1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ясно, к примеру, что для величины x = 10 абсолютная погрешность, равная, скажем, единице, соответствует довольно грубому приближению, тогда как для x = 1000 та же погрешность обеспечиваетсялишь весьма тщательным и высокоточным измерением. Более полноепонятие о качестве приближения можно получить из относительнойпогрешности приближения, которая определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю самого значению этой величины:δ̃ =˜∆.|x|(1.2)Относительная погрешность — безразмерная величина.
Предельнойотносительной погрешностью приближённого значения x называютчисло δ, оценивающее сверху его относительную погрешность. Такимобразом, если δ — предельная абсолютная погрешность значения x̃ точной величины x, то∆|x̃ − x|≤δ=.(1.3)δ̃ =|x||x|Говоря про абсолютную или относительную погрешность, обычноопускают эпитеты «предельная», поскольку именно предельные (граничные) погрешности являются реально доступными нам (наблюдаемыми) величинами, с которыми и работают на практике. Кроме того,141. Введениепри отыскании предельной относительной погрешности часто заменяют неизвестное истинное значение величины x доступным приближенным x̃, полагая δ = ∆/|x̃|.
При близости значений x и x̃ такая заменапочти не отражается на величине относительной погрешности. Тогдаиз определения относительной погрешности (1.3) следует приближённое двустороннее неравенствоx̃ − δ |x̃| ≤ x ≤ x̃ + δ |x̃|.Значащей цифрой приближённого числа называется любая цифраиз его представления в заданной системе счисления, отличная от нуля, либо нуль, если он стоит между значащими цифрами или является представителем сохранённого разряда этого числа. Содержательноеопределение может состоять в том, что значащая цифра — это цифра изпредставления числа, которая даёт существенную информацию о егоотносительной погрешности.
Значащие цифры приближённого числамогут быть верными или неверными.При записи приближённых чисел имеет смысл изображать их так,чтобы сама форма их написания давала характеристику об их точности. Ясно, что ненадёжные цифры в представлении чисел указыватьсмысла нет. Обычно принимают за правило писать числа так, чтобывсе их значащие цифры кроме, может быть, последней были верны,а последняя цифра была бы сомнительной не более чем на единицу.Согласно этому правилу число 12340000, у которого цифра 4 уже сомнительна, нужно записывать в виде 1.23 · 108 .Как изменяются абсолютные и относительные погрешности при выполнении арифметических операций с приближёнными числами? Приближённое число с заданной абсолютной погрешностью — это, фактически, целый интервал значений. По этой причине для абсолютных погрешностей поставленный вопрос решается формулами интервальнойарифметики, рссматриваемой в §1.5.
Здесь мы рассмотрим упрощённыеверсии этих операций.Предложение 1.1.1 Абсолютная погрешность суммы или разностиприближённых чисел равна сумме абсолютных погрешностей операндов.Доказательство. Если x1 , x2 — точные значения рассматриваемыхчисел, x̃1 , x̃2 — их приближённые значения, а ∆1 , ∆2 — соответствую-1.1. Погрешности вычислений15щие предельные абсолютные погрешности, тоx̃1 − ∆1 ≤ x1 ≤ x̃1 + ∆1 ,x̃2 − ∆2 ≤ x2 ≤ x̃2 + ∆2 .(1.4)(1.5)Складывая эти неравенства почленно, получим(x̃1 + x̃2 )− ∆1 + ∆2 ≤ x1 + x2 ≤ (x̃1 + x̃2 ) + ∆1 + ∆2 .Полученное соотношение означает, что величина ∆1 +∆2 является предельной абсолютной погрешностью суммы x̃1 + x̃2 .Умножая обе части неравенства (1.5) на (−1), получим−x̃2 − ∆2 ≤ −x2 ≤ −x̃2 + ∆2 .Складывая почленно с неравенством (1.4), получим(x̃1 − x̃2 )− ∆1 + ∆2 ≤ x1 − x2 ≤ (x̃1 − x̃2 ) + ∆1 + ∆2 .Отсюда видно, что величина ∆1 + ∆2 является предельной абсолютнойпогрешностью разности x̃1 − x̃2 .Для умножения и деления формулы преобразования абсолютнойпогрешности более громоздки.Предложение 1.1.2 Если приближённые величины x̃1 , x̃2 имеют абсолютные погрешности ∆1 и ∆2 , то абсолютная погрешность произведения x̃1 x̃2 не превосходит |x̃1 | ∆2 +|x̃2 | ∆1 +∆1 ∆2 .
Если, кроме того,x̃2 6= 0 и известно, что точное значение этой величины x2 — ненулевое, а её относительная погрешность δ2 = ