1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если f ∈ Rim[a, b], то f ∈ L[a, b] и a f (x) dx = [a,b] f dµ. Здесь µ —одномерная мера Лебега.Доказательство. Пусть функция f : [a, b] → R интегрируема по Риману. Мы будем использовать обозначения, введенные при изучении интеграла Римана. Предположим, чтозадано разбиение Pn = {x0 , x1 , . . . , xn } отрезка [a, b] и a = x0 < x1 < .
. . < xn = b.Вместо отрезков разбиения P нам будет удобнее взять полуинтервалы Ak = [xk−1 , xk ). Заметим, что на значение интеграла Римана это никак не повлияет. Как и ранее обозначимλk = xk − xk−1 и λ(Pn ) = maxk=1,... λk . Составим теперь нижние и верхние суммы Дарбу,соответствующие разбиению Pn ,s(f, Pn ) =n∑mk (f ) λk ,S(f, Pn ) =k=1n∑Mk (f ) λk ,k=1где mk (f ) = inf x∈Ak f (x) и Mk (f ) = supx∈Ak f (x). Заметим, что согласно необходимомуусловию интегрируемости функции по Риману функция f должна быть ограниченной,поэтому наборы чисел mk и Mk равномерно ограничены.
Нами было доказано, что∫ blim s(f, Pn ) = lim S(f, Pn ) =f (x) dx.λ(Pn )→0λ(Pn )→0aСоставим теперь такую последовательность разбиений {Pn }, что Pn+1 ⊂ Pn для всехn ∈ N. Заметим, что в этом случае последовательность {s(f, Pn )} является неубывающей, а{S(f, Pn )} — невозрастающей. Определим простые функции f n : [a, b] → R и f n : [a, b] → R:f n (x) = mkи f n (x) = Mkпри x ∈ Ak .В точке x = b мы можем определить эти функции произвольно. Положим, например,f n (b) = f n (b) = f (b).
Нетрудно видеть, что {f n } является неубывающей последовательностью, а {f n } — невозрастающей. Поскольку функция f является ограниченной, функцииf n и f n являются интегрируемыми по Лебегу и∫[a,b]f n dµ =∫f n dµ =[a,b]n∑mk (f ) µ(Ak ) =n∑k=1k=1n∑n∑Mk (f ) µ(Ak ) =k=1∫bmk (f ) λk = s(f, Pn ) 6f (x) dx,a∫Mk (f ) λk = S(f, Pn ) >bf (x) dx.ak=1Как следует из теоремы Леви, для почти всех x ∈ [a, b] существуют конечные пределыf (x) = lim f n (x),f (x) = lim f n (x),n→∞n→∞функции f и f интегрируемы по Лебегу на [a, b] и∫∫ b∫f n dµ = lim s(f, Pn ) =f (x) dx,f dµ = lim[a,b]n→∞n→∞[a,b]86a∫∫∫f dµ = limn→∞[a,b]Таким образом,f n dµ = lim S(f, Pn ) =n→∞[a,b]∫∫f dµ =[a,b]f (x) dx.a∫f dµ =[a,b]bbf (x) dx.aИз этого неравенства, поскольку f 6 f 6 f , мы получаем, что f = f почти всюду на [a, b].Поэтому f = f = f почти всюду на [a, b], f ∈ L[a, b] и∫∫bf (x) dx,f dµ =a[a,b]что и требовалось доказать.Теперь мы можем посчитать одномерный интеграл Лебега от любой функции, от которой мы в состоянии посчитать интеграл Римана.
Для нас интеграла Римана имеет большоепреимущество перед интегралом Лебега, так как для его вычисления мы можем использовать понятие первообразной. Такую же теорию можно развить и для интеграла Лебега,но мы не будем этого делать. В конце концов, точное вычисление интеграла не являетсяосновной целью введения интеграла Лебега. Чаще всего бывает достаточно оценить интеграл от функции, установить её интегрируемость. С этими задачами удобнее справляться,используя интеграл Лебега, так как интегрируемых по Лебегу функций гораздо больше,чем интегрируемых по Риману. Тем не менее, приведем пример вычисления интегралаЛебега.Пример 11.4.31. В примере 11.4.20 мы доказали, что функция f (x) = x−α интегрируемапо Лебегу на отрезке [0, 1] при α ∈ (0, 1).
