1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 84
Текст из файла (страница 84)
. . , vn }Cp [a, b]линейная оболочка векторов v2 , . . . , vnкласс функций, непрерывно дифференцируемыхвплоть до p-го порядка на интервале [a, b]L2 [a, b]класс функций, интегрируемых с квадратомна интервале [a, b]min, maxPоперации взятия минимума и максимумасимвол суммы нескольких слагаемыхdiag {z1 , . .
. , zn } диагональная n × n-матрицас элементами z1 , . . . , zn по главной диагоналиQсимвол произведения нескольких сомножителейИнтервалы и другие интервальные величины (векторы, матрицыи др.) всюду в тексте обозначаются жирным математическим шрифтом, например, A, B, C, . . . , x, y, z, тогда как неинтервальные (точечные) величины никак специально не выделяются. Арифметическиеоперации с интервальными величинами — это операции классическойинтервальной арифметики IR (см.
§1.5).Если не оговорено противное, под векторами (точечными или интервальными) всюду понимаются вектор-столбцы.516ОбозначенияКонец доказательства теоремы или предложения и конец примеравыделяются в тексте стандартным знаком «».Значительная часть описываемых в книге алгоритмов снабжается псевдокодами на неформальном алгоритмическом языке, основныеконструкции и ключевые слова которого должны быть понятны читателю из начального курса программирования. В частности, операторные скобкиDO FOR . . . END DO означают оператор цикла со счётчиком,который задаётся после FOR,DO WHILE . .
. END DO означают оператор цикла с предусловием,стоящим после WHILE,IF . . . THEN . . . END IF или IF . . . THEN . . . ELSE . . . END IFозначают условные операторы с условием, стоящим после IF.В циклах «DO FOR» ключевое слово «TO» означает увеличение счётчика итераций от начального значения до конечного (положительныйшаг), а ключевое слово «DOWNTO» — уменьшение счётчика итераций(отрицательный шаг). По умолчанию значения счётчика изменяетсяна единицу.Краткийбиографический словарьАбель, Нильс Хенрик (Niels Henrik Abel, 1802–1829)— норвежский математик.Адамар, Жак Саломон (Jacques Salomon Hadamard, 1865–1963)— французский математик.Андронов, Александр Александрович (1901–1952)— советский физик и механик.Бабенко, Константин Иванович (1919–1987)— советский математик и механик.Банах, Стефан (Stefan Bahach, 1892–1945)— польский математик.Бауэр, Фридрих Людвиг (Friedrich Ludwig Bauer, род.
1924)— немецкий математик.Бельтрами, Эудженио (Eugenio Beltrami, 1835–1900)— итальянский математик.Бернштейн, Сергей Натанович (1880–1968)— российский и советский математик.Больцано, Бернард (Bernard Bolzano, 1781–1848)— чешский теолог, философ и математик.Брадис, Владимир Модестович (1890–1975)— русский и советский математик и педагог.Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881–1966)— голландский математик.517518ОбозначенияБюффон, Жорж-Луи Леклерк де (Georges-Louis Leclerc de Buffon,1707–1788) — французский естествоиспытатель.Валлис, Джон (John Wallis, 1616–1703)— английский математик.Вандермонд, Александр Теофиль (Alexandre Theophill Vandermonde,1735–1796) — французский музыкант и математик.Вейерштрасс, Карл Теодор (Karl Theodor Weierstrass, 1815–1897)— немецкий математик.Вейль, Герман (Hermann Weyl, 1885–1955)— немецкий и американский математик.Виет, Франсуа (François Viète, 1540–1603)— французский математик.Виландт, Хельмут (Helmut Wielandt, 1910–2001)— немецкий математик.Гаусс, Карл Фридрих (Carl Friedrich Gauss, 1777–1855)— немецкий математик, внёсший также фундаментальный вклад вчисленные методы, астрономию и геодезию.Гельфанд, Израиль Моисеевич (1913–2009)— советский математик.
С 1989 года жил и работал в США.Герон Александрийский (др.-греч. H̺ων o Aλεξανδ̺ευς, около 1 в. н.э.)— греческий математик и механик.Гершгорин, Семён Аронович (1901–1933)— советский математик, живший и работавший в Ленинграде.Гёльдер, Людвиг Отто (Ludwig Otto Hölder, 1859–1937)— немецкий математик.Гивенс, Джеймс Уоллес (James Wallace Givens, 1910–1993)— американский математик.Гильберт, Давид (David Hilbert, 1862–1943)— немецкий математик.Грам, Йорген Педерсен (Jorgen Pedersen Gram, 1850–1916)— датский математик.Евклид, или Эвклид (др.-греч.
