1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Его якобиан J(ρ, θ) = ρ.С обратным отображением φ−1 , которое задаётся формулами:ρ=√x2 + y 2 ,yθ = arctg ,xне всё так хорошо. Отображение θ(x, y) терпит скачок на линии L = {(x, y) ∈ R2 | y =0, x > 0}, так как θ — это полярный угол и его значение на этой линии меняется с 2πдо 0. Кроме того, несложно проверить, что производные отображения φ−1 неограниченнорастут, когда (x, y) → (0, 0). Поэтому мы ещё уменьшим dom φ. Отображение φ будетограниченным диффеоморфизмом, если мы в качестве его области определения возьмёммножество Pε = {(ρ, θ) ∈ R2 | ε 6 ρ < ∞, 0 < θ < 2π}, где ε — какое-либо положительноечисло. Образом множества Uε = {(ρ, θ) ∈ R(2 | ε 6 ρ )6 2 + cos kθ, θ ∈ (0, 2π)} приотображении φ является множество Eε = E \ B(0, ε) ∪ L .Нетрудно видеть, что µ(E) = limε→0 µ(Eε ), поэтому посчитаем µ(Eε ).

Используя толькочто доказанную теорему об изменении меры множества при диффеоморфизме, мы получим:∫∫µ(Eε ) = µ(φ(Uε )) =J(ρ, θ) dλ =ρ dλ,UεUεгде λ — двумерная мера Лебега в плоскости переменных ρ и θ. Посчитаем последнийинтеграл, воспользовавшись теоремой Фубини:∫∫2π∫ρ dλ =Uε0ε2+cos kθ1ρ dρ dθ =2∫2π(2 + cos kθ)2 dθ − πε20∫1 2π2= π(4 − ε ) +cos2 kθ dθ = π(4 − ε2 ) + π/2 = π(9/2 − ε2 ).2 0Таким образом, µ(E) = limε→0 π(9/2 − ε2 ) = 9π/2. Заметим, что µ(E) не зависит от k.•Теорема 11.4.45 (О замене переменных в интеграле Лебега).

Пусть A ⊂ X — измеримое множество конечной меры и отображение φ : X → Rn является ограниченнымдиффеоморфизмом. Если f ∈ L(φ(A)), то f ◦ φ ∈ L(A) и∫∫f dµ =f (φ(x)) | det φ ′ (x)| dµ,φ(A)Aгде µ — n-мерная мера Лебега.Доказательство. Сначала заметим, что согласно теореме 11.4.43 множество φ(A) измеримо и имеет конечную меру. Предположим, что f > 0 в φ(A). Так как f ∈ L(φ(A)),эта функция является измеримой. Поэтому существует неубывающая последовательностьпростых неотрицательных функций fk , сходящаяся к функции f равномерно на φ(A). Таккак 0 6 fk 6 f для всех k, а функция f интегрируема на φ(A), fk ∈ L(φ(A)) для всех k.100mОбозначим через amk , m ∈ N, значения функции fk , а через Ek — соответствующиемножества в φ(A), на которых функция fk эти значения принимает.

Все множества Ekmmизмеримы и ∪∞k=1 Ek = φ(A) для всех m ∈ N. Кроме того, опять же в силу теоремы 11.4.43,−1m∞mмножества Amk = φ (Ek ) ⊂ A измеримы, ∪k=1 Ak = A и∫fk dµ =φ(A)∞∑mamk µ(Ek )=m=1∞∑∫amkm=1∞ ∫∑Jdµ =Amkm=1Amkamk Jdµ,где J(x) = | det φ ′ (x)|. Для каждого k ∈ N функция x 7→ fk (φ(x)) является простой иmпринимает значения amk на соответствующих множествах Ak .

Кроме того,∞∑mamk µ(Ak )∞ ∫∑=m=1m=1Amkamk dµ6CAmkm=1∫∫∞ ∫∑amk Jdµfk dµ 6 C=Cφ(A)f dµ,φ(A)где C — постоянная, ограничивающая сверху функцию 1/J. Такая постоянная существует,поскольку φ — ограниченный диффеоморфизм. Следовательно, fk ◦ φ ∈ L(A). Так какпоследовательность {fk ◦ φ} сходится равномерно на A к функции f ◦ φ, эта функцияинтегрируема по Лебегу на A (по определению интеграла Лебега).

Далее, функция Jограничена на A, поэтому функция Jf ◦ φ ∈ L(A) является интегрируемой мажорантойдля последовательности {Jfk ◦ φ}. Используя теорему Лебега о предельном переходе, мыполучим:∫∫fk dµ = limf dµ = limφ(A)k→∞φ(A)k→∞∫∞ ∫∑m=1Amkamk JdµJfk ◦ φ dµ == limk→∞∫Af ◦ φ Jdµ.AТаким образом, мы доказали теорему для неотрицательной функции f .

В общем случае, справедливость теоремы следует из линейности интеграла Лебега и из представленияфункции f в виде разности двух неотрицательных интегрируемых функций: f = f + − f − .Лекция №31. 15.12.2016.11.5Пространства интегрируемых функцийСначала напомним уже известные нам понятия. Множество U называется линейным пространством над полем вещественных чисел, если (αu + βv) ∈ ⊓ для произвольных u и vиз U и для всех α, β ∈ R. При этом, конечно, предполагается, что на U определены операции сложения элементов и умножения элемента на вещественное число. Если мы заменимв этом определении R на C, то получим определение линейного пространства над полемкомплексных чисел. В этом параграфе мы изучим только вещественный случай.Линейное пространство U называется нормированным, если каждому u ∈ U поставленов соответствие вещественное число ∥u∥, обладающее следующими свойствами:1.

