1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . (x − xn ) принимал «как можно722. Численные методы анализаменьшие значения» на [a, b]. Конкретный смысл, который вкладывается в это требование, может быть весьма различен, так как функция —полином ωn (x) в нашем случае — определяется своими значениями вбесконечном множестве аргументов, и малость одних значений функции может иметь место наряду с очень большими значениями при других аргументах (см. Рис. 2.18).
Ниже мы рассмотрим ситуацию, когда«отклонение от нуля» понимается как равномерное (чебышёвское) расстояние (2.1) до нулевой функции, т. е. как максимум абсолютных значений функции на интервале. Это условие является одним из наиболеечасто встречающихся в прикладных задачах.2.3Полиномы Чебышёва2.3аОпределение и основные свойстваПолиномы Чебышёва — это семейство полиномов, обозначаемых потрадиции6 как Tn (x), и зависящих от неотрицательного целого параметра n. Они могут быть определены различными равносильными способами, и наиболее просто и наглядно их тригонометрическое определение:Tn (x) = cos(n arccos x),x ∈ [−1, 1],(2.28)n = 0, 1, 2, . .
. . Как известно, всякий полином степени n однозначноопределяется своими значениями в (n + 1) точках, а формулой (2.28)мы фактически задаём значения функции в бесконечном множестветочек из [−1, 1]. Поэтому если посредством (2.28) на [−1, 1] в самомделе задаются полиномы, то они однозначно определяются с помощьюэтой формулы на всей вещественной оси, а не только для значенийаргумента x ∈ [−1, 1].Представление (2.28), в действительности, справедливо для любыхx ∈ R, если под arccos x понимать комплексное значение и, соответственно, рассматривать косинус от комплексного аргумента. Можнопоказать, чтоTn (x) = ch(n arch x),(2.29)где ch z = 12 (ez + e−z ) — гиперболический косинус, а arch — обратнаяк нему функция.
Определение (2.29) удобно применять для вещественных аргументов x, таких что |x| ≥ 1.6 С буквы «T» начинаются немецкое (Tschebyschev) и французское (Tchebychev)написания фамилии П.Л. Чебышёва, открывшего эти полиномы в 1854 году.732.3. Полиномы ЧебышёваПредложение 2.3.1 Функция Tn (x), задаваемая формулой (2.28), —полином степени n, и его старший коэффициент при n ≥ 1 равен 2n−1 .Доказательство.
Мы проведём его индукцией по номеру n полиномаЧебышёва. При n = 0 имеем T0 (x) = 1, при n = 1 справедливо T1 (x) =x, так что база индукции установлена.Далее, из известной тригонометрической формулыα+βα−βcos α + cos β = 2 coscos22следует, чтоcos (n + 1) arccos x + cos (n − 1) arccos x= 2 cos(n arccos x) cos(arccos x)= 2x cos(n arccos x).Следовательно, в силу определения (2.28)Tn+1 (x) = 2x Tn (x) − Tn−1 (x)(2.30)для любых n = 1, 2, . . . .Таким образом, если Tn−1 (x) и Tn (x) являются полиномами степени (n − 1) и n соответственно, то Tn+1 (x) — также полином, степенькоторого на единицу выше степени Tn (x), а старший коэффициент — в2 раза больше.Полученные в доказательстве рекуррентные формулы (2.30) позволяют последовательно выписывать явные алгебраические выражениядля полиномов Чебышёва:T0 (x) = 1,T1 (x) = x,T2 (x) = 2x2 − 1,T3 (x) = 4x3 − 3x,(2.31)T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1,T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x,······.742.
