1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Заметим, что множество {x ∈ [0, 1] | f (x) < 1} состоит из одной точкиkx = 0, то есть является множеством меры нуль. Поэтому µ(Xm) = 0 при m 6 k. Для m > kнетрудно вычислить, что(1 )1k1/α−.µ(Xm ) = k(m − 1)1/α m1/αПоэтому∫fk dµ =X∞∞∞∞∑∑k 1/α ( ∑m )k 1/α ∑ 1mmkµ(Xm)=−=1+.1/α1/α1/αkk(m−1)mkmm=k+1m=k+1m=k+1m=kДля каждого k ∈ N ряд в правой части, очевидно, сходится при α ∈ (0, 1) и расходитсяпри α = 1. Отсюда следует, что f ∈ L(X) при α ∈ (0, 1), но мы не можем утверждать,что функция f не является интегрируемой при α = 1.
Вполне может случиться так, что,построив другую последовательность {fk }, мы сможем доказать её интегрируемость. Дляполучения отрицательного утверждения необходимо провести другие рассуждения.81Предположим, что функция f (x) = 1/x интегрируема на (0, 1] и рассмотрим последовательность множеств ∫Eℓ = (0, 1/ℓ). Заметим, что µ(Eℓ ) = 1/ℓ → 0 при ℓ → ∞. В то жевремя, f > ℓ на Eℓ и Eℓ f dµ > ℓ µ(Eℓ ) = 1 ̸→ 0 при ℓ → ∞, что противоречит теореме 11.4.19 об абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Таким образом, f ̸∈ L(X) приα = 1.•Лекция №25.
24.11.2016.11.4.3Интеграл Лебега и предельный переходОдним из основных преимуществ интеграла Лебега перед интегралом Римана являетсябо́льшая свобода при выполнении предельных переходом под знаком интеграла. Для осуществления этой процедуры в интеграле Римана нам фактически требовалась равномерная сходимость последовательности подынтегральных функций. Для интеграла Лебегаэто требование можно значительно ослабить. Сначала, как и ранее, мы предположим, чтоµ(X) < ∞.Теорема 11.4.21 (Лебег). Пусть последовательность {fk } измеримых функций сходится почти всюду на множестве X к функции f и |fk (x)| 6 φ(x) при всех k ∈ N и почтивсех x ∈ X.
Если φ ∈ L(X), то f ∈ L(X) и∫∫fk dµ =f dµ.limk→∞XXДоказательство. Очевидно, что |f (x)| 6 φ(x) для почти всех x ∈ X, поэтому, как следуетиз теоремы 11.4.16, f ∈ L(X). Зафиксируем произвольное ε > 0. В силу абсолютнойнепрерывности интеграла Лебега найдётся такое δ > 0, что∫εφ dµ <4Eдля произвольного измеримого множества E ⊂ X, мера Лебега которого меньше δ.
Вто же время, согласно теореме Егорова множество E можно выбрать так, чтобы последовательность {fk } сходилась равномерно на X \ E. Поэтому существует такое k∗ ∈ N,чтоε|fk (x) − f (x)| <2µ(X \ E)при k > k∗ и x ∈ X \ E.Таким образом,∫∫ ∫ fk dµ −f dµ = XXX\E∫(fk − f ) dµ +∫fk dµ −f dµ 6EE∫∫ε 2ε(fk − f ) dµ + 2 φ dµ < +=ε624EX\Eпри k > k∗ . Из этого неравенства следует утверждение теоремы.82•Пример 11.4.22.Пример 11.4.23. Условие существования мажоранты φ для последовательности {fk }важно в теореме Лебега.
Пусть X = [0, 1] и{k, x ∈ [0, 1/k),fk (x) =0, x ∈ [1/k, 1].Тогда fk (x) → 0 для любого x > 0. То есть, fk → f ≡ 0 при k → ∞ для почти всех x ∈ X.В то же время,∫∫1fk dµ = k · = 1 ̸→f dµ = 0.kXXДля последовательности {fk } нет интегрируемой мажоранты.•На практике интегрируемую мажоранту φ для последовательности {fk } бывает довольно сложно отыскать. Чаще всего такой мажорантой служит какая-нибудь постоянная. Если же последовательность {fk } не является ограниченной, возникают определенные проблемы при использовании теоремы Лебега.