Eυκλειδης, около 300 г. до н. э.)— древнегреческий математик.Обозначения519Жордан, Мари Энмон Камилл (Marie Ennemond Camille Jordan,1838–1922) — французский математик.Зейдель, Филипп Людвиг (Philipp Ludwig Seidel, 1821–1896)— немецкий астроном и математик.Йордан, Вильгельм (Wilhelm Jordan, 1842–1899)— немецкий геодезист.3Канторович, Леонид Витальевич (1912–1986)— советский математик и экономист, известный пионерским вкладомв линейное программирование.Кнут, Дональд Эрвин (Donald Ervin Knuth, род. 1938)— американский математик и специалист по информатике ипрограммированию.Колмогоров, Андрей Николаевич (1903–1987)— советский математик, внёсший большой вклад во многие разделысовременной математики, от топологии до теории вероятностей.Котес, Роджер (Roger Cotes, 1682–1716)— английский математик.Коши, Огюстен Луи (Augustin Louis Cauchy, 1789–1857)— французский математик и механик.Кравчик, Рудольф (Krawczyk, Rudolf)— немецкий математик.Крамер, Габриэль (Gabriel Cramer, 1704–1752)— швейцарский математик.Красносельский, Марк Александрович (1920–1997)— советский и российский математик.Крейн, Селим Григорьевич (1917–1999)— советский и российский математик.Кронекер, Леопольд (Leopold Kronecker, 1823–1891)— немецкий математик.Крылов, Алексей Николаевич (1863–1945)— русский и советский математик, механик и кораблестроитель.Кублановская, Вера Николаевна (род.
1920)— советский и российский математик.3 Не следует путать его с Паскуалем Йорданом (Pascual Jordan, 1902–1980),немецким физиком и математиком.520ОбозначенияКузьмин, Родион Осиевич (1891–1949)— русский и советский математик.Курант, Рихард (Richard Courant, 1888–1972)— немецкий и американский математик.Лагранж, Жозеф Луи (Joseph Louis Lagrange, 1736–1813)— французский математик и механик.Ландау, Эдмунд (Edmund Landau, 1877–1938)— немецкий математик.Ланцош, Корнелий (Cornelius Lanczos, 1893–1974)— американский физик и математик венгерского происхождения.Пьер-Симон, Лаплас (Pierre-Simon Laplace, 1749–1827)— французский математик, механик, физик и астроном.Лебег, Анри Леон (Henri Léon Lebesgue, 1875–1941)— французский математик.Лежандр, Адриен Мари (Adrien Marie Legendre, 1752–1833)— французский математик и механик.Лейбниц, Готфрид Вильгельм (Gottfried Wilhelm Leibnitz, 1646–1716)— немецкий философ, математик и физик, один из создателейдифференциального и интегрального исчисления.Липшиц, Рудольф (Rudolf Lipschitz, 1832–1903)— немецкий математик.Лобачевский, Николай Иванович (1792–1856)— русский математик, создатель неевклидовой геометрии.Локуциевский, Олег Вячеславович (1922–1990)— советский математик.Ляпунов, Александр Михайлович (1857–1918)— русский математик и механик, основоположник математическойтеории устойчивости.Марков, Андрей Андреевич (1856–1922)— русский математик.Марцинкевич, Юзеф (Józef Marcinkiewicz, 1910–1941)— польский математик.Микеладзе, Шалва Ефимович (1895–1976)— советский математик.Обозначения521Минковский, Герман (Hermann Minkowski, 1864–1909)— немецкий математик.Миранда, Карло (Carlo Miranda, 1912–1982)— итальянский математик.Нейман, Карл Готфрид (Karl Gottfried Neumann, 1832–1925)— немецкий математик.фон Нейман, Джон (John von Neumann, 1903–1957)— американский математик венгерского происхождения, известныйтакже работами по развитию первых цифровых ЭВМ.4Ньютон, Исаак (Isaac Newton, 1643–1727)— английский физик и математик, заложивший основыдифференциального и интегрального исчисления и механики.Островский, Александр (Alexander M.
