1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 8
Текст из файла (страница 8)
– Москва-Ижевск: Издательство «РХД», 2012.[24] Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. – Электронная книга,2010 (см. http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks)[25] Aberth O. Precise numerical methods using C++. – San Diego: Academic Press,1998.[26] Goldberg D.
What every computer scientist should know about floating pointarithmetic // ACM Computing Surveys. – 1991. – Vol. 23, No. 1. – P. 5–48.[27] Kreinovich V., Lakeyev A.V., Rohn J., Kahl P. Computational complexityand feasibility of data processing and interval computations. – Dordrecht: Kluwer,1997.[28] Moore R.E., Kearfott R.B., Cloud M. Introduction to interval analysis. –Philadelphia: SIAM, 2009.Литература к главе 143[29] Neumaier A.
Interval methods for systems of equations. – Cambridge: CambridgeUniversity Press, 1990.Дополнительная[30] Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.Г., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. – Новосибирск: Наука, 1988 и 1992.[31] Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. –Москва: Наука, 1973.[32] Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике. – Москва: Наука,1975.[33] Математический Энциклопедический Словарь.
– Москва: Большая РоссийскаяЭнциклопедия, 1995.[34] IEEE Std 754-1985. IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. – NewYork: IEEE, 1985.Глава 2Численные методыанализа2.1ВведениеПод численными методами анализа обычно понимаются вычислительные методы решения ряда задач, возникающих в классическом математическом анализе. Традиционно сюда относят задачи интерполирования и приближения функций, задачи численного нахождения производных и интегралов, а также задачу суммирования рядов.
Крометого, численные методы анализа охватывают задачу вычисления значений функций, которая относительно проста для функций, явно задаваемых несложными арифметическими выражениями, но становитсянетривиальной в случае, когда функция задаётся неявно или с помощью операций, выводящих за пределы конечного набора элементарныхарифметических действий.В нашем курсе мы будем заниматься первыми четырьмя из перечисленных выше задач, и рассмотрим сначала задачи интерполированияи приближения функций.Задачи интерполирования1 и приближения функций являются тесно связанными друг с другом задачами, которые укладываются в рамки следующей единой неформальной схемы.
Пусть дана функция f (x),принадлежащая некоторому классу функций F, и пусть также задан1 Наряду с термином «интерполирование» в равной мере используется его синоним «интерполяция».442.1. Введение45Рис. 2.1. Различие задач интерполяции и приближения функций.класс функций G. Требуется найти функцию g(x) из G, которая в определённом заранее смысле «достаточно близка» (или даже «наиболееблизка») к данной функции f (x). В зависимости от смысла, которыйвкладывается в понятие «близости» функций, в зависимости от того,какие именно функции образуют классы F и G, здесь могут получатьсяразличные конкретные постановки задач. При этом полезно наделятьрассматриваемые классы функций дополнительной структурой, например, считать, что они являются линейными векторными пространствами с нормой и т.
п. Наконец, часто имеет место включение G ⊂ F.При определении понятий «близости» функций и «отклонения» одной функции от другой мы рассматриваем и сравниваем их значенияна некотором множестве X. Как правило, X является подмножествомобласти определения функций, которое может совпадать со всей этойобластью определения, но может также быть его небольшой частью,скажем, конечным набором точек. В последнем случае говорят о дискретной задаче приближения.Задача интерполирования получается из приведённой выше общейформулировки, когда «близость» функций f и g означает их совпадение на некотором дискретном множестве точек x0 , x1 , . . .
, xn из пересечения областей определения. От функции f при этом требуются лишьзначения на этом множестве точек, и потому при постановке задачиинтерполяции она сама часто даже не фигурирует. Вместо f обычнозадаются лишь её значения y0 , y1 , . . . , yn в точках x0 , x1 , . . . , xn соответственно.Задача приближения функций (называемая также задачей аппроксимации функций) является частным случаем общей формулировки, вкотором «близость» функций f от g понимается как малое отклонение462. Численные методы анализаих значений друг от друга на подмножестве X из их области определения. Если X совпадает со всей областью определения, то удобнорассматривать эту «близость» или «отклонение» в терминах какого-тоабстрактного расстояния (метрики), заданного на пересечении классовфункций F и G (см. подробности в §2.10а). При этом в отличие от задачи интерполяции точное равенство функции g заданным значениямне требуется, и эта ситуация наглядно иллюстрируется на Рис.
