1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Определим функции φm (x) = supk>m fk (x). Заметим,что все функции φm измеримы, последовательность {φm } является невозрастающей и()lim fk (x) = inf φm (x) = − sup (−φm (x)) .m∈Nk→∞m∈NПоэтому функция f является измеримой.Аналогично доказывается, что из измеримости fk следует измеримость inf fk (x) иk∈Nlim fk (x).k→∞Следствие 11.3.11. Пусть {fk : X → R} — последовательность измеримых функций.Если существует предел lim fk (x) = f (x) для всех x ∈ X, то функция f : X → Rk→∞измерима.◃ Утверждение следует из того, что если существует предел lim fk (x), то он совпадаетk→∞с lim fk (x) (также, как и с lim fk (x)).k→∞▹k→∞Скажем, что последовательность функций {fk } сходится почти всюду в X к функцииf , если fk (x) → f (x) при k → ∞ для почти всех x ∈ X.Пример 11.3.12.
Пусть X = [0, 1], fk (x) = xk и f — функция Дирихле. Тогда fk (x) →f (x) = 0 для всех x ∈ [0, 1] \ Q. Поэтому fk сходится почти всюду на [0, 1] к функции f ,поскольку µ([0, 1] ∩ Q) = 0.•Теорема 11.3.13. Если последовательность измеримых функций fk : X → R сходитсяк функции f : X → R почти всюду в X, то функция f измерима.Доказательство. Обозначим через A множество точек, в которых последовательность {fk }сходится к f . Тогда X \A — множество меры нуль и поэтому оно измеримо. Следовательноизмеримо и множество A. В силу следствия 11.3.11 функция f измерима на множестве A,а согласно свойству 1 измеримых функций, эта функция измерима и на множестве X \ A.Используя теперь свойство 3 измеримых функций, мы получим, что f измерима на X.
Лекция №21. 10.11.2016.До настоящего момента мы ввели три типа сходимости функциональной последовательности: равномерная, поточечная и сходимость почти всюду. Из равномерной следует69поточечная, которая, в свою очередь, влечет сходимость почти всюду. Сейчас мы докажем очень важную теорему, утверждающую что из сходимости почти всюду на некотороммножестве следует равномерная сходимость на некотором подмножестве, мера которого,однако, сколь угодно близка к мере исходного множества.Теорема 11.3.14 (Егоров). Пусть X — измеримое множество в Rn и µ(X) < ∞. Еслипоследовательность измеримых функций fk сходится почти всюду на X к функции f , тодля любого δ > 0 существует такое измеримое множество Xδ ⊂ X, что µ(X \ Xδ ) < δи fk → f при k → ∞ равномерно на Xδ .Доказательство.
Зафиксируем произвольное δ > 0 и построим множество Xδ , обладающеетребуемыми свойствами.Функция f , очевидно, измерима. Для каждой пары натуральных чисел k и m определим множествоXkm ={x ∈ X | |fℓ (x)) − f (x)| < 1/m для всех ℓ > k}={x ∈ X | sup |fℓ (x) − f (x)| < 1/m}.ℓ>kПри каждом фиксированном m справедливы включения:mX1m ⊂ . . . ⊂ Xkm ⊂ Xk+1⊂ ...mmОпределим множество X m = ∪∞измеримо и, в силу непрерывностиk=1 Xk . Множество Xmmmмеры Лебега, µ(X ) = limk→∞ µ(Xk ).
Так как Xk ⊂ X m для всех k, последнее равенствоможно записать иначе: limk→∞ µ(X m \ Xkm ) = 0. Это означает, что для любого ε > 0существует такое k∗ (ε) ∈ N, что µ(X m \ Xkm ) < ε для всех k > k∗ . В частности, если мывозьмём ε = δ/2m , то получим, чтоµ(X m \ Xkm ) < δ/2m для всех k > k∗ (m).mОпределим теперь множество Xδ = ∩∞m=1 Xk∗ (m) и покажем, что оно является искомым.Мы проведём доказательство в несколько шагов.Шаг 1.
Сначала установим, что последовательность {fk } сходится к функции f равномернона Xδ . В самом деле, если x ∈ Xδ , то x ∈ Xkm∗ (m) для всех m ∈ N. Поэтому, каково бы нибыло число m ∈ N, |fℓ (x)−f (x)| < 1/m для всех ℓ > k∗ (m). Но это и означает равномернуюсходимость последовательности {fk } к f , так как k∗ не зависит от x.Шаг 2. Покажем, что µ(X \ X m ) = 0 для всех m ∈ N. Зафиксируем произвольное m ∈ N.Если x0 ∈ X \ X m , то x0 не принадлежит X m , а значит — ни одному из множеств Xkm ,k = 1, 2, . .
. . Следовательно, для любого k ∈ N существует такое ℓ > k, что |fℓ (x0 )−f (x0 )| >1/m. То есть, последовательность {fk (x0 )} не сходится к f (x0 ). Таким образом, X \ X mявляется подмножеством множества, где fk не сходится к f . Но это множество имеет мерунуль, так как fk сходится к f почти всюду. Поэтому µ(X \ X m ) = 0.Шаг 3. Покажем, что µ(X \ Xδ ) < δ.
