1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Рассмотрим подграфик QA (f ) ⊂ A × R функции f : A → R+ . Множество{x ∈ A | f (x) > y} есть сечение QA (f ), проходящее параллельно X через y ∈ R+ . Поэтомусогласно теореме о сечениях измеримого множества∫()()µ QA (f ) =µx {x ∈ A | f (x) > y} dµy .R+С другой стороны, в силу предыдущей теоремы∫()µ QA (f ) =f dµx .AТеорема доказана.Лекция №29. 08.12.2016.11.4.6Замена переменных в интеграле ЛебегаПусть X — открытое множество в Rn . Отображение φ : X → Rn называется диффеоморфизмом, если1.
φ — взаимно-однозначное отображение;2. отображение φ непрерывно дифференцируемо в X;3. обратное отображение φ−1 : φ(X) → X непрерывно дифференцируемо в φ(X).Мы назовём диффеоморфизм φ ограниченным, если линейные отображения φ ′ (x) и(φ ) (y) ограничены равномерно по x ∈ X и по y ∈ φ(X) соответственно. Заметим, чтоэто понятие не является общепринятым.−1 ′95Теорема 11.4.40 (Об изменении меры шара при диффеоморфизме). Пусть B(x0 , r) ⊂ X— замкнутый шар радиуса r с центром в точке x0 ∈ Rn и отображение φ : X → Rnявляется ограниченным диффеоморфизмом. Тогда существует такое r0 > 0, что длявсех r ∈ (0, r0 ) справедливо неравенство:()µ φ(B(x0 , r))n() 6 (1 + α(r))n ,(1 − α(r)) 6| det φ′ (x0 )| µ B(x0 , r)где µ — n-мерная мера Лебега и α(r) → 0 при r → 0+.Доказательство.
Обозначим через A ограниченное линейное отображение φ ′ (x0 ). Так какφ — дифференцируемое отображение,φ(x) = φ(x0 ) + A(x − x0 ) + γ(x − x0 )для всех достаточно близких к x0 точек x. Здесь γ(x − x0 ) = o(|x − x0 |). Выберем r0настолько малым, чтобы это представление было справедливо в B(x0 , 2r0 ). Посколькуотображение A−1 определено,()φ(x) = φ(x0 ) + A x − x0 + A−1 γ(x − x0 ) .Таким образом, φ(B(x0 , r)) = φ(x0 )+A(Er ), где Er = {y ∈ Rn | y = x−x0 +A−1 γ(x−x0 ), x ∈B(x0 , r)}. Множество φ(B(x0 , r)) компактно, так как является образом компактного множества при непрерывном отображении, поэтому оно измеримо.
Следовательно, измеримым являетсяи множествоEr . В силумеры Лебега относительно сдви()() инвариантности()гов, µ φ(B(x0 , r)) = µ φ(x0 )+A(Er ) = µ A(Er ) . Используя теорему об изменении мерымножества при линейном отображении и учитывая, что det A ̸= 0, мы получим:()µ φ(B(x0 , r))µ(Er )=.| det A| µ(B(x0 , r))µ(B(x0 , r))Нам осталось оценить правую часть этого равенства.Введём обозначение:β(r) = sup |A−1 γ(x − x0 )|.x∈B(x0 ,r)Заметим, что β(r) = o(r), так как A−1 — ограниченный оператор и γ(x − x0 ) = o(x − x0 ).Кроме того, Er ⊂ B(0, r + β(r)). В самом деле, если y ∈ Er , то y = x − x0 + A−1 γ(x − x0 )для некоторого x ∈ B(x0 , r). Поэтому |y| 6 |x − x0 | + |A−1 γ(x − x0 )| 6 r + β(r). Такимобразом,) ( r + β(r) )n ()(µ B(0, r) .(∗)µ(Er ) 6 µ B(0, r + β(r)) =rВведём отображение F : B(x0 , 2r0 ) → Rn : F (x) = x − x0 + A−1 γ(x − x0 ). Это отображение является ограниченным диффеоморфизмом, так как F (x) = A−1 (φ(x) − φ(x0 ))при x ∈ B(x0 , 2r0 ). Обратное к нему отображение G тоже является ограниченным диффеоморфизмом.Кроме)того, G(0) = x0 , G′ (0) = I и G(Er ) = B(x0 , r), так как F (x0 ) = 0,(F ′ (x0 ) = I и F B(x0 , r) = Er .Покажем, что B(0, r −σ(r)) ⊂ Er для достаточно малых r и для некоторого σ(r) = o(r).Это включение равносильно тому, что)(G B(0, r − σ(r)) ⊂ G(Er ) = B(x0 , r).96Поскольку G дифференцируемо, G(y) = G(0) + G′ (0)y + γ(y) для всех y ∈ B(0, r − β(r)),где γ(y) = o(y).