Следующие теоремы позволяют осуществитьпредельный переход без использования мажоранты, однако и на последовательность {fk }налагаются более ограничительные условия.Теорема 11.4.24 (Б. Леви). Пусть {fk } — почти всюду неубывающаяпоследователь∫ность интегрируемых по Лебегу на множестве X функций и X fk dµ 6 M для некоторой постоянной M ∈ R и всех k ∈ N.Тогда для почти всех x ∈ X существует конечный предел limk→∞ fk (x) = f (x), f ∈L(X) и∫∫fk dµ =limk→∞Xf dµ.XДоказательство.
Обозначим через E такое множество в X, что f1 (x) 6 f2 (x) 6 . . . 6fk (x) 6 . . . для всех x ∈ E. Согласно условию теоремы, µ(X \ E) = 0. Без ограничения общности можно считать, что fk > 0 в E для всех k, иначе вместо функций fk мырассмотрим функции fk − f1 . Проведём доказательство теоремы в два шага.Шаг 1. Покажем, что для почти всех x ∈ E существует конечный предел limk→∞ fk (x) =f (x). Обозначим через E ∞ множество точек x ∈ E, в которых limk→∞ fk (x) = +∞. Намнеобходимо показать, что µ(E ∞ ) = 0.Определим множестваEkm = {x ∈ E | fk (x) > m}.mmЕсли x ∈ Ekm , то fk+1 (x) > fk (x) > m и поэтому x ∈ Ek+1.
Следовательно Ekm ⊂ Ek+1для всех k ∈ N. Обозначим через E m множество ∪k∈N Ekm . Из непрерывности меры Лебегаследует, чтоµ(E m ) = lim µ(Ekm ).k→∞В то же время, в силу неравенства Чебышева,∫M1m.fk dµ 6µ(Ek ) 6m XmПоэтому µ(E m ) 6 M/m и limm→∞ µ(E m ) = 0.83Если x∗ ∈ E ∞ , то для каждого m ∈ N существует такое число k, что fk (x∗ ) > m (т.е.,x∗ ∈ Ekm ). Поскольку x∗ ∈ Ekm хотя бы для одного k, мы делаем вывод, что x∗ ∈ E m ,а поскольку это включение справедливо для всех m, мы заключаем, что x∗ ∈ ∩m∈N E m .Таким образом, E ∞ ⊂ ∩m∈N E m .
Заметим, что E m+1 ⊂ E m для всех m ∈ N, так как Ekm+1 ⊂Ekm для каждого k ∈ N. Опять используя непрерывность меры Лебега, мы получаем()µ(E ∞ ) 6 µ ∩m∈N E m = lim µ(E m ) = 0.m→∞Следовательно µ(E ∞ ) = 0.Шаг 2. Функция f определена на множестве E \ E ∞ . Доопределим её как-нибудь на всёммножестве X, и новую функцию снова обозначим через f . Согласно теореме 11.3.13 функция f будет измеримой на X.Обозначим через Aj , j ∈ N, множество тех точек x ∈ X, для которых j − 1 6 f (x) < jи положим φ(x) = j при x ∈ Aj .
Заметим, что fk 6 f < φ 6 f + 1 почти всюду в X. Крометого, множества Aj не пересекаются и X = ∪j∈N Aj .Положим Bℓ = ∪ℓj=1 Aj . Почти всюду на этом множестве функции fk и f ограниченычислом ℓ и поэтому, используя теорему Лебега о предельном переходе, мы получим:ℓ∑j=1∫∫φ dµ 6j µ(Aj ) =Bℓ∫∫(f +1) dµ =Bℓfk dµ+µ(X) 6 M +µ(X).f dµ+µ(X) = limk→∞BℓBℓ∑То есть, частичные суммы ряда ∞j=1 j µ(Aj ) равномерно ограничены. Следовательно, этотряд сходится(так как его члены неотрицательны).
