1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 12
Текст из файла (страница 12)
+n! hnособенно сильно похожий на полином Тейлора. Это сходство тем болееразительно, если мы вспомнимодно из классических обозначений дляdnfпроизводных f (n) = dxn.Вычисление конечных разностей таблично заданной функции удобно оформлять также в виде таблицы (см. Табл. 2.1), где в дополнительных столбцах (третьем, четвёртом и т. д.), заполняемых последовательно один за другим слева направо, выписываются значения конечныхразностей.672.2. Интерполирование функций2.2дПогрешность алгебраическойинтерполяции с простыми узламиЗадача интерполяции, успешно решённая в предшествующих параграфах, часто находится в более широком контексте, описанном вовведении к этой теме, на стр.
44. Именно, значения y0 , y1 , . . . , yn принимаются в узлах x0 , x1 , . . . , xn некоторой реальной функцией непрерывного аргумента f (x), свойства которой (хотя бы отчасти) известны.Насколько сильно будет отличаться от неё построенный нами интерполянт? Именно это отличие понимается под «погрешностью интерполяции».Определение 2.2.3 Остаточным членом или остатком интерполяцииназывается функция R(f, x) = f (x)−g(x), являющаяся разностью рассматриваемой функции f (x) и интерполирующей её функции g(x).Предложение 2.2.3 Если точка z не совпадает ни с одним из узловинтерполирования x0 , x1 , . .
. , xn , то в задаче алгебраической интерполяции значение остаточного члена в точке z равноRn (f, z) = f ∠ (x0 , x1 , . . . , xn , z) · ωn (z),(2.24)где функция ωn определяется посредством (2.12), т. е.ωn (x) =nYi=0(x − xi ).Доказательство. Выпишем для f интерполяционный полином Ньютона (n + 1)-й степени по узлам x0 , x1 , . . . , xn , z. Согласно (2.23)Pn+1 (x) = Pn (x) + f ∠ (x0 , x1 , . . .
, xn , z) (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ),где Pn (x) — полином Ньютона для узлов x0 , x1 , . . . , xn . Подставляя вэто соотношение значение x = z, получимPn+1 (z) = Pn (z) + f ∠ (x0 , x1 , . . . , xn , z) (z − x0 )(z − x1 ) · · · (z − xn ).Но Pn+1 (z) = f (z) по построению полинома Pn+1 . ПоэтомуRn (f, z) = f (z) − Pn (z)= f ∠ (x0 , x1 , . . . , xn , z) (z − x0 )(z − x1 ) · · · (z − xn ),682. Численные методы анализачто и требовалось.Полученный результат позволяет точно находить численное значение погрешности интерполирования в конкретных точках, но он неочень полезен для исследования поведения погрешности «в целом»,на всём интервале интерполирования. Чтобы получить более удобныеоценки для остаточного члена, можно воспользоваться Предложением 2.2.2 о связи разделённых разностей и производных, и мы дадимего строгое доказательство.Доказательство Предложения 2.2.2.Поскольку разделённая разность есть симметричная функция узлов, то в формуле (2.21) без какого-либо ограничения общности можносчитать эти узлы x0 , x1 , .
. . , xn упорядоченными по возрастанию индекса, т. е. x0 < x1 < . . . < xn . Обозначивθ(x) := f (n) (x) − n! f ∠ (x0 , x1 , . . . , xn ),можно заметить, что Предложение 2.2.2 равносильно следующему утверждению: на ] x0 , xn [ существует точка ξ, которая является нулём функции θ(x).По точкам x0 , x1 , . . . , xn построим для функции f (x) интерполяционный полином Pn (x). Тогда введённая выше функция θ(x) есть nая производная по x от остаточного члена интерполяции Rn (f, x) =f (x) − Pn (x), т. е.f (n) (x) − n! f ∠ (x0 , x1 , .
. . , xn ) = Rn(n) (f, x),в чём можно убедиться непосредственным дифференцированием равенстваRn (f, x) = f (x) − Pn (x),где интерполяционный полином Pn (x) берётся в форме Ньютона.В самом деле, в выражении для интерполяционном полинома Ньютона только у разделённой разности n-го порядка f ∠ (x0 , x1 , .
. . , xn ) множитель является полиномом n-ой степени со старшим членом xn . Множители у остальных разделённых разностей — это полиномы меньшихстепеней от x, которые исчезнут при n-кратном дифференцировании,тогда как от полинома n-ой степени со старшим членом xn после такогодифференцирования останется число n!.2.2.
Интерполирование функций69Функция Rn (f, x) является n-кратно дифференцируемой на [a, b] и,кроме того, обращается в нуль в n+1 различных точках — узлах интерполяции x0 , x1 , . . . , xn . В силу известной из математического анализатеоремы Ролля производная Rn′ (f, x) обязана зануляться внутри каждого из n интервалов [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], .
. . , [xn−1 , xn ], т. е. она имеет nнулей.Далее, повторяя те же рассуждения в отношении второй производной Rn′′ (f, x), приходим к выводу, что она должна иметь на ] x0 , xn [ неменее n − 1 нулей. Аналогично для третьей производной Rn′′′ (f, x) и(n)т. д. вплоть до Rn (f, x), которая должна иметь на ] x0 , xn [ хотя быодин нуль. Это и требовалось доказать.Теорема 2.2.2 Пусть f ∈ Cn+1 [a, b], т. е. функция f (x) непрерывнодифференцируема n + 1 раз на интервале [a, b]. При её интерполировании по попарно различным узлам x0 , x1 , . .