Следовательно, если мы положим σ(r) = 2γ(r), то|G(y) − x0 | = |y + γ(y)| 6 r − σ(r) + γ(r − β(r)) 6 r()для достаточно малых r. Таким образом, µ B(0, r − σ(r)) 6 µ(Er ) и( r − σ(r) )n ()µ B(0, r) 6 µ(Er ).r()()Поскольку µ B(0, r) = µ B(x0 , r) , из этого неравенства и из (∗) следует, чтоµ(Er )) 6 (1 + α(r))n(1 − α(r))n 6 (µ B(x0 , r)с α(r) = max{β(r), σ(r)}/r для достаточно малых r.Замечание 11.4.41. Сделаем пару замечаний к доказанной теореме. Мы получили оценку для меры образа замкнутогошараB(x0 , r).
Замкнутость использовалась только для()того, чтобы множество φ B(x0 , r) было замкнутым, а значит, измеримым. На самом деле, мы могли( бы взять) и открытый шар B(x0 , r), так как если φ — диффеоморфизм, томножество φ B(x0 , r) открыто, а следовательно, измеримо.Ещё одно замечание касается самой формулировки теоремы. Если посмотреть на доказательство теоремы, то можно отметить, что функция α, вообще говоря, зависит от x0 .
Насамом деле, доказательство несложно изменить таким образом, что эта функция не будетзависеть от x0 , однако это потребует более громоздких рассуждений. Основная идея доказательства останется прежней. Оставим читателю в качестве упражнения доказательствонезависимости α от x0 при сформулированных требованиях на диффеоморфизм φ.•В качестве непосредственного следствия доказанной теоремы установим один вспомогательный факт, который окажется нам полезным в дальнейшем.Лемма 11.4.42.
Если A ⊂ X — множество меры нуль и отображение φ : X → Rnявляется ограниченным диффеоморфизмом, то φ(A) — тоже множество меры нуль.I Так как A — множество меры нуль, для любого ε > 0 существует открытое множествоG, такое, что A ⊂ G и µ(D) < ε. Как любое открытое множество, G есть объединениесемейства J всех лежащих в G замкнутых шаров, радиусы которых не превосходят какоголибо заданного числа δ.
Согласно первой теореме Витали, из семейства J можно выбратьbтакое счетное семейство непересекающихся шаров Bk , что G ⊂ ∪∞k=1 Bk . Тогда φ(G) ⊂∞bk ) и в силу теоремы 11.4.40∪k=1 φ(Bµ(φ(A)) 6 µ(φ(G)) 6∞∑bk )) 6 Cµ(φ(Bk=1= 5n C∞∑k=1∞∑bk )µ(B)(nnµ(Bk ) = 5n Cµ ∪∞k=1 Bk 6 5 Cµ(G) < 5 Cε,k=1где C — постоянная, зависящая от δ и от maxx∈X | det φ ′ (x)|. Устремляя ε к нулю, получим,что µ(φ(A)) = 0.JЛекция №30. 12.12.2016.97Теорема 11.4.43 (Об изменении меры множества при диффеоморфизме). Пусть A ⊂ X— измеримое множество конечной меры и отображение φ : X → Rn является ограниченным диффеоморфизмом. Тогда множество φ(A) измеримо и∫()µ φ(A) =| det φ ′ (x)| dµ,Aгде µ — n-мерная мера Лебега.Доказательство. Введём обозначение: J(x) = | det φ ′ (x)|.
Мы, как обычно, проведём доказательство в несколько шагов.Шаг 1. Докажем утверждение для случая, когда A есть открытое множество конечноймеры в Rn . Согласно второй теореме Витали, для каждого m ∈ N существует такая позамкнутых шаров, радиусыследовательность {Bkm }∞k=1 лежащих( в A непересекающихся)∞mкоторых не превосходят 1/m, что µ A \ ∪k=1 Bk = 0.
Обозначим через amk центры этихшаров и определим последовательность функций{mJ(amk ), x ∈ Bk , k ∈ N,Jm (x) =mJ(x),x ∈ A \ ∪∞k=1 Bk .Покажем, что Jm сходится к J при m → ∞ поточечно в A. Заметим, что множество A, хотяи имеет конечную меру, может быть неограниченным. Пусть E — произвольное компактное множество в X. Так как функция J непрерывна на X, она равномерно непрерывнана E. Поэтому для любого ε > 0 существует mε ∈ N, такое, что |J(x1 ) − J(x2 )| < ε, еслиmx1 , x2 ∈ A ∩ E и |x1 − x2 | < 1/mε .
