, g ∈ L(A), то (f + g) ∈ L(A) и∫AA(f + g) dµ =74A∫Af dµ +∫Ag dµ.◃ Здесь доказательство аналогично, но опирается на лемму 11.4.6. Поскольку f, g ∈ L(A),существуют последовательности простых интегрируемых функций {fk } и {gk }, которыесходятся равномерно на A к функциям f и g соответственно. Последовательность простыхинтегрируемых функций {fk + gk } сходится равномерно на A к функции f + g, поэтомуf + g ∈ L(A) и∫∫∫(f + g) dµ = lim (fk + gk ) dµ = lim fk dµ + lim gk dµ =f dµ +g dµ.▹k→∞Ak→∞k→∞AAЭти два свойства выражают факт линейности интеграла Лебега.3◦ . Если f ∈ L(X), то f ∈ L(A) для любого измеримого множества A ⊂ X.◃ Если f ∈ L(X), то существует последовательность {fk } простых интегрируемых наX функций, сходящаяся к f равномерно на X.
Следовательно, эта последовательностьсходится к f равномерно на A. Остается заметить, что из интегрируемости некоторойпростой функции g на множестве X вытекает её интегрируемость на A. В самом деле,если {bm } — множество значений этой функции в X и Bm = g −1 (bm ) ⊂ X, то∑∑|bm | µ(Bm ∩ A) 6|bm | µ(Bm ).▹mm4◦ . Если f : A → R — произвольная функция и µ(A) = 0, то f ∈ L(A) и∫Af dµ = 0.◃ Поскольку любая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима, функция fявляется измеримой.
Согласно теореме 11.4.1 существует последовательность {fk } простых функций, которая сходится к функции f равномерно на A. Если простая функция gзадана на множестве A меры нуль, то она интегрируема на этом множестве. В самом деле,пусть {bm } — множество значений этой функции в A и Bm = g −1 (bm ).
Тогда, посколькуBm ⊂ A для всех m,∑∑|bm | µ(Bm ) 6|bm | µ(A) = 0 < ∞.∫mmЗаметим, что A g dµ = 0, так как µ(Bm ) = 0 для всех m. Таким образом, функции fkявляются простыми и интегрируемыми на A. Следовательно f ∈ L(A) и∫∫f dµ = limfk dµ = 0,Aпоскольку, как мы уже установили,функции g.k→∞∫AAg dµ = 0 для любой простой интегрируемой на A▹Лекция №23. 17.11.2016.5◦ .
(Аддитивность интеграла Лебега) Если A1 и Aнепересекающиеся∫ 2 — измеримые∫∫множества и f ∈ L(A1 ) ∩ L(A2 ), то f ∈ L(A1 ∪ A2 ) и A1 ∪A2 f dµ = A1 f dµ + A2 f dµ.◃ Так как f ∈ L(Ai ), i = 1, 2, существуют последовательности {fki } простых интегрируемых на Ai , функций, которые сходятся к f равномерно на Ai , i = 1, 2. Определимпоследовательность простых функций{fk1 (x), x ∈ A1 ,fk (x) =fk2 (x), x ∈ A2 .75Очевидно, что {fk } — последовательность простых интегрируемых на A1 ∪ A2 функций,которая сходится к f равномерно на A1 ∪ A2 . Поэтому f ∈ L(A1 ∪ A2 ). Фигурирующее вутверждении равенство следует из того, что для всех k∫∫∫1fk dµ =fk dµ +fk2 dµ.▹A1 ∪A2A16◦ . Если f ∈ L(A) и µ(A △ B) = 0, то f ∈ L(B) иA2∫f dµ =A∫Bf dµ.◃ Во-первых, заметим, что из измеримости A следует измеримость B, так как B = (A ∩B) ∪ (B \ A) и A ∩ B = A \ (A \ B), а B \ A и A \ B являются множествами меры нуль, какподмножества множества A △ B.
В силу свойств 3◦ , 4◦ и 5◦ , f ∈ L(A ∩ B) и, как следствие,f ∈ L(B). Используя теперь свойства 4◦ и 5◦ , мы получим:∫∫∫∫∫∫∫▹f dµ =f dµ +f dµ =f dµ =f dµ +f dµ =f dµ.BA∩BB\AA∩BA∩BA\B7◦ . Если f ∈ L(A) и g(x) = f (x) для почти всех x ∈ A, то g ∈ L(A) иA∫g dµ =A∫Af dµ.◃ Заметим, что из теоремы 11.3.6 следует, что функция g измерима на A. Если g(x) = f (x)для всех x из некоторого множества B ⊂ A, то множество B, очевидно, измеримо иµ(A \ B) = 0. Как следует из свойств 3◦ , 4◦ и 5◦ ,∫∫∫∫∫∫∫g dµ =g dµ +g dµ =f dµ =f dµ +f dµ =f dµ.▹ABA\BBBA\B8◦ .
Для любого измеримого множества A ⊂ X справедливо равенство:где функция χA : X → R определяется следующим образом{1, x ∈ A,χA (x) =0, x ∈ X \ AA∫XχA dµ = µ(A),и называется характеристической функцией множества A.◃ Это свойство очевидно, так как χA является простой интегрируемой функцией и∫χA dµ = 1 · µ(A) + 0 · µ(X \ A) = µ(A).▹XВ этом свойстве мы можем взять A = X и получить, что∫dµ = µ(X).XТеперь докажем несколько более сложных утверждений.Теорема 11.4.9. Если функция f : X → R измерима, то f ∈ L(X) тогда и толькотогда, когда |f | ∈ L(X).76Доказательство.
Введем два непересекающихся множества:X − = {x ∈ X | f (x) < 0}.X + = {x ∈ X | f (x) > 0},Из измеримости функции f следует, что множества X + и X − являются измеримыми.Кроме того, X = X + ∪ X − . Теперь мы можем доказать утверждение теоремы.Необходимость. Если f ∈ L(X), то, как следует из свойства 3◦ , f ∈ L(X + )∩L(X − ). Поэтому,в силу свойства 5◦ , |f | ∈ L(X), так как{f (x),x ∈ X +,|f |(x) =−f (x), x ∈ X − .Достаточность. Если |f | ∈ L(X), то опять же из свойства 3◦ следует, что |f | ∈ L(X + ) ∩L(X − ) и, в силу свойства 5◦ , что f ∈ L(X), поскольку{|f (x)|,x ∈ X +,f (x) =−|f (x)|, x ∈ X − .Замечание 11.4.10.
Нужно ли в формулировке теоремы специально оговаривать, чтофункция f измерима на множестве X? Для доказательства необходимости это условие ненужно, так как оно следует из того, что f ∈ L(X). Однако, мы не можем обойтись безэтого условия при доказательстве необходимости.
Может случиться так, что функция |f |измерима на X, а f — нет. В самом деле, пусть X = [0, 1], A — неизмеримое множество вX, например, построенное в примере 11.2.27, и f = 2 χA − 1, где χA — характеристическаяфункция множества A (её определение дано в свойстве 8◦ ). Тогда |f (x)| = 1 при x ∈ X,поэтому |f | — измеримая функция. В то же время, функция f измеримой не является,поскольку не является измеримой функция χA .•Теперь изучим порядковые свойства интеграла Лебега.Теорема 11.4.11.Пусть A — измеримое множество. Если f ∈ L(A) и f > 0 почти∫всюду в A, то A f dµ > 0.Доказательство. Зафиксируем произвольное ε > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
