1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652)
Текст из файла
С.П. ШарыйКурсВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХМЕТОДОВКурсВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХМЕТОДОВС. П. ШарыйИнститут вычислительных технологий СО РАННовосибирск – 2016Книга является систематическим учебником по курсу вычислительных методов и написана на основе лекций, читаемых автором на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Особенностью книги является изложение методов интервального анализа и результатов конструктивной математики, связанных с традиционными разделами численного анализа.c С.П.
Шарый, 2010–2016 г.ОглавлениеПредисловие9Глава 1. Введение1.1 Погрешности вычислений . . . . . . . . . . .1.2 Компьютерная арифметика . . . . . . . . . .1.3 Обусловленность математических задач . . .1.4 Устойчивость алгоритмов . . . . . . . . . . .1.5 Интервальная арифметика . . . . . . . . . . .1.6 Интервальные расширения функций . . . . .1.7 Элементы конструктивной математики . . .1.8 Сложность задач и трудоёмкость алгоритмов1.9 Доказательные вычисления на ЭВМ .
. . . .Литература к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................1012182123243034363841Глава 2. Численные методы анализа2.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Интерполирование функций . . . . . . . . . .
. . . .2.2а Постановка задачи и её свойства . . . . . . .2.2б Интерполяционный полином Лагранжа . . .2.2в Разделённые разности и их свойства . . . . .2.2г Интерполяционный полином Ньютона . . . .2.2д Погрешность алгебраической интерполяции .2.3 Полиномы Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3а Определение и основные свойства . . .
. . .2.3б Применения полиномов Чебышёва . . . . . .2.4 Интерполяция с кратными узлами . . . . . . . . . .2.5 Общие факты алгебраической интерполяции . . . .....................................444447475356636772727678843..............................4Оглавление2.6Сплайны . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6а Элементы теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6б Интерполяционные кубические сплайны . . . . . .2.6в Экстремальное свойство кубических сплайнов . .2.7 Нелинейные методы интерполяции . . . . . . . . . . . . .2.8 Численное дифференцирование .
. . . . . . . . . . . . . .2.8а Интерполяционный подход . . . . . . . . . . . . . .2.8б Оценка погрешности дифференцирования . . . . .2.8в Метод неопределённых коэффициентов . . . . . .2.8г Полная погрешность дифференцирования . . . . .2.9 Алгоритмическое дифференцирование . . . . . . . . . . .2.10 Приближение функций .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10а Обсуждение постановки задачи . . . . . . . . . . .2.10б Существование и единственностьрешения задачи приближения . . . . . . . . . . . .2.10в Задача приближения в евклидовом пространстве2.10г Среднеквадратичное приближение функций . . .2.11 Полиномы Лежандра . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .2.11а Мотивация и определение . . . . . . . . . . . . . .2.11б Основные свойства полиномов Лежандра . . . . .2.12 Численное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.12а Постановка и обсуждение задачи . .
. . . . . . . .2.12б Простейшие квадратурные формулы . . . . . . . .2.12в Квадратурная формула Симпсона . . . . . . . . .2.12г Интерполяционные квадратурные формулы . . .2.12д Дальнейшие формулы Ньютона-Котеса . . . . . .2.12е Метод неопределённых коэффициентов . . . . . .2.13 Квадратурные формулы Гаусса . .
. . . . . . . . . . . . .2.13а Задача оптимизации квадратур . . . . . . . . . . .2.13б Простейшие квадратуры Гаусса . . . . . . . . . . .2.13в Выбор узлов для квадратурных формул Гаусса .2.13г Практическое применение формул Гаусса . . . . .2.13д Погрешность квадратур Гаусса . . . . . . . .
. . .2.14 Составные квадратурные формулы . . . . . . . . . . . . .2.15 Сходимость квадратур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.16 Вычисление интегралов методом Монте-Карло . . . . . .2.17 Правило Рунге для оценки погрешности . . . . . . . . . .Литература к главе 2 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .909094100102104105109116118122124124127130133139139144148148152157163166170171171173177180183187190195199201ОглавлениеГлава 3. Численные методы линейной алгебры3.1 Задачи вычислительной линейной алгебры . . . . . . . .3.2 Теоретическое введение . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .3.2а Обзор основных понятий . . . . . . . . . . . . . . .3.2б Собственные числа и собственные векторы . . . .3.2в Разложения матриц, использующие спектр . . . .3.2г Сингулярные числа и сингулярные векторы . . .3.2д Сингулярное разложение матриц . . . . . .