2.1.Напомним, что на множестве Y , образованном элементами произвольной природы, расстоянием (называемым также метрикой) называется определённая на декартовом произведении Y ×Y функция dist снеотрицательными вещественными значениями, удовлетворяющая длялюбых f , g, h ∈ Y следующим условиям [12]:(1) dist (f, g) = 0 тогда и только тогда, когда f = g,(2) dist (f, g) = dist (g, f ) — симметричность,(3) dist (f, h) ≤ dist (f, g) + dist (g, h) — неравенство треугольника.Разнообразные способы определения расстояния между функциями, возникающие в практике математического моделирования, приводят к различным математическим задачам приближения. Например,для функций f, g : R ⊇ [a, b] → R популярны равномерное (чебышёвское) расстояние, которое определяется как(2.1)max f (x) − g(x),x∈[a,b]или интегральное расстояние для функций на [a, b], определяемое какZ bf (x) − g(x) dx.(2.2)aВ §2.10г мы рассмотрим также задачу среднеквадратичного приближения функций, в которой расстояние между функциями f и g наинтервале [a, b] полагается равнымsZ b2f (x) − g(x) dx .(2.3)aКроме перечисленных выше применяются также другие расстояниямежду функциями.
Отметим, что расстояния (2.1)–(2.3) не вполне эквивалентны друг другу в том смысле, что сходимость последовательности функций к какому-то пределу относительно одного из этих расстояний не обязательно влечёт сходимость относительно другого.2.2. Интерполирование функций47В задачах дискретного приближения функций «отклонение» или«близость» адекватно описывается понятием псевдорасстояния (псевдометрики), которое определяется почти так же, как обычное расстояние, но отличается от него ослаблением первой аксиомы: хотя dist (f, f ) =0, но из dist (f, g) = 0 не обязательно следует, что f = g.2 Тогда псевдорасстояние между двумя функциями, совпадающими на заданномнаборе значений аргумента, будет равно нулю, даже если эти функциине равны друг другу, т. е.
различаются при каких-то других аргументах.2.2Интерполирование функций2.2аПостановка задачи и её свойстваЗадача интерполирования — это задача восстановления (доопределения) функции, которая задана на дискретном множестве точек xi ,i = 0, 1, . . . , n. Для функций одного вещественного аргумента её формальная постановка такова.Задан интервал [a, b] ⊂ R и конечное множество попарно различных точек xi ∈ [a, b], i = 0, 1, .
. . , n, называемых узлами интерполяции.Совокупность всех узлов будем называть сеткой. Даны значения yi ,i = 0, 1, . . . , n. Требуется построить функцию g(x) от непрерывного аргумента x ∈ [a, b], которая принадлежит заданному классу функций Gи в узлах xi принимает значения yi , i = 0, 1, . . . , n. Искомую функциюg(x) называют при этом интерполирующей функцией или интерполянтом.Практическая значимость задачи интерполяции чрезвычайно велика. Она встречается всюду, где у функции непрерывного аргумента (который может быть временем, пространственной координатой и т. п.) мыимеем возможность наблюдать лишь значения в дискретном множестветочек, но хотим востановить по ним ход функции на всём множествезначений аргумента. Например, выполнение многих химических анализов требует существенного времени, так что множество результатовэтих анализов по необходимости дискретно.
Если нам нужно контролировать по ним непрерывно изменяющийся параметр какого-либо производственного процесса, то неизбежно потребуется интерполирование2 Для этого ослабленного расстояния можно встретить и другие термины. Так, вкниге [15] используется термин «квазирасстояние».482. Численные методы анализарезультатов анализов. Очень часто дискретность множества точек, вкоторых наблюдаются на практике значения функции, вызвана ограниченностью ресурсов, которые мы можем выделить для сбора данных,или же вообще недоступностью этих данных.
Именно так происходитпри наблюдении за параметрами земной атмосферы (скоростью и направлением ветра, температурой, влажностью, и пр.) по данным ихизмерений, которые предоставляются отдельными метеостанциями.В качестве ещё одного примера интерполирования упомянем вычисление различных функций, как элементарных — sin, cos, exp, log,. . . , так и более сложных, называемых «специальными функциями». Сподобной задачей человеческая цивилизация столкнулась очень давно,столетия и даже тысячелетия назад, и типичным способом её решенияв докомпьютерную эпоху было составление для нужд практики таблиц— табуляция — для значений интересующей нас функции при некоторых специальных фиксированных значениях аргумента, более илименее плотно покрывающих область её определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
