1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . . . . . . . .4.2в ε-решения уравнений . . . . . . . . . . . . . . .4.2г Недостаточность ε-решений . . . . . . . . . . .4.3 Векторные поля и их вращение . . . . . . . . . . . . .4.3а Векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3б Вращение векторных полей . . . . . . .
. . . .4.3в Индексы особых точек . . . . . . . . . . . . . .4.3г Устойчивость особых точек . . . . . . . . . . .4.3д Вычислительно-корректная постановка . . . .4.4 Классические методы решения уравнений . . . . . . .4.4а Предварительная локализация решений . . . .4.4б Метод дихотомии . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4в Метод простой итерации . .
. . . . . . . . . . .4.4г Метод Ньютона и его модификации . . . . . .4.4д Методы Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . .4.5 Классические методы решения систем уравнений . .4.5а Метод простой итерации . . . . . . . . . . . . .4.5б Метод Ньютона и его модификации . .
. . . .4.6 Интервальные линейные системы уравнений . . . . .4.7 Интервальные методы решения уравнений . . . . . .4.7а Основы интервальной техники . . . . . . . . .4.7б Одномерный интервальный метод Ньютона . .4.7в Многомерный интервальный метод Ньютона .4.7г Метод Кравчика . . . . . . . . . . .
. . . . . . .4.8 Глобальное решение уравнений и систем . . . . . . . .Литература к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454. . 454. . 456. . 456....................................................459461463466466468471472474475476477480483485487487488490492492495500502504509Обозначения513Краткий биографический словарь5178Предметный указательОглавление524ПредисловиеПредставляемая вниманию читателей книга написана на основе курса лекций по вычислительным методам, которые читаются автором намеханико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Её содержание в основной своей части традиционнои повторяет на современном уровне тематику, заданную ещё в знаменитых «Лекциях о приближённых вычислениях» акад.
А.Н. Крылова,первом в мире систематическом учебнике методов вычислений. Условно материал книги можно назвать «вычислительные методы-1», поскольку в стандарте университетского образования существуют и следующие части этого большого курса, посвящённые численному решению дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных), интегральных уравнений и др.Вместе с тем, книга имеет ряд особенностей.
Во-первых, в ней широко представлены элементы интервального анализа и современные интервальные методы для решения традиционных задач вычислительнойматематики. Во-вторых, автор счёл уместным поместить в книгу краткий очерк идей конструктивной математики и теории сложности вычислений, тесно связанных с предметом математики вычислительной.9Глава 1ВведениеКурс методов вычислений является частью более широкой математической дисциплины — вычислительной математики, которую можнонеформально определить как «математику вычислений» или «математику, возникающую в связи с разнообразными процессами вычислений».
При этом под «вычислениями» понимается не только получение числового ответа к задаче, т. е. доведение результата решения «дочисла», но и получение конструктивных представлений (приближений)для различных математических объектов. С 70-х годов XX века, когдакачественно нового уровня достигло развитие вычислительных машини их применение во всех сферах жизни общества, можно встретитьрасширительное толкование содержания вычислительной математики,как «раздела математики, включающего круг вопросов, связанных сиспользованием ЭВМ» (определение А.Н. Тихонова).Иногда в связи с вычислительной математикой и методами вычислений используют термин «численный анализ», возникший в США вконце 40-х годов XX века. Он более узок по содержанию, так как воглаву угла ставит расчёты числового характера, а аналитические илисимвольные вычисления, без которых в настоящее время невозможнопредставить вычислительную математику и её приложения, отодвигаетна второй план.Развитие вычислительной математики в различные историческиепериоды имело свои особенности и акценты.
Начиная с античности(вспомним Архимеда) и вплоть до Нового времени вычислительныеметоды гармонично входили в сферу научных интересов крупнейшихматематиков — И. Ньютона, Л. Эйлера, Н.И. Лобачевского, К.Ф. Гаусса,1011К.Г. Якоби и многих других, чьи имена остались в названиях популярных численных методов. В XX веке, и особенно в его второй половине,на первый план выдвинулась разработка и применение конкретныхпрактических алгоритмов для решения сложных задач математического моделирования (в основном, вычислительной физики, механикии управления). Нужно было запускать и наводить ракеты, улучшатьхарактеристики летательных аппаратов, судов, автомобилей и другихсложных технических устройств, учиться управлять ими и т.