. , xn с помощью полиномаn-ой степени остаточный член Rn (f, x) может быть представлен ввидеf (n+1) ξ(x)Rn (f, x) =· ωn (x),(2.25)(n + 1)!где ξ(x) — некоторая точка, принадлежащая открытому интервалу]a, b[ и зависящая от x, а ωn = (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn ).Доказательство. Если x = xi для одного из узлов интерполирования,то Rn (f, x) = 0, но в то же время и ωn (x) = 0.
Поэтому в качестве ξ вэтом случае можно взять любую точку из открытого интервала ]a, b[ .Если же аргумент x остаточного члена не совпадает ни с однимиз узлов интерполирования, то применяем Предложение 2.2.3, в котором разделённая разность представлена согласно результату Предложения 2.2.2.Выражение (2.25) для остаточного члена алгебраической интерполяции обычно связывают с именем О.Л. Коши, получившего его в первой половине XIX века (см. [8]). Другое выражение для остаточногочлена, не использующее неизвестную точку ξ(x) и основанное на интегральном представлении разделённых разностей, можно найти, к примеру, в книгах [20, 69].Если обозначитьMn = max |f (n) (ξ)|ξ∈[a,b]702. Численные методы анализаxωn (x)Рис.
2.5. Типичное поведение полинома ωn (x):быстрый рост за пределами интервала узлов— максимум абсолютного значения n-ой производной на рассматриваемом интервале, то нетрудно выписать огрублённые оценки, вытекающие из (2.25) и полезные при практическом вычислении погрешностиинтерполирования:|Rn (f, x)| ≤Mn+1· |ωn (x)|,(n + 1)!(2.26)Mn+1 (b − a)n+1.(n + 1)!(2.27)или даже совсем простую|Rn (f, x)| ≤Для оценивания максимума (n + 1)-ой производной функции можновоспользоваться, к примеру, интервальными методами, взяв какое-либоинтервальное расширение для f (n+1) (x) на [a, b] (см.
§1.6).Отметим, что полученные выше оценки — (2.25) и её следствия(2.26) и (2.27) — становятся неприменимыми, если функция f имеетгладкость, меньшую чем n+ 1. В то же время представление погрешности интерполирования в виде (2.24) справедливо для любых функций.В представлении (2.25) поведение полинома ωn (x) при измененииx типично для полиномов с вещественными корнями вообще. Пусть,2.2. Интерполирование функций71как и ранее, x = min{x0 , x1 , . . . , xn }, x = max{x0 , x1 , .
. . , xn }. Если аргумент x находится на интервале [x, x] расположения корней x0 , x1 ,. . . , xn или «не слишком далёко» от него, то ωn (x) принимает относительно умеренные значения, так как формирующие его множители(x − xi ), i = 0, 1, . . . , n, «не слишком сильно» отличаются от нуля. Если же значения аргумента x находятся на существенном удалении откорней полинома ωn (x), то его абсолютная величина и вместе с нейпогрешность алгебраической интерполяции, очень быстро растут.
НаРис. 2.5 изображён пример графика такого полинома нечётной (седьмой) степени.В связи со сказанным полезно на качественном уровне различатьдва случая. Если значения интерполируемой функции ищутся в точках,далёких от интервала узлов интерполяции, используют термин экстраполяция. Ей противопоставляется интерполяция в узком смысле, когдазначения функции восстанавливаются на интервале, где расположеныузлы, или же вблизи от него. Из наших рассуждений следует, что экстраполяция, как правило, сопровождается существенными ошибками,и потому не стоит использовать её слишком широко.В рассмотренной выше постановке задачи интерполирования (§2.2а)расположение узлов считалось данным извне и фиксированным. Подобный подход соответствует тем практическим задачам, в которых, кпримеру, измерения величины yi могут осуществляться лишь в какието фиксированные моменты времени xi , либо в определённых выделенных точках пространства и т.
п., то есть заданы каким-то внешнимобразом и не могут быть изменены по нашему желанию.Но существуют задачи, в которых мы можем управлять выбором узлов интерполирования. При этом естественно возникает вопрос о том,как сделать этот выбор наилучшим образом, чтобы погрешность интерполирования была как можно меньшей. В наиболее общей формулировке эта задача является весьма трудной, и её решение существеннозавязано на свойства интерполируемой функции f (x).
Но имеет смыслрассмотреть и упрощённую постановку задачи, в которой на заданном интервале минимизируются значения полинома ωn (x), тогда какмножитель f ∠ (x0 , x1 , . . . , xn , z) или множитель f (n+1) (ξ(x))/(n + 1)! ввыражениях для остаточного члена (2.24) или (2.25) соответственноогрублённо считаются «приближёнными константами».Фактически, ответ на поставленный вопрос сводится к подбору узлов x0 , x1 , . . . , xn в пределах заданного интервала [a, b] так, чтобыполином ωn (x) = (x − x0 )(x − x1 ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