Но сумма этого ряда есть не что иное,∫как X φ dµ. Поэтому φ ∈ L(X). Таким образом, φ является интегрируемой мажорантойпоследовательности {fk }. Применив ещё раз теорему Лебега, мы получим утверждениетеоремы.Теорема 11.4.25 (Фату). Если последовательность неотрицательныхинтегрируемых∫функций {fk } сходится почти всюду на X к функцииfиfdµ6Mдля некоторойX k∫постоянной M ∈ R и всех k ∈ N, то f ∈ L(X) и X f dµ 6 M.Доказательство. Определим последовательность функций gm (x) = inf k>m fk (x). При каждом m ∈ N функция gm измерима и 0 6 gm 6 fm в X.
Поэтому gm ∈ L(X) и∫∫gm dµ 6fm dµ 6 M.XXПоскольку {gm } — неубывающая последовательность и limm→∞ gm = f почти всюду в X,доказываемое утверждение следует из теоремы Леви.Лекция №26. 28.11.2016.Замечание 11.4.26. Часто используется следующий вариант теоремы Фату: если последовательность неотрицательныхинтегрируемых функций {fk } сходится почти всюду∫на X к функцииfиfdµ6Mдля некоторой постоянной M ∈ R и всех k ∈ N, тоX k∫∫f ∈ L(X) и X f dµ 6 lim X fk dµ.k→∞84По сравнению с формулировкой теоремы Фату новым является только последнее интегральное неравенство. Чтобы его доказать,посмотрим внимательнее на доказательство∫теоремы.
Вообще говоря, предел limk→∞ X fk dµ может и не существовать. Однако нижнийпредел у ограниченной сверху последовательности существует всегда. Поэтому, согласнотеореме Леви,∫∫∫∫f dµ = limgk dµ = limgk dµ 6 limfk dµ.Xk→∞Xk→∞Xk→∞XЗаметим, что из сформулированного утверждения следует утверждение теоремы 11.4.25.•До настоящего момента мы предполагали, что X является измеримым множествомконечной меры. Чтобы определить интеграл Лебега по множеству X бесконечной меры,введём последовательность таких измеримых множеств Xk , что µ(Xk ) < ∞, Xk ⊂ Xk+1 длявсех k ∈ N и X = ∪∞k=1 Xk . Такую последовательность обычно называют исчерпывающей.Определение 11.4.27.
Измеримая функция f : X → R называется интегрируемой наX, если f ∈ L(A) для любого измеримого множества A ⊂ X конечной меры∫ и для каждой исчерпывающей последовательности {Xk } существует предел limk→∞ Xk f dµ, который не зависит от выбора последовательности {Xk }. Этот предел называетсяинтегралом∫от функции f по множеству X и обозначается, как обычно, через X f dµ.•Почти все утверждения, доказанные нами для случая интегрирования по множествуконечной меры, останутся справедливыми и для множества бесконечной меры. Нетрудно проверить, что теоремы Лебега, Леви и Фату о предельных переходах верны и дляинтегралов по множествам бесконечной меры. Тем не менее, в этом случае необходимоосторожно обращаться с доказанными утверждениями.
Основной факт, который необходимо отметить, заключается в том, что интеграл от ограниченной функции по множествубесконечной меры может быть бесконечным. Приведем два примера, указывающие надругие проблемы интегрирования по множеству бесконечной меры.Пример 11.4.28. Пусть X = R и µ — одномерная мера Лебега. Определим функции{1/k, |x| 6 k,fk (x) =0,|x| > k.Нетрудно видеть, что последовательность {fk } сходится равномерно на R к функции f ≡ 0.Тем не менее,∫Rfk dµ = 2 ̸→ 0 при k → ∞.•Пример 11.4.29.
Опять возьмем X = R и определим такую ограниченную функциюφ : R → R, что φ(x) > 0 при |x| < 1 и φ(x) = 0 при |x| > 1. Для каждого k ∈ N положимfk (x) = φ(x−k). Очевидно, что последовательность функций {fk } равномерно ограниченаи fk (x) → 0 при k → ∞ для каждого x ∈ R. Но∫∫fk dµ =φ dµ = const > 0 для всех k ∈ NиR∫R[−1,1]fk dµ ̸→ 0 при k → ∞.•8511.4.4Связь интеграла Лебега с интегралом РиманаМы рассмотрим одномерный случай, поскольку только для этого случая нами был определен интеграл Римана.∫b∫Теорема 11.4.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