Численные методы анализа1.5T010.5T1T40−0.5T2−1T3−1.5−1−0.8−0.6−0.4−0.200.20.40.60.81Рис. 2.6. Графики первых полиномов Чебышёва на интервале [−1.2, 1.2].По рекуррентным формулам (2.30) и следующим из них явным выражениям (2.31) полиномы Чебышёва единообразно определяются длялюбых значений аргумента x. Рассмотрим кратко основные свойстваполиномов Чебышёва.При чётном (нечётном) n полином Чебышёва Tn (x) есть чётная(нечётная) функция от x. Действительно, выражение для Tn (x) причётном n содержит только чётные степени x (нуль считаем чётнымчислом), а при нечётном n — только нечётные степени x, что по индукции следует из рекуррентной формулы (2.30).Найдём корни полиномов Чебышёва на вещественном интервале[−1, 1]. Исходя из представления (2.28), вспомним, каковы нули косинуса. Должно бытьn arccos x =π+ kπ,2k ∈ Z,причём в этой формуле k можно брать таким, чтобы область значенийправой части не выходила за интервал [0, nπ], в котором принимаетзначения левая часть равенства.
Итак, корни полинома Чебышёва сутьx̊k = cos(2k + 1)π,2nk = 0, 1, . . . , n − 1.(2.32)752.3. Полиномы ЧебышёваВ целом, полином Tn (x) имеет n вещественных различных корней,все они в самом деле находятся на интервале [−1, 1] и выражаются ввиде (2.32). Расположение корней полинома Чебышёва можно нагляднопроиллюстрировать чертежом на Рис. 2.7, где эти корни соответствуют абсциссам точек пересечения единичной окружности с центром вначале координат с радиусами, откладываемыми через одинаковые доли развёрнутого угла в π радиан.
Из этой иллюстрации хорошо видно,что корни полинома Чебышёва расположены существенно неравномерно: они сгущаются к концам интервала [−1, 1], а в его средней частиболее разрежены.−101xРис. 2.7. Иллюстрация расположения корнейполинома Чебышёва шестой степени.Максимум модуля значений полинома Чебышёва на [−1, 1] равен 1,max |Tn (x)| = 1,x∈[−1,1]этот максимум достигается в точках xs = cos(sπ/n), s = 0, 1, . . .
, n,причём Tn (xs ) = (−1)s , s = 0, 1, . . . , n. Это непосредственно следует из тригонометрического определения полиномов Чебышёва (2.28),где внешний cos должен достигать максимальных по модулю значений±1 в точках xs , удовлетворяющих условию n arccos x = sπ, где s —целое число. При этом из принадлежности arccos x ∈ [−1, 1] следуетs = 0, 1, . . . , n.Следующее свойство полиномов Чебышёва настолько важно, чтомы оформим его как отдельноеПредложение 2.3.2 Среди полиномов степени n, n ≥ 1, со старшимкоэффициентом, равным 1, полином T̃n (x) := 21−n Tn (x) имеет на ин-762. Численные методы анализатервале [−1, 1] наименьшее равномерное отклонение от нуля. Инымисловами, если Qn (x) — полином степени n со старшим коэффициентом 1, тоmax |Qn (x)| ≥ max |T̃n (x)| = 21−n .(2.33)x∈[−1,1]x∈[−1,1]Полиномы T̃n (x) = 21−n Tn (x), фигурирующие в Предложении 2.3.2и имеющие, согласно Предложению 2.3.1, единичный старший коэффициент, называют приведёнными полиномами Чебышёва.Доказательство.
Предположим противное доказываемому, т. е. чтодля какого-то полинома Qn (x), имеющего старший коэффициент 1, выполняется неравенствоmax |Qn (x)| <x∈[−1,1]max |T̃n (x)|,x∈[−1,1](2.34)которое противоположнопо смыслу неравенству (2.33). Тогда разностьT̃n (x) − Qn (x) есть полином степени не выше n − 1. В то же время, вточках xs = cos(sπ/n), s = 0, 1, .
. . , n, доставляющих полиному Чебышёва максимумы модуля на [−1, 1], должно быть справедливоsgn T̃n (xs ) − Qn (xs ) = sgn (−1)s 21−n − Qn (xs )в силу (2.34)= sgn (−1)s 21−n= (−1)s .Как следствие, на каждом из интервалов [xs , xs+1 ] полином T̃n (x)−Qn (x) меняет знак, и потому обязан иметь корень. Коль скоро этопроисходитдля s = 0, 1, . .