. . . .3.2е Матрицы с диагональным преобладанием . . . . .3.3 Нормы векторов и матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3а Векторные нормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3б Топология на векторных пространствах . . . . . .3.3в Матричные нормы . . . . . .
. . . . . . . . . . . .3.3г Подчинённые матричные нормы . . . . . . . . . .3.3д Топология на множествах матриц . . . . . . . . .3.3е Энергетическая норма . . . . . . . . . . . . . . . .3.3ж Спектральный радиус . . . . . . . . . . . .
. . . .3.3з Матричный ряд Неймана . . . . . . . . . . . . . .3.4 Приложения сингулярного разложения . . . . . . . . . .3.4а Исследование неособенности и ранга матриц . . .3.4б Решение систем линейных уравнений . . . . . . .3.4в Малоранговые приближения матрицы . . . . . . .3.4г Метод главных компонент . . . . . . . . . . . . .
.3.5 Обусловленность систем линейных уравнений . . . . . .3.5а Число обусловленности матриц . . . . . . . . . . .3.5б Примеры плохообусловленных матриц . . . . . . .3.5в Практическое применение числа обусловленности3.6 Прямые методы решения линейных систем . . . . . . . .3.6а Решение треугольных линейных систем . . . .
. .3.6б Метод Гаусса для решения линейных систем . . .3.6в Матричная интерпретация метода Гаусса . . . . .3.6г Метод Гаусса с выбором ведущего элемента . . . .3.6д Существование LU-разложения . . . . . . . . . . .3.6е Разложение Холесского . . . . . . . . . . . . . . . .3.6ж Метод Холесского .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7 Методы на основе ортогональных преобразований . . . .3.7а Обусловленность и матричные преобразования . .3.7б QR-разложение матриц . . . . . . . . . . . . . . . .3.7в Ортогональные матрицы отражения . . . . . . . .52052052082082162212232292312342342382442472522542572622652652662672692712712762782822852872902942983033053103103143166Оглавление3.83.93.103.113.123.133.143.153.163.173.183.7г Метод Хаусхолдера .
. . . . . . . . . . . . . . . . .3.7д Матрицы вращения и метод вращений . . . . . . .3.7е Процессы ортогонализации . . . . . . . . . . . . .Метод прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Стационарные итерационные методы . . . . . . . . . . . .3.9а Краткая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.9б Сходимость стационарных одношаговых методов3.9в Подготовка системы к итерационному процессу .3.9г Оптимизация скалярного предобуславливателя .
.3.9д Итерационный метод Якоби . . . . . . . . . . . . .3.9е Итерационный метод Гаусса-Зейделя . . . . . . . .3.9ж Методы релаксации . . . . . . . . . . . . . . . . . .Нестационарные итерационные методы . . . . . . . . . .3.10а Теоретическое введение . . . . .
. . . . . . . . . . .3.10б Метод наискорейшего спуска . . . . . . . . . . . .3.10в Метод минимальных невязок . . . . . . . . . . . .3.10г Метод сопряжённых градиентов . . . . . . . . . .Методы установления . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .Теория А.А. Самарского . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Вычисление определителей и обратных матриц . . . . . .Оценка погрешности приближённого решения . . . . . .Линейная задача наименьших квадратов . . . . . . . . .Проблема собственных значений . . . . . .
. . . . . . . .3.16а Обсуждение постановки задачи . . . . . . . . . . .3.16б Обусловленность проблемы собственных значений3.16в Коэффициенты перекоса матрицы . . . . . . . . .3.16г Круги Гершгорина . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.16д Отношение Рэлея . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .3.16е Предварительное упрощение матрицы . . . . . . .Численные методы для симметричной проблемысобственных значений и сингулярного разложения . . . .3.17а Метод Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.17б Численные методы сингулярного разложения . . .Численные методы для несимметричной проблемысобственных значений . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .3.18а Степенной метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.18б Обратные степенные итерации . . . . . . . . . . .3.18в Сдвиги спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.18г Базовый QR-алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . .3193233263323383383413473513553593653693693743813843873893933964004034034074114154184204224234304304314384404437Оглавление3.18д Модификации QR-алгоритма . . . .
. . . . . . . . 446Литература к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448Глава 4. Решение нелинейных уравнений и их систем4.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Вычислительно-корректные задачи . . . . . . . . . . .4.2а Предварительные сведения и определения . .4.2б Задача решения уравнений не являетсявычислительно-корректной . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