В частности, |J(x) − J(amk )| < ε, если x ∈ Bk ∩ E иm > mε . Таким образом, |J(x) − Jm (x)| < ε при m > mε для всех x ∈ A ∩ E. Это означает,что Jm сходится к J равномерно на A ∩ E. Увеличивая множество E, мы получим, что Jmсходится к J в каждой точке множества A.Так как φ — ограниченный диффеоморфизм, функции Jm равномерно ограниченына A некоторой константой C. Поэтому, используя ограниченность меры множества A итеорему Лебега о предельном переходе, мы получим, что∫∫limJm dµ =J dµ.(∗)m→∞AA()mС другой стороны, поскольку µ A \ ∪∞B= 0,k=1 k∫∫Jm dµ =Am∪∞k=1 BkJm dµ =∞ ∫∑k=1BkmJm dµ =∞∑mJ(amk ) µ(Bk ).k=1Как следует из теоремы 11.4.40 об изменения меры шара при диффеоморфизме, а такжеиз замечания 11.4.41 к этой теореме,()()mµφ(B)µ φ(Bkm )km6 J(amk ) µ(Bk ) 6(1 + α(1/m))n(1 − α(1/m))nдля всех k, m ∈ N.
Поэтому()()()()∫∞∞mm∑∑µ φ(∪∞µ φ(Bkm )µ φ(∪∞µ φ(Bkm )k=1 Bk )k=1 Bk )=6=.Jm dµ 6(1 + α(1/m))n(1 + α(1/m))n(1 − α(1/m))n(1 − α(1/m))nAk=1k=198()mНо из леммы 11.4.42 следует, что µ φ(∪∞k=1 Bk ) = µ(φ(A)). Таким образом,µ(φ(A))6(1 + α(1/m))n∫Jm dµ 6Aµ(φ(A)).(1 + α(1/m))nУстремляя m к бесконечности и учитывая (∗), мы получим справедливость утверждениятеоремы для случая открытого множества A.Шаг 2.
Пусть A — множество типа Gδ и µ(A) < ∞. В этом случае существует такаяпоследовательность открытых множеств {Gk }, что µ(G1 ) < ∞, A = ∩k∈N Gk и Gk+1 ⊂ Gkдля всех k ∈ N. В силу утверждения, доказанного на шаге 1, множества φ(Gk ) измеримыдля всех k и∫µ(φ(Gk )) =J dµ.GkНаша цель — перейти в этом равенстве к пределу при k → ∞. Заметим, что φ(A) =∩k∈N φ(Gk ), φ(Gk+1 ) ⊂ φ(Gk ) для всех k ∈ N и µ(φ(G1 )) < ∞. Поэтому из непрерывностимеры Лебега следует, чтоµ(φ(A)) = lim µ(φ(Gk )).k→∞∫∫Нам осталось показать, что limk→∞ Gk J dµ = A J dµ. Обозначим через χE характеристическую функцию какого-либо множества E ⊂ X. Тогда χGk → χA при k → ∞ почти всюдув G1 .
Так как χGk 6 1 для всех k и µ(G1 ) < ∞, мы можем применить теорему Лебега определьном переходе, из которой следует, что∫∫∫∫limJ dµ = limχGk J dµ =χA J dµ =J dµ.k→∞Gkk→∞G1G1AТаким образом, мы доказали теорему для случая, когда A — множество типа Gδ .Шаг 3. Пусть теперь A — произвольное измеримое множество конечной меры. В этомслучае существует множество G типа Gδ , такое, что A ⊂ G и µ(G \ A) = 0. Тогда A =G \ (G \ A) и φ(A) = φ(G) \ φ(G \ A). Множество φ(G) измеримо в силу утверждения,доказанного на шаге 2, а φ(G\A) есть множество меры нуль в силу леммы 11.4.42. Поэтомуφ(A) — измеримое множество и∫∫µ(φ(A)) = µ(φ(G)) =J dµ =J dµ.GAТеорема доказана.Пример 11.4.44.
Используя доказанную теорему найдём площадь (двумерную меру Лебега) множестваE = {(x, y) ∈ R2 | 0 6 ρ(x, y) 6 2 + cos kθ(x, y), θ ∈ [0, 2π)},где k — какое-нибудь натуральное число, а (ρ, θ) — переменные полярной системы координат, связанные с декартовыми координатами (x, y) следующими формулами:x = ρ cos θ,y = ρ sin θ.99Эти формулы можно интерпретировать, как отображение φ, которое полуполосу P ={(ρ, θ) ∈ R2 | 0 6 ρ < ∞, 0 6 θ < 2π} переводит в R2 . Отображение φ, однако, не является взаимно-однозначным, так как множество P0 = {(ρ, θ) ∈ R2 | ρ = 0, 0 6 θ < 2π}переводится в точку (x, y) = (0, 0). Поэтому в качестве его области определения возьмём множество P \ P0 , на котором φ является биективным и, очевидно, непрерывнодифференцируемым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
