1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Численные методы линейной алгебрыИ наоборот, если ненулевое µ есть собственное значение для BA, то,домножая слева равенствоBAv = µvна матрицу A, получимABAv = AB(Av) = µ(Av),причём Av 6= 0. Как следствие, Av есть собственный вектор матрицыAB, отвечающий собственному значению µ. Иными словами, ненулевыесобственные числа матриц AB и BA находятся во взаимнооднозначномсоответствии друг с другом.Другой вывод этого результата можно найти, к примеру, в [2, 42].Особая роль нулевого собственного значения в этом результате объясняется тем, что если A и B — прямоугольные матрицы, то из двухматриц AB и BA по крайней мере одна имеет неполный ранг — та, чьиразмеры больше.

Она, соответственно, особенна и имеет нулевое собственное значение. Но меньшая по размерам матрица особенной приэтом может и не быть.Собственные векторы x, являющиеся решениями (3.5), называюттакже правыми собственными векторами, поскольку они соответствуют умножению на матрицу справа. Но нередко возникает необходимость рассмотрения левых собственных векторов, обладающих свойством, аналогичным (3.5), но при умножении на матрицу слева.

Очевидно, это должны быть собственные вектор-строки, но, имея в качестве основного пространство вектор-столбцов Cn , нам будет удобнозаписать условие на левые собственные векторы в видеy ∗A = µ y ∗ ,для y ∈ Cn и некоторого µ ∈ C. Применяя к этому соотношению эрмитово сопряжение, получимA∗ y = µy,т. е. левые собственные векторы матрицы A являются правыми собственными векторами эрмитово сопряжённой матрицы A∗ . Эта простая взаимосвязь объясняет редкость самостоятельного использования2193.2. Теоретическое введениепонятий левого и правого собственных векторов.

Ясно, что при этомdet(A∗ − µI) = 0.Исследуем подробнее так называемую сопряжённую задачу на собственные значения. Этим термином называют задачу нахождения собственных чисел и собственных векторов для эрмитово сопряжённойматрицы A∗ :A∗ y = κy,где κ ∈ C — собственное значение матрицы A∗ и y ∈ Cn — соответствующий собственный вектор. Как связаны между собой собственныезначения и собственные векторы исходной A и сопряжённой A∗ матриц? Для ответа на этот вопрос нам понадобитсяОпределение 3.2.1 Два набора из одинакового количества векторов{r1 , r2 , .

. . , rm } и {s1 , s2 , . . . , sm } в евклидовом или унитарном пространстве называются биортогональными, если hri , sj i = 0 при i 6= j.Приставка «би» в термине «биортогональность» означает, что введённое свойство относится к двум наборам векторов.Ясно, что выполнение свойства биортогональности существенно зависит от порядка нумерации векторов в пределах каждого из наборов,так что в определении биортогональности неявно предполагается, чтонеобходимые нумерации существуют и рассматриваемые наборы упорядочены в соответствии с ними.

Нетрудно также понять, что есликакой-либо набор векторов биортогонален сам себе, то он ортогоналенв обычном смысле.Предложение 3.2.2 Собственные значения эрмитово-сопряжённыхматриц попарно комплексно сопряжены друг другу. Собственные векторы эрмитово сопряжённых матриц биортогональны.Доказательство.

Определитель матрицы, как известно, не меняется при её транспонировании, т. е. det A⊤ = det A. С другой стороны,комплексное сопряжение элементов матрицы влечёт комплексное сопряжение её определителя, det A = det A. Следовательно,det(A − λI) = det(A − λI)⊤ = det(A⊤ − λI)= det A⊤ − λI= det A∗ − λI .2203. Численные методы линейной алгебрыОтсюда мы можем заключить, что комплексное число z является корнем характеристического уравнения det(A − λI) = 0 матрицы A тогдаи только тогда, когда ему сопряжённое z является корнем уравненияdet(A∗ − λI) = 0, который является характеристическим для матрицыA∗ . Это доказывает первое утверждение.Пусть x и y — собственные векторы матриц A и A∗ соответственно,а λ и κ — отвечающие им собственные числа этих матриц.

Для доказательства второго утверждения выпишем следующую цепочку преобразований:hx, yi =Поэтомуто естьκ1111hλx, yi = hAx, yi = hx, A∗ yi = hx, κyi =hx, yi.λλλλλκhx, yi = 0,λκ= 0.hx, yi 1 −λhx, yi −Если x и y являются собственными векторами матриц A и A∗ , отвечающими собственным значениям λ и κ, которые не сопряжены комплексно друг другу, то в левой части полученного равенства второйсомножитель (1 − κ/λ) 6= 0. По этой причине необходимо hx, yi = 0, чтои требовалось доказать.Обращаясь к определению правых и левых собственных векторовматрицы, можем утверждать, что если λ — правое собственное значение матрицы A, а µ — левое собственное значение, то λ = µ. Инымисловами, правые и левые собственные значения матрицы совпадаютдруг с другом, и потому их можно не различать.

