1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. xi ∈ [a, b] для всех положительных целых n и любых(n)(n)i = 0, 1, . . . , n, причём xi 6= xj для i 6= j. Говорят, что на интервале [a, b] задан интерполяционный процесс, если элементы n-ой строкиэтой матрицы берутся в качестве узлов интерполяции, по которымстроится последовательность интерполянтов gn (x), n = 1, 2, . . . .Если в этом определении все интерполянты gn (x) являются алгебраическими полиномами, то будем употреблять термин алгебраическийинтерполяционный процесс.Определение 2.5.2 Интерполяционный процесс для функции f называется сходящимся в точке y ∈ [a, b], если в этом процессе последовательность значений интерполянтов gn (y) сходится к f (y) приn → ∞.
Интерполяционный процесс для функции f на интервале[a, b], порождающий последовательность интерполянтов gn (x), называется сходящимся равномерно, если maxx∈[a,b] |f (x) − gn (x)| → 0 приn → ∞.2.5. Общие факты алгебраической интерполяции85Отметим, что помимо равномерной сходимости интерполяционного процесса, когда отклонение одной функции от другой измеряетсяв равномерной (чебышёвской) метрике (2.1), иногда необходимо рассматривать сходимость в других смыслах.
Например, это может бытьсреднеквадратичная сходимость, задаваемая метрикой (2.3), или ещёкакая-нибудь другая.Определённую уверенность в положительном ответе на поставленные в начале параграфа вопросы даёт известная из математическогоанализаТеорема Вейерштрасса о равномерном приближении.Если f : [a, b] → R — непрерывная функция, то для всякого ǫ > 0 существует полином Πn (x) степени n = n(ǫ), равномерно приближающийфункцию f с погрешностью, не превосходящей ǫ, т. е.
такой, чтоmax f (x) − Πn (x) ≤ ǫ.x∈[a,b]Этот результат служит теоретической основой равномерного приближения непрерывных функций алгебраическими полиномами, обеспечивая существование полинома, который сколь угодно близок к заданной непрерывной функции в смысле расстояния (2.1). Вместе с тем,теорема Вейерштрасса слишком обща и не даёт ответа на конкретныевопросы о решении задачи интерполирования, где требуется совпадение значений функции и её интерполянта на данном множестве точекузлов.Как следует из результатов §2.2д и §2.3 огромное влияние на погрешность интерполяции оказывает расположение узлов. В частности,рассмотренные в §2.3 чебышёвские сетки являются наилучшими возможными в условиях, когда неизвестна какая-либо дополнительная информация об интерполируемой функции.Что касается равномерных сеток, то для них один из первых примеров расходимости интерполяционных процессов привёл в 1910 годуС.Н.
Бернштейн, рассмотрев на интервале [−1, 1] алгебраическую интерполяцию функции f (x) = |x| по равноотстоящим узлам, включающим и концы этого интервала. Не слишком трудными рассуждениями показывается (см. [8, 28]), что с возрастанием числа узлов соответствующий интерполяционный полином не стремится к |x| ни в одной точке интервала [−1, 1], отличной от −1, 0 и 1. Может показаться,862. Численные методы анализачто причиной плохой сходимости интерполяционного процесса в примере С.Н. Бернштейна является отсутствие гладкости интерполируемойфункции, но это верно лишь отчасти.Предположим, что интерполируемая функция f имеет бесконечнуюгладкость, т.
е. f ∈ C∞ [a, b], и при этом её производные растут «неслишком быстро». В последнее условие будем вкладывать следующийсмысл:n = 0, 1, 2, . . . ,(2.46)sup f (n) (x) < M n ,x∈[a,b]где M не зависит от n. Тогда из Теоремы 2.2.2 следует, что погрешность алгебраического итерполирования по n узлам может быть оценена сверху какn+1M (b − a),(n + 1)!то есть при n → ∞ очевидно сходится к нулю вне зависимости от расположения узлов интерполяции.