Значение функции f в точке x = 0 не имеет значения, так как интеграл Лебега «не замечает» множеств∫ меры нуль. Для определённостимы положили f (0) = 0. Наша задача — вычислить [0,1] f dµ, где µ — одномерная мераЛебега.Заметим, что f ̸∈ Rim[0, 1], поскольку эта функция не является ограниченной на отрезке [0, 1]. Рассмотрим вместо f последовательность функций {fk }k∈N , определенных следующим образом:x = 0,0,αfk (x) = k ,x ∈ (0, 1/k), −αx , x ∈ [1/k, 1].Очевидно, что fk ∈ Rim[0, 1] для каждого k ∈ N, поэтому fk ∈ L[0, 1] и∫∫ b1 )11α1 (1 − 1−α =− 1−α.fk dµ =fk (x) dx = k α−1 +1−αk1−α k1−α[0,1]aТеперь перейдем к пределу при k → ∞.
Для этого мы можем воспользоваться теоремойЛебега. Сначала заметим, что fk (x) → f (x) при k → ∞ для каждого x ∈ [0, 1]. Далее,0 6 fk 6 f на [0, 1] для каждого k, а f ∈ L[0, 1]. Поэтому мы можем взять f в качествеинтегрируемой мажоранты для последовательности {fk }. Поэтому∫∫( 11α )1− 1−α=.f dµ = limfk dµ = limk→∞ [0,1]k→∞ 1 − αk1−α1−α[0,1]87Заметим, что мы могли бы не использовать доказанную в примере 11.4.20 интегрируемость функции f . Применим теорему Леви.
Последовательность {fk } является неубывающей, и интегралы Лебега от функций fk ограничены числом (1 − α)−1 . Поэтому дляпочти всех x ∈ [0, 1] существует конечный предел limk→∞ fk (x), который являетсяинте∫грируемой по Лебегу функцией и, как мы знаем, равен f (x). Таким образом, [0,1] f dµ =∫limk→∞ [0,1] fk dµ = (1 − α)−1 .•11.4.5Теорема ФубиниВ этом пункте мы изучим вопросы, связанные с переходом от вычисления интеграла Лебега к последовательному вычислению интегралов меньшей размерности. Теорема Фубиниявляется здесь основным результатом.
Введем следующие обозначения:X = Rn , Y = Rm , X × Y = Rn × Rm = Rn+m ,µx — n-мерная мера Лебега в X,µy — m-мерная мера Лебега в Y ,µ — (n + m)-мерная мера Лебега в X × Y .Для произвольного множества A ⊂ X × Y положим:A(x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ A},A(y) = {x ∈ X | (x, y) ∈ A}.Таким образом, A(x) ⊂ Y есть проекция в X × Y сечения множества A на Y . Сечениепроходит через точку x ∈ X параллельно Y .
То же самое справедливо для A(y) ⊂ X.Сначала мы докажем следующее вспомогательное утверждение.Теорема 11.4.32 (О сечениях измеримого множества). Если A — µ-измеримое множество в X × Y и µ(A) < ∞, то1. для µx -почти() всех точек x ∈ X множество A(x) µy -измеримо в Y и функцияx 7→ µy A(x) интегрируема на X,2.
для µy -почти() всех точек y ∈ X множество A(y) µx -измеримо в X и функцияy 7→ µx A(y) интегрируема на Y ,()()∫∫3. µ(A) = X µy A(x) dµx = Y µx A(y) dµy .Доказательство. Мы докажем утверждения, связанные с A(x), то есть, первое и частьтретьего. Остальные доказываются аналогично с заменой x на y и наоборот. Применим ужеиспользованный нами пошаговый метод, который состоит в доказательстве утверждениясначала для простых, а потом — для всё более сложных множеств.Шаг 1. Предположим сначала, что A есть параллелепипед в X × Y , то есть A = IX × IY ,где IX и IY — фиксированные параллелепипеды в X и Y соответственно. В этом случае{{IY , x ∈ IX ,c, x ∈ IX ,A(x) =и µy (A(x)) =∅, x ∈ X \ IX ,0, x ∈ X \ IX ,88где c = m(IY ) = µy (IY ) = const.
Таким образом, множество A(x) измеримо в Y для всехx ∈ X, а функция x 7→ µy (A(x)) интегрируема по Лебегу на X. Так как µ(A) = m(A) =m(IX × IY ) = m(IX ) m(IY ), то∫∫µy (A(x)) dµx =c dµx = c µx (IX ) = m(IY ) m(IX ) = µ(A)XIXи утверждение теоремы доказано для произвольного параллелепипеда.Лекция №27.
01.12.2016.Шаг 2. Пусть A — произвольное открытое множество конечной меры в X × Y . Для любого x ∈ X множество A(x) является открытым и поэтому измеримым в Y . Кроме того,согласно лемме 11.2.9 существует такой не более чем счётный набор непересекающихся параллелепипедов Ik ⊂ X × Y , k ∈ N, что A = ∪k∈N Ik . При этом A(x) = ∪k∈N Ik (x) и Ik (x) —непересекающиеся параллелепипедыв Y для любого x ∈ X.