Учитывая утверждение с предыдущего шага, мыполучим:))())(((mm6= µ ∪∞µ(X \ Xδ ) = µ X \ ∩∞m=1 X \ Xk∗ (m)m=1 Xk∗ (m)∞∞∞∑∑∑6µ(X \ Xkm∗ (m) ) =µ(X m \ Xkm∗ (m) ) <δ/2m = δ.m=1m=170m=1Здесь мы использовали тот факт, что Xkm∗ (m) ⊂ X m ⊂ X для всех m ∈ N. Теорема доказана.Пример 11.3.15. Пусть X = [0, 1], fk (x) = xk и f есть функция Дирихле. Как мы установили в примере 11.3.13, последовательность {fk } сходится в f почти всюду на X. Болеетого, эта последовательность сходится к f на множестве X \ Q.Для заданного δ > 0 возьмём в качестве множества Xδ , о котором говорится в теоремеЕгорова, множество [0, 1]\(Q∪[1−δ/2, 1]) = [0, 1−δ/2)\Q. Так как µ(Q) = 0, µ(Xδ ) = 1−δ/2и µ(X \ Xδ ) = δ/2 < δ.
Кроме того, последовательность {fk } сходится к функции g ≡ 0равномерно на отрезке [0, 1 − δ/2], а следовательно, и на подмножестве Xδ этого отрезка.Осталось заметить, что на Xδ функции g и f совпадают.•11.4Интеграл Лебега11.4.1Простые функцииСначала мы определим понятие интеграла Лебега по множеству конечной меры, а потомдоопределим его для множеств бесконечной меры. Пусть X есть произвольное измеримоемножество конечной меры (µ(X) < ∞) в Rn .Функция f : X → R называется простой, если она измерима и принимает не более чемсчётное число значений.Теорема 11.4.1. Для того, чтобы функция f : X → R была измерима, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность простых функций {fk }, сходящаясяк f равномерно на X.Доказательство.
Достаточность. Поскольку функции fk являются простыми, они по определению измеримы. Если последовательность {fk } сходится к f равномерно на X, онасходится и почти всюду. Согласно теореме 11.3.13, функция f измерима.Необходимость. Пусть теперь f : X → R — измеримая функция. Для каждого k ∈ Nопределим функцию fk : X → R следующим образом:mmm+1при6 f (x) <, m ∈ Z.kkkОчевидно, что все функции fk измеримы, а поэтому они являются простыми.
Кроме того,|fk (x) − f (x)| 6 1/k для всех x ∈ X и всех k ∈ N. Следовательно, fk ⇒ f на X.fk (x) =Замечание 11.4.2. В доказательстве можно было бы определить другую последовательность функций fk , а именно,mm+1mпри6 f (x) <, m ∈ Z.kk222kПреимущество этой последовательности состоит в том, что она является неубывающей иприближается к функции f снизу. Аналогично можно определить невозрастающую последовательность:mm+1m+1при6 f (x) <, m ∈ Z,fk (x) =kk222kкоторая приближается к функции f сверху. Заметим также, что строгие и нестрогие неравенства в этих определениях можно поменять местами.•fk (x) =71Пусть f : X → R — простая функция и A — измеримое множество в X.
Скажем,что∑ f суммируема (или интегрируема) на множестве A, если абсолютно сходится рядk ak µ(Ak ), где ak — значения функции f на множестве A, а Ak — соответствующиемножества в A, на которых функция f принимает значение ak . То есть, Ak = f −1 (ak ) ∩ A.Ясно, что все множества Ak являются измеримыми, A = ∪k Ak и Ai ∩ Aj = ∅ при i ̸=j. Мы не написали пределов суммирования ряда, поскольку множество {ak } значенийфункции f , также как и совокупность множеств {Ak }, может быть конечным или счетным.В первом случае верхний предел суммирования равняется конечному натуральному числу,во втором — бесконечности.
Сумму этогоряда назовём интегралом от простой функции∫f по мере Лебега и обозначим через A f dµ.Докажем несколько утверждений, в которых сформулированы некоторые свойства интеграла от простых функций.Лемма 11.4.3. Если f — простая интегрируемаямножестве A функция∫ на измеримом∫и α ∈ R, то функция αf интегрируема на A и A αf dµ = α A f dµ.I Если {ak } — множество значений функции f , то {αak } — множество значений функцииαf .
Причем, эти значения принимаются на одних и тех же множествах Ak . Поскольку∑∑|ak | µ(Ak ),|αak | µ(Ak ) = |α|kkа ряд справа сходится, функция αf интегрируема на A. Поэтому∫∫∑∑ak µ(Ak ) = α f dµαak µ(Ak ) = ααf dµ =AAkkJи лемма доказана.Лемма 11.4.4. Если f — простая интегрируемая на измеримом множестве A функция,такая, что |f (x)| 6 M для некоторой константы M и всех x ∈ A, то∫ f dµ 6 M µ(A).AI Поскольку |f | 6 M на A, все значения ak функции f по модулю не превосходят M .Поэтому∫ ∑ ∑∑ ak µ(Ak ) 6|ak | µ(Ak ) 6 Mµ(Ak ) = M µ(A). f dµ = AkkkВ последнем равенстве мы воспользовались счетной аддитивностью меры Лебега и тем,что A есть дизъюнктное объединение множеств Ak .JЛекция №22. 14.11.2016.Замечание 11.4.5.
Иногда удобнее предположить, что простая функция принимает одинаковые значения на разных множествах Ak . При этом, конечно, совокупность всех множеств Ak должна оставаться не более чем счетной. Такая ситуация встретится нам в доказательстве следующей после замечания леммы. Пусть {ak } — множество значений простой72функции f на измеримом множестве A и Ak = f −1 (ak ) ∩ A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