Иными словами, любой алгебраическийинтерполяционный процесс на интервале [a, b] будет равномерно сходиться к такой функции f .Условие (2.46) влечёт сходимость ряда Тейлора для функции f в любой точке из [a, b], и такие функции называются аналитическими нарассматриваемом множестве [43]. Это очень важный, хотя и не слишком широкий класс функций, которые являются ближайшим обобщением алгебраических полиномов.Но в самом общем случае при алгебраическом интерполированиибесконечно гладких функций погрешность всё-таки может не сходиться к нулю, даже при «вполне разумном» расположении узлов.
Повидимому, наиболее известный пример такого рода привёл немецкийматематик К. Рунге в 1901 году.7 В примере Рунге функцияΥ (x) =11 + x2интерполируется алгебраическими полиномами на интервале [−5, 5] сравномерным расположением узлов интерполяции xi = −1 + 2i/n, i =0, 1, 2, . . . , n. Оказывается, что тогдаlim max Υ (x) − Pn (x) = ∞,n→∞ x∈[−1,1]7 Нередкоего называют также «явлением Рунге» или «феноменом Рунге».872.5. Общие факты алгебраической интерполяции2P10 (x)Υ (x)−505xРис. 2.8. Интерполяция полиномом 10-й степени в примере Рунгегде Pn (x) — интерполяционный полином n-ой степени. При этом с ростом n вблизи концов интервала интерполирования [−5, 5] у полиномовPn (x) возникают сильные колебания (часто называемые также осцилляциями), размах которых стремится к бесконечности (см. Рис. 2.8).Получается, что хотя в узлах интерполирования значения функцииΥ (x) совпадают со значениями интерполяционного полинома, междуэтим узлами Pn (x) и Υ (x) могут отличаться сколь угодно сильно, даженесмотря на плавный (бесконечно гладкий) характер изменения функции Υ (x).Интересно, что на интервале [−κ, κ], где κ ≈ 3.63, рассматриваемыйинтерполяционный процесс равномерно сходится к Υ (x) (см.
[67]). Кроме того, полезно отметить, что функция Υ (x) имеет производные всехпорядков для любого вещественного аргумента x, но у концов интервала интерполирования [−5, 5] эти производные растут очень быстрои уже не удовлетворяют условию (2.46). Проявив некоторую изобретательность (детали описаны в пункте 116 тома 1 книги [37]) можнопоказать, что при x > 0(n)11(−1)n (n − 2)!(n)Υ (x) ==(n−1)/2 · sin (n − 1) arctg x .1 + x21 + x2Факториал в числителе выписанного выражения определяет общее поведение производных при росте n.
Таким образом, несмотря на простой882. Численные методы анализавид, функция Υ (x) из примера Рунге своим поведением слишком непохожа на полиномы, производные от которых не растут столь быстрои, начиная с некоторого порядка, исчезают. Эти интересные вопросыотносятся уже к теории функций.Что касается чебышёвских сеток, то они обеспечивают равномерную сходимость интерполяционного процесса к функциям, которыеподчиняются так называемому условию Дини-Липшица [9, 28, 53].8 Мыне будем выписывать здесь его точную формулировку и лишь отметим,что это очень слабое условие, которому заведомо удовлетворяют большинство встречающихся на практике функций.
Практичным достаточным условием, при котором выполняется условие Дини-Липшица, является обобщённое условие Липшица: для любых x, y из области определения функции|f (x) − f (y)| ≤ C |x − y|α ,(2.47)для некоторых C и 0 < α ≤ 1. Иными словами, справедливаТеорема 2.5.1 На последовательности чебышёвских сеток интерполяционный процесс сходится равномерно для любой функции, удовлетворяющей обобщённому условию Липшица (2.47).Обоснование этого утверждения можно увидеть, к примеру, в [28].Тем не менее, для общих непрерывных функций имеет место следующий отрицательный результат:Теорема Фабера [8, 9, 59] Не существует бесконечной треугольнойматрицы узлов из заданного интервала, такой что соответствующий ей алгебраический интерполяционный процесс сходился бы равномерно для любой непрерывной функции на этом интервале.В частности, даже для интерполяционного процесса по узлам полиномов Чебышёва существуют примеры непрерывных функций, длякоторых этот алгебраический интерполяционный процесс всюду расходится.