∥u∥ > 0 и ∥u∥ = 0 тогда и только тогда, когда u = 0 ∈ U ;2. если α ∈ R, то ∥αu∥ = |α| ∥u∥;1013. ∥u + v∥ 6 ∥u∥ + ∥v∥.Заметим, что в первом свойстве присутствуют два разных нуля. Когда мы пишем ∥u∥ =0, то нуль есть вещественное число. В равенстве же u = 0 под нулем подразумеваетсяэлемент линейного пространства U. В любом линейном пространстве существует такойназываемый нулем элемент, что u + 0 = u для всех u ∈ U.

Заметим ещё, что последнеесвойство называется неравенством треугольника.Вообще говоря, нормированное пространство U может и не быть линейным множеством. В этом случае в свойствах нормы необходимо добавить фразы типа: «если αu ∈ U »и «если u + v ∈ U». Например, шар единичного радиуса в Rn можно рассматривать какнормированное пространство с евклидовой нормой. Нам не встретятся подобные ситуации,и мы всегда будем считать нормированное пространство линейным.Пусть U — линейное нормированное пространство с нормой ∥ · ∥. Последовательность{uk } элементов пространства U называется фундаментальной (или последовательностьюКоши), если для любого ε > 0 существует такое kε ∈ N, что ∥um − un ∥ < ε для всех m, n >kε . Говорят, что последовательность {uk } сходится к u в нормированном пространстве U,если ∥uk − u∥ → 0 при k → ∞.

Нормированное пространство называется полным, если внём каждая фундаментальная последовательность имеет предел, принадлежащий этомупространству. Полное нормированное пространство называется банаховым.Пример 11.5.1. Рассмотрим пространство C[0, 2] непрерывных на отрезке [0, 2] функций.Введём в этом пространстве две нормы:∫∥f ∥C = max |f (x)| и ∥f ∥1 =|f | dµ.x∈[0,2][0,2]Функциональное пространство (C[0, 2], ∥ · ∥C ) является полным и потому банаховым, апространство (C[0, 2], ∥ · ∥1 ) полным, а значит и банаховым, не является. Ко второй частиэтого утверждение мы ещё вернёмся в дальнейшем.•Определим теперь пространства интегрируемых по Лебегу функций. Пусть A — измеримое множество в Rn , p ∈ [1, ∞) и µ — мера Лебега в Rn . Скажем,что измеримая∫ppфункция u : A → R является элементом пространства L (A), если A |u| dµ < ∞.

Заметим, что пространство интегрируемых по Лебегу на множестве A функций L(A) совпадаетс L1 (A).Нетрудно показать, что пространство Lp (A), p ∈ [1, ∞), является линейным. В дальнейшем мы ещё вернемся к доказательству этого свойства. Пространство Lp (A) можносделать нормированным, если определить на нем норму(∫)1/p∥u∥p =|u|p dµ.AТаким образом, u ∈ Lp (A), если ∥u∥p < ∞. Здесь, однако, возникает одна небольшаяпроблема.

Если мы захотим проверить свойствато сразу получим, что ∥·∥p нормой∫ нормы,pне является. В самом деле, если ∥u∥p = 0, то A |u| dµ = 0. Используя свойства интегралаЛебега, мы можем утверждать, что u(x) = 0 для почти всех x ∈ A, но, вообще говоря,не для всех. Поэтому u может отличаться от нуля, даже если ∥u∥p = 0. Примером такойфункции может служить функция Дирихле.Чтобы функция ∥ · ∥p всё же была нормой мы поступим следующим образом. Назовём определенные на A функции u и v эквивалентными (u ∼ v), если u(x) = v(x) для102почти всех x ∈ A. Элементами пространства Lp (A) будем считать классы эквивалентных функций. Чтобы вычислить норму элемента (класса эквивалентности) пространстваLp (A), нужно посчитать её от произвольного представителя (функции) этого класса. Аналогично, сумма двух элементов u и v пространства Lp (A) есть класс функций, эквивалентных сумме любых представителей из классов u и v.

Фактически описанное построение опирается на следующее простое соглашение: в пространстве Lp (A) мы не различаемэквивалентных функций. Если две функции из Lp (A) совпадают почти всюду на A, томы считаем, что они совпадают в Lp (A). Например, функция Дирихле является нулём вLp [0, 1].Теперь мы можем показать, что ∥u∥p является нормой элемента u пространства Lp (A).Первые два свойства нормы сразу следуют из свойств интеграла Лебега. Чтобы установитьсправедливость третьего свойства, то есть неравенства треугольника, нам потребуютсянекоторые интегральные неравенства.

Аналоги этих неравенств для чисел были доказанынами ранее.Теорема 11.5.2 (Неравенство Юнга). Пусть A — измеримое множество в Rn . Еслиu ∈ Lp (A) и v ∈ Lq (A), где p, q ∈ (1, ∞) и p−1 + q −1 = 1, то функция uv : A → Rинтегрируема и∫∫∫1111p|u| dµ +|v|q dµ = ∥u∥pp + ∥v∥qq .|uv| dµ 6p Aq ApqAДоказательство. Из числового неравенства Юнга следует, чтоu(x) v(x) 6 1 u(x)p + 1 v(x)qpqдля почти всех x ∈ A.

Характеристики

Список файлов лекций