1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 10
Текст из файла (страница 10)
, αyn + βzn ) на той же совокупности узлов.4Отмеченным свойством линейности можно воспользоваться для ре4 Сказанное можно выразить словами «оператор интерполирования линеен». Вдействительности, он даже является проектором, и эти наблюдения являются началом большого и плодотворного направления теории приближения функций.542. Численные методы анализашения задачи интерполяции «по частям», которые удовлетворяют отдельным интерполяционным условиям в заданных узлах, а затем собрать эти части воедино. Именно, будем искать интерполяционный полином в видеnXyi φi (x),(2.8)Pn (x) =i=0где φi (x) — полином степени n, такой что(0, при i 6= j,φi (xj ) = δij =1, при i = j,(2.9)i, j = 0, 1, . . .
, n, и посредством δij обозначен символ Кронекера. Тогдаполином yi φi (x), i = 0, 1, . . . , n, имеет степень n и решает задачу интерполяции набора значений (0, . . . , 0, yi , 0, . . . , 0) по узлам x0 , x1 , . . . ,xn . Как следствие, полином Pn (x), задаваемый представлением (2.8),действительно удовлетворяет условиям задачи.Коль скоро φi (x) зануляется в точках x0 , .
. . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn , тоон имеет видφi (x) = Ki (x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn ).(2.10)При этом Ki должен быть некоторым числовым множителем, так какв правой части равенства (2.10) произведение n линейных по x членовуже даёт полином степени n. Для определения этого множителя подставим в выражение (2.10) значение аргумента x = xi , откуда в силу(2.9) получаетсяKi (xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn ) = 1.Следовательно,Ki =и потомуφi (x) =1,(xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )(x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn ).(xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )Полиномы φi (x) называют базисными полиномами Лагранжа, а иногдатакже полиномами влияния i-го узла (последний термин объясняетсяусловием (2.9)).552.2.
Интерполирование функцийВ целом, из (2.8) следует, что задачу алгебраической интерполяциирешает полиномPn (x) =nXi=0Qj6=i (x − xj )yi Q.j6=i (xi − xj )(2.11)Его называют интерполяционным полиномом в форме Лагранжа илипросто интерполяционным полиномом Лагранжа.Далее нам потребуется его запись в несколько другом виде. Введёмвспомогательную функциюωn (x) = (x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi )(x − xi+1 ) · · · (x − xn )(2.12)— полином (n + 1)-й степени, зануляющийся во всех узлах интерполяции.
Тогдаωn (x)ωn (x)(x − xi )φi (x) ==,(2.13)(x − xi ) ωn′ (xi )ωn′ (xi )и поэтомуPn (x) =nXi=0yiωn (x).(x − xi ) ωn′ (xi )(2.14)Задача интерполяции полностью решается с помощью полиномов(2.11) и (2.14), которые находят широчайшее применение в вычислительной практике.
Тем не менее, в ряде случаев они оказываются несовсем удобными. Дело в том, что каждый из базисных полиномовЛагранжа φi (x) зависит от всех узлов интерполяции сразу. По этойпричине если, к примеру, мы имеем дело с изменяющимся наборомузлов, то каждый раз должны будем перевычислять все φi (x). Иными словами, при смене набора узлов интерполяции полином Лагранжапретерпевает большое изменение и должен быть перевычислен заново.Нельзя ли найти такую форму интерполяционного полинома, которая изменялась бы незначительно при небольших изменениях в набореузлов интерполяции? Этот вопрос решается с помощью интерполяционного полинома в форме Ньютона, и для его построения нам будетнеобходима новая техника, основанная на понятии разделённой разности от функции.562. Численные методы анализа2.2вРазделённые разности и их свойстваОпределение 2.2.2 Пусть дана функция f и попарно различные точки x0 , x1 , .
. . , xn из её области определения, в которых функция принимает значения f (x0 ), f (x1 ), . . . , f (xn ). Разделёнными разностямифункции f , обозначаемыми f ∠ (xi , xi+1 ), называются отношенияf ∠ (xi , xi+1 ) :=f (xi+1 ) − f (xi ),xi+1 − xi(2.15)i = 0, 1, .
. . , n−1. Их называют также разделёнными разностями первого порядка.Разделённые разности второго порядка — это величиныf ∠ (xi , xi+1 , xi+2 ) :=f ∠ (xi+1 , xi+2 ) − f ∠ (xi , xi+1 ),xi+2 − xi(2.16)i = 0, 1, . . . , n − 2, которые являются разделёнными разностями от разделённых разностей. Аналогичным образом вводятся разделённые разности высших порядков: разделённая разность k-го порядка от функции f есть, по определению,f ∠ (xi , xi+1 , . . . , xi+k ) :=f ∠ (xi+1 , . . .
, xi+k ) − f ∠ (xi , . . . , xi+k−1 ), (2.17)xi+k − xii = 0, 1, . . . , n − k, т. е. она равна разделённой разности от разделённых разностей предыдущего (k − 1)-го порядка. Порядок разделённойразности нашими обозначениями специально не указывается; он определяется числом аргументов разделённой разности и на единицу егоменьше. Для удобства и единообразия можно также считать, что сами значения функции являются разделёнными разностями нулевогопорядка, т.
