1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Во многихслучаях их практическое вычисление не представляется возможным,так что оценки эти носят, главным образом, теоретический характер.Аналогична ситуация и с другими постановками задач и погрешностями их решения.К. Рунге принадлежит идея использовать для определения значения константы C результаты нескольких расчётов на различных сетках. Далее, после того как величина C будет определена, мы можемиспользовать её значение для практического оценивания погрешностиприближённых решений нашей задачи, которые получаются с помощью выбранного численного метода.Предположим для простоты анализа, что численные решения рассматриваемой задачи расчитаны на сетках с шагом h и h/2 и равнысоответственно Ih и Ih/2 , а точное решение есть I.
ТогдаIh − I ≈ Chp , phhpIh/2 − I ≈ C= C p.22Вычитая второе равенство из первого, получимIh − Ih/2 ≈ Chp − Cтак что2p − 1hp= Chp,p22pIh − Ih/22p.·2p − 1hpЗная константу C, можно уже находить оценку погрешности расчитанных решений Ih , Ih/2 или любых другихПравило Рунге работает плохо, если главный член погрешности Chpне доминирует над последующими членами её разложения, которыеC ≈Литература к главе 2201соответствуют (p + 1)-ой и более высоким степеням шага сетки h.
Этопроисходит, как правило, для сильно меняющихся решений.Литература к главе 2Основная[1] Барахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ. – СанктПетербург–Москва– Краснодар: Лань, 2005.[2] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. –Москва: Бином, 2003, а также другие издания этой книги.[3] Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1–2. – Москва: Наука,1966.[4] Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы.
– Москва: Дрофа,2010, а также более ранние издания.[5] Вержбицкий В.М. Численные методы. Части 1–2. – Москва: «Оникс 21 век»,2005.[6] Волков Е.А. Численные методы. – Москва: Наука, 1987.[7] Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей.
– Москва: Наука, 1967.[8] Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. –Москва: ГИТТЛ, 1954.[9] Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. – Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1977.[10] Демидович Б.П., Марон А.А. Основы вычислительной математики. –Москва: Наука, 1970.[11] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайнфункций. – Москва: Наука, 1980.[12] Зорич В.А. Математический анализ. Т.
1. – Москва: Наука, 1981. T. 2. –Москва: Наука, 1984, а также более поздние издания.[13] Калиткин Н.Н. Численные методы. – Москва: Наука, 1978.[14] Кобков В.В., Шокин Ю.И. Сплайн-функции в численном анализе. – Новосибирск: Издательство НГУ, 1983.[15] Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. –Москва: Мир, 1969.[16] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – Москва: Наука, 1976, а также более поздние издания.[17] Кострикин А.Н. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры.
– Москва:Физматлит, 2001.[18] Крылов А.Н. Лекции о приближённых вычислениях. – Москва: ГИТТЛ, 1954,а также более ранние издания.2022. Численные методы анализа[19] Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов. – Москва: Наука, 1967.[20] Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы.Т. 1–2. – Москва: Наука, 1976.[21] Кунц К.С. Численный анализ. – Киев: Техника, 1964.[22] Люстерник Л.А., Червоненкис О.А., Янпольский А.Р. Математическийанализ. Вычисление элементарных функций.
– Москва: ГИФМЛ, 1963.[23] Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. — Москва: Мир, 1977.[24] Марков А.А. Исчисление конечных разностей. — Одесса: Mathesis, 1910.[25] Мацокин А.М., Сорокин С.Б. Численные методы. Часть 1. Численный анализ. – Новосибирск: НГУ, 2006.[26] Миньков С.Л., Миньков Л.Л. Основы численных методов. – Томск: Издательство научно-технической литературы, 2005.[27] Мысовских И.П.