Что касается правыхи левых собственных векторов матрицы, то они биортогональны другдругу.Предложение 3.2.3 Если λ — собственное число квадратной неособенной матрицы, то λ−1 — это собственное число обратной матрицы, отвечающее тому же собственному вектору.Доказательство.

Если C — неособенная n × n-матрица и Cv = λv, тоv = λC −1 v. Далее, так как λ 6= 0 в силу неособенности C, получаемотсюда C −1 v = λ−1 v.2213.2. Теоретическое введение3.2вРазложения матриц, использующие спектрКвадратную матрицу видаα1α1...00...α,1αу которой по диагонали стоит α, на первой верхней побочной диагоналивсе единицы, а остальные элементы — нули, называют, как известно,жордановой клеткой, отвечающей значению α. Ясно, что α являетсясобственным значением такой матрицы.В линейной алгебре показывается, что с помощью подходящего преобразования подобия любая квадратная матрица может быть приведена к жордановой канонической форме — блочно-диагональной матрице, на главной диагонали которой стоят жордановы клетки, отвечающие собственным значениям рассматриваемой матрицы (см., к примеру, [7, 9, 23, 26, 38, 40, 50]).

Иными словами для любой квадратнойматрицы A существует такая неособенная матрица S, чтоS −1 AS = J,гдеJ = λ11λ1......0001λ1λ21...00...λ20а λ1 , λ2 , . . . — собственные значения матрицы A.......,(3.7)2223. Численные методы линейной алгебрыСоответственно, представление произвольной матрицы A в видеA = SJS −1 ,где J — матрица в жордановой нормальной форме, называют жордановым разложением.Неприятной особенностью жордановой канонической формы и жорданова разложения является то, что они не зависят непрерывно от элементов исходной матрицы, несмотря на то, что сами собственные значения матрицы непрерывно зависят от её элементов.

Размеры жордановых клеток-блоков и их расположение вдоль диагонали могут скачкообразно меняться при изменении элементов матрицы. Это делает жорданову форму малопригодной при решении многих практических задач,где входные данные носят приближённый и неточный характер.Если матрица имеет простую структуру (см. определение в §3.16б),то жорданово разложение матрицы превращается в более простое представлениеA = SDS −1 ,в котором D — диагональная матрица, у которой по диагонали стоятсобственные значения A с учётом их кратности. Часто это представление называют спектральным разложением матрицы (или соответствующего ей линейного оператора).Другое популярное разложение матриц, использующее информацию о спектре матрицы — это разложение Шура.Пусть A — комплексная n × n-матрица и зафиксирован некоторыйпорядок её собственных значений λ1 , λ2 , .

. . , λn . Существует такаяунитарная n × n-матрица U , что матрица T = U ∗AU является верхнейтреугольной матрицей с диагональными элементами λ1 , λ2 , . . . , λn .Иными словами, любая комплексная квадратная матрица A унитарноподобна треугольной матрице, в которой диагональные элементы являются собственными значениями для A, записанными в произвольномзаранее заданном порядке. Если же A — это вещественная матрица ивсе её собственные значения вещественны, то U можно выбрать вещественной ортогональной матрицей. ПредставлениеA = UT U∗с верхней треугольной матрицей T и унитарными (ортогональными)матрицами U и U ∗ называют разложением Шура матрицы A. В отличие от жорданова разложения и жордановой нормальной формы оноустойчиво к возмущениям элементов матрицы A.3.2.

Теоретическое введение223Для симметричных (эрмитовых в комплексном случае) матриц ввыписанном представлении матрица T также должна быть симметричной (эрмитовой). Как следствие, в этом случае справедлив болеесильный результат: с помощью ортогонального преобразования подобия любая матрица может быть приведена к диагональному виду, ссобственными значениями по диагонали. Спектральное разложение соответствующего линейного оператора — это его представление в виделинейной комбинации операторов проектирования на взаимно ортогональные оси.3.2гСингулярные числаи сингулярные векторы матрицыИз результатов раздела 3.2б следует, что для определения собственных значений квадратной матрицы A и её левых и правых собственныхвекторов необходимо решить систему уравнений(Ax = λ x,(3.8)y∗A = λ y∗.Система уравнений (3.8) является «распавшейся»: в ней первая половина уравнений (соответствующая Ax = λx) никак не зависит от второйполовины уравнений (соответствующей y ∗ A = λ y ∗ ).

Характеристики

Список файлов книги