е. f ∠ (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, . . . , n.Разделённые разности можно определять не только для функцийнепрерывного аргумента, но и для функций дискретного аргумента,или, иначе говоря, для набора значений y0 , y1 , . . . , yn , соответствующегоузлам x0 , x1 , . . . , xn .
Назовём разделённой разностью первого порядкамежду узлами xi и xi+1 величину(yi , yi+1 )∠ :=yi+1 − yi.xi+1 − xi572.2. Интерполирование функцийРазделённой разностью k-го порядка значений yi , yi+1 , . . . , yi+k по узлам xi , xi+1 , . . . , xi+k называется величина(yi , yi+1 , . . . , yi+k )∠ :=(yi+1 , . . . , yi+k )∠ − (yi , . . . , yi+k−1 )∠,xi+k − xii = 0, 1, . . . , n − k. Это обозначение не содержит явного указания наузлы xi , xi+1 , .
. . , xi+k , по которым берётся рассматриваемый набор(yi , yi+1 , . . . , yi+k ), так что значения этих узлов подразумеваются.Отметим, что в определении разделённых разностей, вообще говоря,не накладывается никаких условий на взаимное расположение точекx0 , x1 , . . . , xn . В частности, совсем не обязательно, чтобы xi < xi+1 .Понятию разделённой разности от функции непрерывного аргументаможно также придать смысл для случая совпадающих узлов xi = xi+1 ,если понимать его как результат предельного перехода при xi → xi+1 .Тогда разделённая разность, очевидно, превращается в производную(см. подробности, к примеру, в [20, 59]).Нетрудно увидеть геометрический смысл разделённой разности первого порядка. Будучи отношением приращения функции к приращению её аргумента, она даёт угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси абсцисс) секущей графика функции y = f (x), взятой междуточками с аргументами xi и xi+1 .
В общем случае разделённая разностьфункции — это «средняя скорость» её изменения на рассматриваемоминтервале, в отличие от «мгновенной скорости» изменения функции вточке, выражаемой её производной f ′ (x).f (xi+1 )f (xi )xixi+1Рис. 2.4. Иллюстрация смысла разделённых разностей,как углового коэффициента секущей графика функцииЕсли x̌ — какая-то фиксированная точка, то для любой другой точ-582. Численные методы анализаки x имеет место равенствоf (x) = f (x̌) + f ∠ (x̌, x) (x − x̌),аналогичное формуле Тейлора, в которой удержаны лишь члены первого порядка. В связи с этим уместно вспомнить, что разделённую разность иногда называют наклоном функции между заданными точками(см.
[15]). Разделённые разности-наклоны могут быть определены дляфункций многих переменных и даже для операторов, действующих изодного абстрактного пространства в другое. Интересно, что в началеXX века для обозначения этой конструкции использовался также термин «подъём функции» [67]. В математических текстах для разделённых разностей функции f по точкам xi , xi+1 , . . . , xi+k нередко используется обозначение f [ xi , xi+1 , . . . , xi+k ] или даже маловыразительноеf (xi , xi+1 , . .
. , xi+k ).Операция взятия разделённой разности является линейной: для любых функций f , g и для любых скаляров α, β справедливо(2.18)(αf + βg)∠ = αf ∠ + βg ∠при одинаковых аргументах разделённых разностей. Это очевидно следует из определения для разделённой разности первого порядка, а дляразделённых разностей высших порядков показывается несложной индукцией по величине порядка. То же самое верно и для разделённыхразностей от наборов значений:∠α (yi , . . . , yi+k ) + β (zi , . .
. , zi+k ) = α (yi , . . . , yi+k )∠ + β (zi , . . . , zi+k )∠по одному и тому же набору узлов. Полезно также иметь в виду, чтолюбая разделённая разность от постоянной функции — тождественнонулевая.Предложение 2.2.1 Имеет место представлениеf ∠ (xi , xi+1 , . . . , xi+k ) =i+kXj=if (xj )i+kQl=il6=j.(2.19)(xj − xl )Для разделённой разности от набора значений (y0 , y1 , . . .
, yn ) по уз-592.2. Интерполирование функцийлам x1 , x2 , . . . , xn аналогичная формула выглядит следующим образом∠(yi , yi+1 , . . . , yi+k )=i+kXj=iyji+kQl=il6=j.(xj − xl )Доказательство. Оно проводится индукцией по порядку k разделённой разности. Мы выпишем ниже подробные выкладки лишь для разделённых разностей от функций, так как для разделённых разностейот набора значений доказательство совершенно аналогично.При k = 1 доказываемая формула, как нетрудно проверить, совпадает с определением разделённой разности первого порядка.Пусть Предложение уже доказано для некоторого положительногоцелого k. Тогда для разделённой разности k +1-го порядка будем иметьf ∠ (xi , xi+1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
