1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Также, как и в предыдущем случае,для множества A типа Gδ соответствующая последовательность {Ak } может быть выбрана«сужающейся», то есть такой, что Ak ⊃ Ak+1 для всех k ∈ N. Для выполнения этогосвойства необходимо вместо {Ak } рассмотреть последовательность множеств Bk = ∩ki=1 Ai .Тогда все множества Bk будут открытыми (как пересечение конечного числа открытыхмножеств), Bk ⊃ Bk+1 для всех k ∈ N и A = ∩∞k=1 Bk .Очевидно, что множества типов Fσ и Gδ являются борелевскими. Приведем несколькопростых примеров.Пример 11.2.28.

а) Точка в Rn является борелевским множеством. Более того, точкакак и любое замкнутое множество является множеством типа Fσ . Точка является и множеством типа Gδ , поскольку она есть пересечение последовательности открытых шароврадиуса 1/k, для которых она является центром.б) Интервал (a, b) вещественной оси есть множество типа Gδ , поскольку он является открытым множеством. Он также является множеством типа Fσ , так как (a, b) = ∪∞k=1 [a +581/k, b − 1/k]. Вообще, нетрудно показать, что любое открытое или замкнутое множествов Rn является множеством и типа Gδ , и типа Fσ .в) Есть ли множества, которые не являются борелевскими? Конечно! Например, неизмеримые множества не являются и борелевскими.

Существуют и измеримые множества, которые не являются борелевскими, но доказательство этого факта выходит за рамки нашегокурса. Ниже будет доказана теорема, связывающая измеримые и борелевские множества.Множество рациональных точек на вещественной прямой является множеством типаFσ , но не является множеством типа Gδ .

Первое из этих утверждений очевидно, так какмножество рациональных точек счетно, а точка — замкнутое множество. Доказательствовторого выходит за рамки нашего курса.•Лекция №17. 27.10.2016.Лемма 11.2.29. Для того, чтобы A ⊂ Rn было множеством типа Gδ , необходимо идостаточно, чтобы Rn \ A было множеством типа Fσ .I Докажем достаточность. Если A является множеством типа Gδ , то существует такаяпоследовательность открытых множеств {Gk }, что A ⊂ Gk для всех k ∈ N и A = ∩∞k=1 Gk .nn∞nТогда множества R \ Gk являются замкнутыми, содержатся в A и R \ A = ∪k=1 R \ Gk .Поэтому Rn \ A является множеством типа Fσ .

Проведя цепочку рассуждений в обратномпорядке, мы установим необходимость.JСледующая теорема показывает, что измеримые множества отличаются от борелевскихна множество нулевой меры.Теорема 11.2.30. Множество A является измеримым тогда и только тогда, когдавыполняется любое из следующих условий:а) существуют множество AF типа Fσ и множество EF меры нуль, такие, что A =AF ∪ EF ;б) существуют множество AG типа Gδ и множество EG меры нуль, такие, что A =AG \ EG .Доказательство. Достаточность. Так как множества типов Fσ и Gδ являются борелевскими, они измеримы.

Измеримым является и любое множество меры нуль. ПоэтомуAF , AG , EF , EG ∈ M и, как следствие, A ∈ M и в случае (а), и в случае (б).Необходимость. Если множество A измеримо, то для каждого k ∈ N существуют замкнутоеи открытое множества Fk и Gk , такие, что Fk ⊂ A ⊂ Gk и µ(Gk \ Fk ) < 1/k. Тогдаµ(A \ Fk ) < 1/k, поскольку A \ Fk ⊂ Gk \ Fk для всех k ∈ N.Для доказательства утверждения (а) определим множество AF = ∪∞k=1 Fk типа Fσ .Тогда AF ⊂ A и A = AF ∪ EF , где множество EF = A \ AF имеет меру нуль, так как∞A \ AF = A \ ∪∞k=1 Fk = ∩k=1 (A \ Fk ) ⊂ A \ Fk и µ(A \ AF ) 6 µ(A \ Fk ) < 1/k для всех k ∈ N.Чтобы доказать утверждение (б) воспользуемся леммой 11.2.29. Если множество Aизмеримо, то измеримо и множество Rn \ A. Согласно утверждению (а), Rn \ A = A′F ∪ EG ,где A′F — множество типа Fσ и EG — множество меры нуль. Тогда A = (Rn \A′F )∩(Rn \EG ) =(Rn \ A′F ) \ EG .

Взяв AG = Rn \ A′F , мы получим доказываемое утверждение, поскольку,как следует из леммы 11.2.29, AG является множеством типа Gδ .5911.2.4Изменение меры множеств при линейных отображенияхПри линейном отображении пространства Rn в себя каждое множество, вообще говоря,искажается. Например, в R2 круги превращаются в эллипсы, прямоугольники — в параллелограммы. В этом пункте мы исследуем вопрос о том, как изменяются произвольныеизмеримые множества.

Во-первых, необходимо установить, что при линейном отображении измеримость множества сохраняется. Этот вопрос может показаться формальным, нона него нужно получить положительный ответ. Далее, мы установим формулу, котораясвязывает меру исходного и преобразованного множеств.Начнем мы с самого простого отображения. Линейное отображение D : Rn → Rn называется диагональным, если в стандартном базисе диагональной является матрица этогоотображения. Важное для нас свойство диагонального отображения состоит в том, что онопереводят параллелепипед в параллелепипед, если det D ̸= 0, то есть D — невырожденноеотображение. Используя это свойство, установим следующий результат.Теорема 11.2.31.