Ostrowski, 1893–1986)немецкий и швейцарский математик русского происхождения.Перрон, Оскар (Oskar Perron, 1880–1975)— немецкий математик.Пикар, Шарль Эмиль (Picard, Charles Émile, 1856–1941)— французский математик.Пирсон, Карл (Чарльз) (Karl (Charles) Pearson, 1857–1936)— английский математик, биолог и философ.Пойа (Полиа), Дъёрдь (иногда Джордж) (György Polya, 1887–1985)— венгерский и американский математик.Риман, Бернхард (Georg-Friedrich-Bernhard Riemann, 1826–1866)— немецкий математик, механик и физик.Ричардсон, Льюис Фрай (Lewis Fry Richardson, 1881–1953)— английский математик, физик и метеоролог.Родриг, Бенжамен Оленд (Benjamin Olinde Rodrigues, 1795–1851)— французский математик и банкир.Рунге, Карл Давид (Karl David Runge, 1856–1927)— немецкий физик и математик.Руффини, Паоло (Paolo Ruffini, 1765–1822)— итальянский математик.4 Егоименем назван спектральный признак устойчивости разностных схем.522Рэлей, Джон Уильям (John William Reyleigh, 1842–1919)— английский физик.Самарский, Александр Андреевич (1919–2008)— советский и российский математик.Симпсон, Томас (Thomas Simpson, 1710–1761)— английский математик.Сонин Николай Яковлевич (1849–1915)— русский математик.Стеклов, Владимир Андреевич (1863–1926)— русский математик и механик.Стирлинг, Джеймс (James Stirling, 1692–1770)— шотландский математик.Таусски, Ольга (Olga Tausski, 1906–1995)— американский математик.Тейлор, Брук (Brook Taylor, 1685–1731)— английский математик.Тихонов, Андрей Николаевич (1906–1993)— советский математик.Улам, Станислав (Stanislaw Marcin Ulam, 1909–1984)американский математик польского происхождения.Фабер, Георг (Georg Faber, 1877–1966)— немецкий математик.Фаддеев, Дмитрий Константинович (1907–1989)— советский математик.Фаддеева, Вера Николаевна (1906–1983)— советский математик.Файк, (С.Т.
Fike, –)— американский математик.Фарадей, Майкл (Michael Faraday, 1791–1867)— английский физик и химик.Федоренко, Радий Петрович (1930–2009)— советский математик.Ферма, Пьер (Pierre Fermat, 1601–1665)— французский математик.ОбозначенияОбозначения523Фишер, Эрнст Сигизмунд (Ernst Sigismund Fischer, 1875–1954)— немецкий математик.5Фробениус, Фердинанд Георг (Ferdinand Georg Frobenius, 1849–1917)— немецкий математик.Фрэнсис, Джон (John G.F.
Francis, род. 1934)— английский математик и программист.Хаусдорф, Феликс (Felix Hausdorff, 1868–1942)— немецкий математик.Хаусхолдер, Элстон (Alston Scott Householder, 1904–1993)— американский математик.Хессенберг, Карл Адольф (Karl Adolf Hessenberg, 1904–1959)— немецкий математик и инженер.Хестенс, Магнус (Magnus R. Hestenes, 1906–1991)— американский математик.Холесский, Андре-Луи (André-Louis Cholesky, 1875–1918)— французский геодезист и математик.6Хопф, Хайнц (Heinz Hopf, 1896–1971)— немецкий и швейцарский математик.Хоффман, Алан Джером (Alan Jerome Hoffman, род.
1924)— американский математик.7Чебышёв, Пафнутий Львович (1821–1894)— русский математик и механик, внёсший основополагающий вклад,в частности, в теорию приближений и теорию вероятностей.Шёнберг, Исаак Якоб (Isaac Jacob Schönberg, 1903–1990)румынский и американский математик.Шмидт, Эрхард (Erhard Schmidt, 1876–1959)— немецкий математик.Шрёдер, Иоганн (Johann Schröder, 1925–2007)— немецкий математик.5 Примерно к этому же времени относится жизнь и деятельность известного английского статистика и биолога Рональда Э. Фишера (1890–1962).6 В русской научной литературе его фамилия нередко транслитерируется как«Холецкий» или даже «Халецкий».7 Иногда его фамилию транслитерируют как «Гоффман».524ОбозначенияШтифель, Эдуард (Eduard L.