В силу счётной аддитивности∑меры Лебега µy (A(x)) = k∈N µy (Ik (x)).Покажем, что функция x 7→ µy (A(x)) интегрируема на X. Для каждого x ∈ X этафункция является пределом неубывающей последовательности функцийx 7→ fm (x) =m∑µy (Ik (x)).k=1Функции fm неотрицательны и интегрируемы на X. Кроме того, используя утверждение,доказанное на предыдущем шаге, для каждого m ∈ N мы получим оценку:∫fm dµx =Xm ∫∑k=1µy (Ik (x)) dµx =Xm∑()µ(Ik ) = µ ∪mk=1 Ik 6 µ(A).k=1В силу теоремы Леви функция x 7→ µy (A(x)) интегрируема на X и∫∫()µy (A(x)) dµx = limfm dµx = lim µ ∪mk=1 Ik = µ(A).Xm→∞m→∞XПоследнее равенство в этой цепочке следует из теоремы о непрерывности меры Лебега.Шаг 3.
Докажем утверждение теоремы для произвольного множества A типа Gδ . В этомслучае существует последовательность открытых множеств Gk , таких, что A = ∩k∈N Gkи Gk+1 ⊂ Gk для всех k ∈ N. Мы можем считать, что µ(G1 ) < ∞. В самом деле, A —измеримое множество, поэтому для любого ε > 0 существуют замкнутое множество F иоткрытое множество G, такие, что F ⊂ A ⊂ G и µ(G \ F ) < ε. Тогда µ(G \ A) < ε иµ(G) = µ(A) + µ(G \ A) < ∞. Если µ(G1 ) = ∞, то вместо Gk мы возьмём множестваGk ∩ G.
Таким образом, в силу теоремы о непрерывности меры Лебегаµ(A) = lim µ(Gk ).k→∞Для каждого x ∈ X множества Gk (x) открыты, Gk+1 (x) ⊂ Gk (x) для всех k ∈ N ипоэтому множество A(x) = ∩k∈N Gk (x) измеримо в Y . Покажем, что функция x 7→ µy (A(x))89интегрируема на X.
Здесь мы можем воспользоваться теоремой Лебега. Для каждогоx∈Xµy (A(x)) = lim µy (Gk (x))k→∞и µy (Gk (x)) 6 µy (G1 (x)). Как следует из утверждения, доказанногона шаге 2, все функ∫ции x 7→ µy (Gk (x)) интегрируемы на X, а поскольку X µy (G1 (x)) dµx = µ(G1 ) < ∞,функция x 7→ µy (G1 (x)) является интегрируемой мажорантой. Таким образом, функцияx 7→ µy (A(x)) интегрируема на X и∫∫µy (A(x)) dµx = limµy (Gk (x)) dµx = lim µ(Gk ) = µ(A).k→∞Xk→∞XШаг 4. Пусть A — множество меры нуль в X × Y . В этом случае существует такое множество∫ G ⊂ X × Y типа Gδ , что A ⊂ G и µ(G) = 0. Тогда A(x) ⊂ G(x) для всех x ∈ Xи X µy (G(x)) dµx = µ(G) = 0. Как следует из неравенства Чебышева, µy (G(x)) = 0дляпочти всех x ∈ X.
Поэтому µy (A(x)) = 0 для почти всех x ∈ X. Таким образом,∫µ (A(x)) dµx = µ(A) = 0.X yШаг 5. Пусть, наконец, A — произвольное измеримое множество конечной меры в X × Y .Тогда в силу теоремы 11.2.30 существует такое множество G типа Gδ , что A ⊂ G и µ(G \A) = 0. Для каждого x ∈ X справедливо равенство A(x) = G(x) \ (G(x) \ A(x)).
Как мыпоказали на предыдущих шагах, множества G(x) и G(x) \ A(x), а поэтому и множествоA(x) измеримы в Y для почти всех x ∈ X. При этом, µy (A(x)) = µy (G(x)) для почти всехx ∈ X, так как µ(G(x) \ A(x)) = 0. Таким образом,∫∫µy (A(x)) dµx =µy (G(x)) dµx = µ(G) = µ(A).XXТеорема доказана.Теперь мы можем доказать теорему Фубини.Теорема 11.4.33 (Фубини). Пусть A — измеримое множество в X × Y , µ(A) < ∞ иf ∈ L(A).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