Интерполяционные кубатурные формулы. – Москва: Наука, 1981.[28] Натансон И.П. Конструктивная теория функций. – Москва–Ленинград:ГИТТЛ, 1949.[29] Никольский С.М. Квадратурные формулы. – Москва: Наука, 1988.[30] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – Москва:Наука, 1989.[31] Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. – Москва: Наука, 1973.[32] Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. –Москва: Наука, 1976.[33] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. –Москва: Наука, 1974.[34] Тыртышников Е.Е.
Матричный анализ и линейная алгебра. – Москва: Физматлит, 2007.[35] Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. – Москва: Академия, 2007.[36] Уиттекер Э., Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений. – Ленинград-Москва: ГТТИ, 1933.[37] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.Т. 1, 2.
– Москва: Наука, 1966.Дополнительная[38] Абрамовиц М., Стиган И. Таблицы специальных функций. – Москва: Наука,1979.[39] Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. –Москва: Мир, 1972.[40] Бабенко К.И. Основы численного анализа. – Москва: Наука, 1986.Литература к главе 2203[41] Бахвалов Н.С., Корнев А.А., Чижонков Е.В. Численные методы. Решения задач и упражнения.
– Москва: Дрофа, 2008.[42] Геронимус Я.Л. Теория ортогональных многочленов. – Москва: Госуд. изд-вотехнико-теоретической литературы, 1950.[43] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. – Москва: Наука, Физматлит, 1968.[44] Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия. – Москва: Наука, 1989.[45] Дробышевич В.И., Дымников В.П., Ривин Г.С. Задачи по вычислительной математике.
– Москва: Наука, 1980.[46] Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – Москва: Мир, 1998.[47] Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. –Москва: Физматлит, 2006.[48] Коллатц Л., Крабс В. Теория приближений. Чебышёвские приближения иих приложения.
– Москва: Наука, 1978.[49] Кронрод А.С. Узлы и веса квадратурных формул. Шестнадцатизначные таблицы. – Москва: Наука, 1964.[50] Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. – Москва: Наука, 1966.[51] Кузьмин Р.О. К теории механических квадратур // Известия Ленинградского политехнического института. Отделение техн. естеств. и матем. 1931. – Т. 33.– С. 5–14.[52] Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. 2-е изд. – Москва: ГИФМЛ, 1962.[53] Локуциевский О.В., Гавриков М.Б. Начала численного анализа. – Москва:ТОО «Янус», 1994.[54] Лоран Ж.-П.
Аппроксимация и оптимизация. – Москва: Мир, 1975.[55] Меньшиков Г.Г. Локализующие вычисления. Конспект лекций. – СанктПетербург: СПбГУ, Факультет прикладной математики–процессов управления, 2003.[56] Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. – Москва:ГИТТЛ, 1953.[57] Милн В.Э. Численный анализ.
– Москва: Издательство иностранной литературы, 1951.[58] Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование.Методы Монте-Карло. – Москва: Изд. центр «Академия», 2006.[59] Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. – Санкт-Петербург: Издательство Санкт-Петербургского университета, 1998.[60] Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышёва. – Москва: Наука, 1983.[61] Погорелов А.И. Дифференциальная геометрия.
– Москва: Наука, 1974.2042. Численные методы анализа[62] Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышёвского приближения. – Киев:Наукова думка, 1969.[63] Сегё Г. Ортогональные многочлены. – Москва: Физматлит, 1962.[64] Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. – Москва: Наука, 1974.[65] Стеклов В.А. О приближённом вычислении определённых интегралов // Известия Академии Наук. – 1916.
– Т. 10, №6. – С. 169–186.[66] Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. – Москва: Наука,1979.[67] Стефенсен И.Ф. Теория интерполяции. – Москва: Объединённое научнотехническое издательство НКТП СССР, 1935.[68] Хансен Э., Уолстер Дж.У. Глобальная оптимизация с помощью методовинтервального анализа.