Stiefel, 1909–1978)швейцарский математик.Шур, Исай (Issai Schur, 1875–1941)– немецкий и израильский математик.Эйлер, Леонард (Leonhard Euler, 1707–1783)— российский математик швейцарского происхождения, внёсшийфундаментальный вклад практически во все разделы математики.Эрмит, Шарль (Charles Hermite, 1822–1901)— французский математик.Яко́би, Карл Густав (Carl Gustav Jacobi, 1804–1851)— немецкий математик.Яненко, Николай Николаевич (1921–1984)— советский математик и механик.Предметный указатель103дифференцирование символьное,103длина вектора, 234доминирующее собственноезначение, 429доминирующий собственныйвектор, 429естественный сплайн, 99евклидова норма, 234экспоненциальная трудоёмкость,36экстраполяция, 69экстремум глобальный, 373экстремум локальный, 373эквивалентные нормы, 238, 251элементарная матрицаперестановок, 295энергетическая норма, 254энергии функционал, 372эрмитова интерполяция, 79формула Ньютона-Лейбница, 148формула Родрига, 140формула Симпсона, 158формула кубатурная, 149формула квадратурная, 149формула парабол, 158формула прямоугольников, 152формула трапеций, 155формулы Гаусса, 171формулы Лобатто, 185формулы Маркова, 185абсолютная погрешность, 12алгебраическая степень точности,150алгоритмическоедифференцирование,103, 122аналитическая функция, 85арифметика дифференциальная,122автоматическоедифференцирование,103, 122биортогональность, 218целевая функция, 373чебышёвская метрика, 45чебышёвская норма, 234чебышёвская сетка, 77чебышёвские узлы, 77численное дифференцирование,103число обусловленности, 272дефект сплайна, 89диагонализуемая матрица, 407диагональное преобладание, 231дифференциальная арифметика,122дифференцированиеалгоритмическое, 103,122дифференцированиеавтоматическое, 103, 122дифференцирование численное,525526формулы Ньютона-Котеса, 151формулы численногодифференцирования,105, 107функционал энергии, 372главный элемент, 293гёльдерова норма, 235характеристическое уравнениематрицы, 216характеризация Бека, 489характеризация Оеттли-Прагера,489хессенбергова форма, 420индуцированная норма, 248интегральная метрика, 45интерполирование, 46интерполяционная квадратурнаяформула, 162интерполяция эрмитова, 79интерполянт, 46интервальная арифметика, 26интервальное расширение, 29итерационные методы, 284каноническая форма СЛАУ, 282каноническая форма Самарского,389классическая интервальнаяарифметика, 26коэффициент чувствительности,22коэффициенты Фурье, 132коэффициенты перекоса, 412коллинеарные векторы, 208комплексификация, 258конечные методы, 284кратность узла, 77круги Гершгорина, 415квадратурная интерполяционнаяформула, 162линейная интерполяция, 51линейная оболочка, 208линейная задача о наименьшихПредметный указательквадратах, 399максимум-норма, 234машинная интервальнаяарифметика, 39матрица Гильберта, 136, 276матрица Грама, 131матрица Уилкинсона, 413матрица Вандермонда, 51, 277матрица диагонализуемая, 407матрица наклонов интервальная,497матрица недефектная, 407матрица неособенная, 211матрица неразложимая, 233матрица особенная, 211матрица отражения, 315матрица перестановок, 296матрица почти треугольная, 420матрица предобуславливающая,348матрица простой структуры, 407матрица разложимая, 232матрица регулярная, 211матрица скалярная, 350матрица строго нижняятреугольная, 355матрица строго регулярная, 299матрица строго верхняятреугольная, 356матрица транспозиции, 295матрица трёхдиагональная, 331матрица вращения, 323матричная норма, 243матричный ряд Неймана, 262мера диагональногопреобладания, 363метод Эйлера, 387метод Гаусса, 288метод Гаусса-Зейделя, 360метод Герона, 482метод Хаусхолдера, 318метод Холесского, 307Предметный указательметодметодметодметодметодметодметодметодметодметодметодШульца, 394Якоби, 355градиентного спуска, 374квадратного корня, 308минимальных невязок, 381наискорейшего спуска, 377отражений, 318прогонки, 333простой итерации, 350релаксации, 365сопряжённых градиентов,385метод установления, 387метод ветвлений и отсечений, 502метрика, 45, 124множитель Холесского, 302мультиметрика, 480насыщение