. , n − 1, т. е. всего n раз, то полином T̃n (x) −Qn (x) необходимо имеет n корней на [−1, 1]. Так как степень этогополинома не превосходит n − 1, полученныевыводы можно примиритьлишь при условии T̃n (x) − Qn (x) = 0, т. е. когда Qn (x) = T̃n (x). Мыпришли к противоречию с допущением (2.34).2.3бПрименения полиномов ЧебышёваДоказательство Предложения 2.3.2 лишь косвенным образом использует то обстоятельство, что полиномы рассматриваются на интервале [−1, 1]. Фактически, мы опирались на свойство полиномов Чебышёва достигать своих знакопеременных экстремумов в n + 1 точках772.3. Полиномы Чебышёваэтого интервала. Если в качестве области определения полиномов необходимо взять интервал [a, b], отличный от [−1, 1], то линейной заменойпеременнойy = 12 (b + a) + 21 (b − a) x(2.35)интервал [−1, 1] может быть преобразован в [a, b].
При этом обратноеотображение [a, b] → [−1, 1] задаётся формулойx=2y − (b + a),(b − a)(2.36)а корням полинома Чебышёва на [−1, 1] соответствуют тогда точкиẙk = 12 (b + a) + 12 (b − a) cos(2k + 1)π,2nk = 0, 1, . . . , n − 1.(2.37)из интервала [a, b]. Свойство, аналогичное Предложению 2.3.2, будетверно на интервале [a, b] для полинома, полученного из Tn (x) с помощью линейной замены переменных (2.36) и масштабирования.Предложение 2.3.3 Если Tn (x) — n-ый полином Чебышёва, то полином переменной y, задаваемый как2y − (b + a)(2.38)21−2n (b − a)n · Tnb−aимеет старший коэффициент 1 и на интервале [a, b] равномерно наименее уклоняется от нуля среди всех полиномов степени n со старшим коэффициентом 1.Доказательство. Первое утверждение Предложения вытекает из того, что при подстановке (2.36) в полиноме n-ой степени старший коэффициент приобретает дополнительный множитель 2n /(b − a)n .Далее, из свойств полиномов Чебышёва следует, что на [a, b] полином (2.38) достигает максимумов своего модуля, равных 21−2n (b − a)n ,в точках sπ ,ys = 12 (a + b) + 21 (b − a) cosns = 0, 1, .
. . , n. Они получаются с помощью линейного преобразования(2.35) из аргументов xs = cos(sπ/n), s = 0, 1, . . . , n, доставляющих максимумы модуля полиному Чебышёва на [−1, 1]. Дальнейшие рассуждения повторяют доказательство Предложения 2.3.2, так как спецификаинтервала [−1, 1] там, фактически, никак не использовалась.782.
Численные методы анализаОбратимся к поставленной в конце §2.2д задаче наиболее выгодногорасположения узлов алгебраического интерполянта заданной степениn на некотором интервале [a, b]. Возьмём эти узлы корнями полинома(2.38), который получается в результате замены переменных (2.36) изполинома Чебышёва (n + 1)-ой степени Tn+1 (x), т. е. как(2k + 1)π,k = 0, 1, .
. . , n. (2.39)xk = 12 (b + a) + 21 (b − a) cos2(n + 1)Тогда соответствующий полиномωn (x) = (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn ),который фигурирует в формуле (2.25) для остаточного члена интерполяции, совпадёт с полиномом (n + 1)-ой степени вида (2.38). При этомωn (x) будет иметь наименьшее отклонение от нуля на [a, b] в равномерной (чебышёвской) метрике (2.1), и в смысле этой метрики погрешностьинтерполирования при прочих равных условиях будет наименьшей возможной. Узлы интерполяции (2.39) называют чебышёвскими узламина интервале [a, b], а в совокупности они образуют чебышёвскую сеткуна [a, b].Помимо интерполирования полиномы Чебышёва и их обобщенияимеют и другие важные применения в различных задачах вычислительной математики и анализа [48, 60].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