Подробности можно найти в [28].Но отрицательный результат теоремы Фабера характеризует, скорее, слишком большую общность математического понятия непрерывной функции, которая может оказаться слишком необычной и не похожей на то, что мы интуитивно вкладываем в смысл «непрерывности».8 Условие Дини-Липшица на функцию является также достаточным условиемравномерной сходимости к ней ряда Фурье.2.5. Общие факты алгебраической интерполяции89Здесь уместно напомнить парадоксальные примеры непрерывных нигде не дифференцируемых функций (примеры Вейерштрасса или вандер Ваардена).
Столь же экзотичен пример непрерывной функции, ккоторой не сходится равномерно интерполяционный процесс по чебышёвским сеткам. Что касается теоремы Фабера, то она утверждаетлишь то, что класс непрерывных в классическом смысле функций является слишком широким, чтобы для него существовал один (с точностьюдо преобразований интервала) интерполяционный процесс, обеспечивающий равномерную сходимость для любой функции.Чересчур большая общность понятия непрерывной функции былаосознана математиками почти сразу после своего появления, в первой половине XIX века. Она стимулировала работы по формулировкедополнительных естественных условий, которые выделяли бы классы функций, непрерывных в более сильных смыслах, которые позволяли бы свободно выполнять те или иные традиционные операции(например, взятие производной почти всюду в области определенияи т. п.).
Именно эти причины вызвали появление условий Липшица,Дини-Липшица, обобщённого условия Липшица и ряда других им аналогичных.Следует отметить, что для общих непрерывных функций имеет место «оптимистичный» результат, имеющий, правда, небольшую практическую ценность:Теорема Марцинкевича [8, 9, 59] Для любой непрерывной на заданном интервале функции f найдётся такая бесконечная треугольнаяматрица узлов из этого интервала, что соответствующий ей алгебраический интерполяционный процесс для функции f сходится равномерно.Интересно отметить, что ситуация со сходимостью интерполяционных процессов в среднеквадратичном смысле более благоприятна.
Согласно результату, который получили П. Эрдёш и П. Туран в 1930-е годы (см. [28]), всегда существует треугольная матрица узлов из интервала интерполирования, по которой интерполяционный процесс сходитсяв смысле метрики (2.3) (и даже более общей, вида (2.102), с произвольной весовой функцией). Иными словами, среднеквадратичная сходимость интерполяционного процесса предъявляет к функции менеесильные требования, чем равномерная сходимость.Ещё один вывод из представленных выше примеров и результатов902. Численные методы анализазаключается в том, что алгебраические полиномы, несмотря на определённые удобства работы с ними, оказываются довольно капризныминструментом интерполирования достаточно общих непрерывных и даже гладких функций. Как следствие, нам нужно иметь более гибкиеинструменты интерполяции.
Их развитию и будут посвящены следующие параграфы.2.6Сплайны2.6аЭлементы теорииПусть заданный интервал [a, b] разбит на подинтервалы [xi−1 , xi ],i = 1, 2, . . . , n, так что a = x0 и xn = b. Сплайном на [a, b] называетсяфункция, которая вместе со своими производными вплоть до некоторого порядка непрерывна на всём интервале [a, b], и на каждом подинтервале [xi−1 , xi ] является полиномом. Максимальная на всём интервале [a, b] степень полиномов, задающих сплайн, называется степеньюсплайна. Наивысший порядок производной сплайна, которая непрерывна на [a, b], — это гладкость сплайна, а разность между степенью сплайна и его гладкостью называется дефектом сплайна. Наконец, точки xi ,i = 0, 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