численного метода, 99натуральный сплайн, 99недефектная матрица, 407нелинейная интерполяция, 51ненасыщаемый метод, 99, 185непрерывность по Липшицу, 23,87неравенство Коши-Буняковского,235неравенство Минковского, 235нестационарный итерационныйпроцесс, 338невязка, 339, 364неявный итерационный метод,349норма, 233норма энергетическая, 254норма индуцированная, 248норма операторная, 248норма подчинённая, 248нормальная система уравнений,401нормальное псевдорешение, 401обобщённая степень, 64обратная матрица, 211527обратные степенные итерации,437оператор Кравчика, 499оператор Ньютона интервальный,494операторная форма СЛАУ, 284операторная норма, 248ортогонализация Грама-Шмидта,138, 326основная теорема интервальнойарифметики, 30остаточный член квадратурнойформулы, 150относительная погрешность, 13отношение Рэлея, 417почти решения, 460подчинённая норма, 248подобная матрица, 211подпространства Крылова, 329погрешность абсолютная, 12погрешность относительная, 13поле значений матрицы, 417полином интерполяционный, 50полином интерполяционныйЛагранжа, 54полином интерполяционныйНьютона, 63полиномы Чебышёва, 70полиномы Лежандра, 139полиномиальная трудоёмкость, 36порядок аппроксимации, 110порядок точности формулы, 110,187правило Рунге, 199предобуславливание, 348предобуславливатель, 348пример Бернштейна, 84пример Рунге, 85принцип релаксации, 364принцип вариационный, 370приведённые полиномыЧебышёва, 74528признак Адамара, 231пространство строгонормированное, 127прямые методы, 284псевдометрика, 46псевдорасстояние, 46псевдорешение, 401расстояние, 45, 124расщепление матрицы, 349равномерная метрика, 45разделённая разность, 54разложение Холесского, 302разложение Шура, 221разложение Жордана, 221разложение сингулярное, 228разложение спектральное, 221разложение треугольное, 292разностные уравнениятрёхточечные, 332разность назад, 105разность вперёд, 105регрессионная линия, 400регрессия, 400рекуррентный вид системы, 340,453рекуррентный вид уравнения, 453ряд Фурье, 132сдвиг спектра, 438сетка, 46, 149схема единственного деления, 289сходимость по норме, 238, 251сходимость поэлементная, 253символьное дифференцирование,103сингулярные числа, 223сингулярные векторы, 223система трёхдиагональная, 331скалярные произведения, 208след матрицы, 424собственный вектор, 402собственное число, 402собственное значение, 402Предметный указательспектр матрицы, 216спектральная норма, 251спектральный радиус, 256спектральное разложение, 221сплайн, 89среднеквадратичная метрика, 45стационарный итерационныйпроцесс, 338степенной метод, 431степень сплайна, 89строго нормированноепространство, 127строго регулярная матрица, 299субдистрибутивность, 27сжатие, 480сжимающее отображение, 480шаблон, 107теорема Абеля-Руффини, 405теорема Банаха о неподвижнойточке, 480теорема Бауэра-Файка, 407теорема Больцано-Коши, 476теорема Брауэра о неподвиднойточке, 490теорема Экарта-Янга, 268теорема Фабера, 87теорема Гершгорина, 415теорема Леви-Деспланка, 232теорема Марцинкевича, 88теорема Миранды, 477теорема Островского, 406теорема Островского-Райха, 368теорема Самарского, 390теорема Стеклова-Пойа, 191теорема Шрёдера о неподвижнойточке, 481теорема Таусски, 233теорема Вейерштрасса, 84теорема Вейля, 418теорема Виландта-Хофмана, 428теорема о сингулярномразложении, 228Предметный указательтест существования решения, 493треугольное разложение, 292тригонометрические полиномы,49трёхдиагональная матрица, 97узлы сплайна, 89ведущая подматрица, 210ведущий элемент, 293ведущий минор, 210векторная норма, 233вырожденный интервал, 26задача некорректная, 21, 121задача о наименьших квадратахлинейная, 399задача приближения функции,125задача сглаживания, 125задача вычислительнокорректная, 456задача восстановлениязависимостей, 400значащая цифра, 13жорданово разложение, 221O-большое, 98P -сжатие, 480LDL⊤ -разложение, 309ε-решения, 460p-ранговое приближениематрицы, 2671-норма, 2342-норма, 234LU-разложение, 292QR-алгоритм, 442, 444QR-разложение, 313529.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