– Москва-Ижевск: Издательство «РХД», 2012.[69] Хаусхолдер А.С. Основы численного анализа. – Москва: Издательство иностранной литературы, 1956.[70] Хемминг Р.В. Численные методы. – Москва: Наука, 1972.[71] Aberth O. Precise numerical methods using C++. – San Diego: Academic Press,1998.[72] Hall A. On an experimental determination of π // Messenger of Mathematics. –1873. – Vol. 2. – P. 113-114.[73] Lobachevsky N. Probabilité des résultats moyens tirés d’observations répetées //Journal für die reine und angewandte Mathematik. – 1842. – Bd. 24.
– S. 164–170.[74] Moore R.E., Kearfott R.B., Cloud M. Introduction to interval analysis. –Philadelphia: SIAM, 2009.[75] Polya G. Über Konvergenz von Quadraturverfahren // Mathematische Zeitschrift.– 1933. – Bd. 37. – S. 264–286.[76] Schoenberg I.J Contributions to the problem of approximation of equidistantdata by analytic functions. Part A: On the problem of smoothing or graduation. Afirst class of analytic approximation formulae. Part B: On the problem of osculatoryinterpolation. A second class of analytic approximation formulae // Quart. Appl.Math.
– 1946. – Vol. 4. – P. 45–99, 112–141.Глава 3Численные методылинейной алгебры3.1Задачи вычислительнойлинейной алгебрыЧисленные методы линейной алгебры — это один из классическихразделов вычислительной математики, который в середине XX векавычленился даже в отдельное научное направление1 в связи с бурнымразвитием математических вычислений на ЭВМ. Традиционный, исторически сложившийся список задач вычислительной линейной алгебрыпо состоянию на 50–60-е годы прошлого века можно найти в капитальной книге Д.К. Фаддеева и В.Н.
Фаддеевой [44]. Он включал• решение систем линейных алгебраических уравнений,• вычисление определителей матриц,• нахождение обратной матрицы,• нахождение собственных значений и собственныхвекторов матриц,а также многочисленные разновидности этих задач.1 В англоязычной учебной и научной литературе для него часто используют термин «матричные вычисления», который у́же по объёму, не охватывая, к примеру,такую часть вычислительной линейной алгебры как тензорные вычисления.2052063. Численные методы линейной алгебрыНо «всё течёт, всё меняется». По мере развития науки и технологийв фокусе развития вычислительной линейной алгебры оказались новыезадачи. Вот как формулирует список важнейших задач в 2001 годуамериканский специалист Дж.
Деммель в книге [13]:• решение систем линейных алгебраических уравнений;• линейная задача о наименьших квадратах:найти вектор x, минимизирующий hAx − b, Ax − biдля заданных m×n-матрицы A и m-вектора b;• нахождение собственных значений и собственныхвекторов матриц;• нахождение сингулярных чисел и сингулярныхвекторов матриц.Постановку последней задачи мы будем обсуждать ниже в §3.2г.Вторая задача из этого списка — линейная задача о наименьших квадратах — является одним из вариантов дискретной задачи о наилучшемсреднеквадратичном приближении. Она возникает обычно в связи с решением переопределённых систем линейных алгебраических уравнений(СЛАУ), которые, к примеру, получаются при обработке экспериментальных данных.Помимо перечисленных задач к сфере вычислительной линейнойалгебры относится также решение разнообразных линейных уравнений, в которых неизвестными являются матрицы (см., к примеру, [72]).Таковы матричные уравнения Сильвестера, Ляпунова и др., которыевозникают, к примеру, в теории автоматического управления.С точки зрения классических разделов математики решение выписанных задач даётся вполне конструктивными способами и как будтоне встречает больших затруднений:– решение квадратной СЛАУ получается покомпонентно по формуле Крамера, как частное двух определителей, которые, в своюочередь, могут быть вычислены по явной формуле;– для вычисления собственных значений матрицы A нужно выписать её характеристическое (вековое) уравнение det(A − λI) = 0и найти его корни λ;и так далее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