п.На развитие вычислительной математики большое или даже огромное влияние оказывали конкретные способы вычислений и вычислительные устройства, которые возникали по ходу развития технологийи применялись в процессах вычислений. В частности, огромное по своим последствиям влияние было испытано вычислительной математикой в середине XX века в связи с появлением электронных цифровыхвычислительных машин, кратко называемых ныне «компьютерами».1Три типа задач, в основном, интересуют нас в связи с процессомвычислений:• Как конструктивно найти (вычислить) тот или иной математический объект или его конструктивное приближение? К примеру,как найти производную, интеграл, решение дифференциальногоуравнения и т.
п.?• Какова трудоёмкость нахождения тех или иных объектов? можетли она быть уменьшена и как именно?• Если алгоритм для нахождения некоторого объекта уже известен,то как наилучшим образом организовать вычисления по этомуалгоритму на том или ином конкретном вычислительном устройстве? Например, чтобы при этом уменьшить погрешность вычисления и/или сделать его менее трудоёмким?Вопросы из последнего пункта сделались особенно актуальными в связи с развитием различных архитектур электронных вычислительныхмашин, в частности, в связи с вхождением в нашу повседневную жизньмногопроцессорных и параллельных компьютеров.1 Строго говоря, термин «компьютер» является более широким по значению, иэлектронные цифровые вычислительные машины являются одной из его разновидностей. Вообще, компьютеры могут быть не только электронными, но и механическими, биологическими, оптическими, квантовыми и т.
п.121. ВведениеЯсно, что все три отмеченных выше типа вопросов тесно связанымежду собой. К примеру, если нам удаётся построить алгоритм длярешения какой-либо задачи, то, оценив сложность его исполнения, мытем самым предъявляем и верхнюю оценку трудоёмкости решения этойзадачи.Исторически сложилось, что исследования по второму пункту относятся, главным образом, к другим разделам математики — к различным теориям вычислительной сложности и к теории алгоритмов, которая в 30-е годы XX века вычленилась из абстрактной математическойлогики. Но традиционная вычислительная математика, предметом которой считается построение и исследование конкретных численных методов, также немало способствует прогрессу в этой области.Аналогично, исторические и организационные причины привели ктому, что различные вычислительные методы для решения тех илииных конкретных задач относятся к своим специфичным математическим дисциплинам.
Например, численные методы для отыскания экстремумов различных функций являются предметом вычислительнойоптимизации, теории принятия решений и исследования операций.1.1Погрешности вычисленийОбщеизвестно, что в практических задачах числовые данные почтивсегда не вполне точны и содержат некоторые погрешности. Если этиданные являются, к примеру, результатами измерений, то за редкимисключением они не могут быть произведены абсолютно точно.Ошибкой или погрешностью приближённого значения x̃ какой-либовеличины называют разность между x̃ и истинным значением x этойвеличины, т.
е. x̃ − x. Во многих случаях знак погрешности неизвестен,˜ прии часто более удобно оперировать абсолютной погрешностью ∆ближённой величины, которая определяется как˜ = |x̃ − x|,∆(1.1)т. е. как модуль погрешности.На практике точное значение интересующей нас величины x неизвестно, и потому вместо точного значения абсолютной погрешноститакже приходится довольствоваться её приближёнными значениями.Оценку сверху для абсолютной погрешности называют предельной (или131.1.
Погрешности вычисленийграничной) абсолютной погрешностью. В самом этом термине содержится желание иметь эту величину как можно более точной, т. е. какможно меньшей.Таким образом, если ∆ — предельная абсолютная погрешность значения x̃ точной величины x, то˜ = |x̃ − x| ≤ ∆,∆и потомуx̃ − ∆ ≤ x ≤ x̃ + ∆.Это двустороннее неравенства часто заменяют следующей краткой ивыразительной записью:x = x̃ ± ∆.Фактически, вместо точного числа мы имеем здесь целый диапазонзначений — числовой интервал [x̃−∆, x̃+∆] возможных представителейдля точного значения x.Как правило, указание одной только абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества рассматриваемого приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