Пусть A — измеримое множество в Rn , D : Rn → Rn — диагональноеотображение и det D ̸= 0. Тогда множество D(A) измеримо и µ(D(A)) = |det D| µ(A).Доказательство. Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы 11.2.25.Нетрудно установить, что m(D(I)) = |det D| m(I) для каждого I ∈ Sp . Кроме того, дляпроизвольного множества A ⊂ Rn условие A ⊂ ∪∞i=1 Ii равносильно тому, что D(A) ⊂∞∪i=1 D(Ii ), где {Ii } — счетное семейство параллелепипедов.

Следовательно∗µ (D(A)) = inf{∞∑m(D(Ii )) | A ⊂ ∪∞i=1 Ii , Ii ∈ Sp }i=1= |det D| inf{∞∑∗m(Ii ) | A ⊂ ∪∞i=1 Ii , Ii ∈ Sp } = |det D| µ (A).i=1Поскольку открытость и замкнутость множеств не нарушается при невырожденном диагональном отображении, это соотношение, также как в доказательстве теоремы 11.2.25,позволяет заключить, что из измеримости множества A следует измеримость D(A). Крометого, поскольку µ(A) = µ∗ (A) для любого измеримого множества A, это же соотношениеприводит к доказываемому равенству: µ(D(A)) = |det D| µ(A).Следующим типом линейных отображений, который мы изучим, являются ортогональные отображения.

Линейное отображение U : Rn → Rn называется ортогональным, еслиU U ∗ = U ∗ U = I, где I — тождественное отображение, U ∗ — сопряжённое (транспонированное) к U отображение. Ортогональные отображения представляют собой композициюповоротов вокруг начала координат и отражений. Заметим, что |det U | = 1.В отличие от диагональных, ортогональные отображения вообще говоря, не переводятпараллелепипед в параллелепипед. Но они переводят шар в шар того же радиуса. Поэтомунам окажутся полезными теоремы Витали о покрытии множеств шарами. Первая из нихкак раз и носит такое название в литературе. Вторая названа теоремой о покрытии тольков этом курсе и является следствием первой.Введем некоторое обозначения.

Если B — замкнутый шар в Rn , то мы обозначим черезb — концентрический с B шар в пять раз большего радиуса.rad B его радиус, а через Bbb = {x ∈ Rn | |x −То есть, rad B = 5 rad B и если B = {x ∈ Rn | |x − b| 6 r}, то Bb представляет собой композицию сдвига и диагональногоb| 6 5r}. Отображение B → B60b = 5n µ(B).отображения D = 5 I, где I — тождественное отображение. Поэтому µ(B)Назовём шар B невырожденным, если rad B > 0.Упражнение 11.2.32. Показать, что в Rn существует не более, чем счётное число непересекающихся шаров, радиусы которых больше некоторого фиксированного положительногочисла.•Теорема 11.2.33 (Первая теорема Витали о покрытии).

Пусть F — произвольное семейство невырожденных замкнутых шаров в Rn и δ = supB∈F rad B < ∞. Тогда существуетсчётное семейство G ⊂ F непересекающихся шаров, такое, чтоb∪B∈F B ⊂ ∪B∈G B.Доказательство. Введём следующую последовательность подсемейств семейства F:Fk = {B ∈ F | δ/2k < rad B 6 δ/2k−1 }.Нетрудно видеть, что F = ∪k∈N Fk .

Используя индукцию, построим последовательностьсчётных семейств Gk ⊂ Fk .В качестве G1 возьмём максимальное семейство непересекающихся шаров из F1 . Максимальность семейства G1 означает, что к нему невозможно добавить ни одного шара изF1 так, чтобы G1 осталось семейством непересекающихся шаров. Заметим, что G1 можно определить не единственным образом, но для нас это не имеет значения. Кроме того,семейство G1 является не более, чем счётным (см. упражнение 11.2.32).Предположим, что счётные семейства непересекающихся шаров G1 , G2 , . . .

, Gk−1 ужепостроены. Обозначим через Fek семейство тех шаров из Fk , которые имеют непустое пересечение хотя бы с одним шаром из ∪k−1i=1 Gi . То есть,k−1Fek = {B ∈ Fk | (∃ B ′ ∈ ∪i=1Gi ) B ∩ B ′ ̸= ∅}.В качестве Gk возьмём максимальное семейство непересекающихся шаров из Fk \ Fek . Другими словами, Gk — это максимальное семейство непересекающихся шаров из Fk , которыене имеют общих точек с шарами из ранее выбранных семейств G1 ,.

. . ,Gk−1 .Положим G = ∪∞k=1 Gk и покажем, что G есть искомое семейство, о существовании которого говорится в утверждении теоремы. Очевидно, что G — семейство непересекающихсяшаров и G ⊂ F. Кроме того, это семейство не более, чем счётно, так как не более, чемсчётными являются все семейства Gk (см. упражнение 11.2.32).

Характеристики

Список файлов лекций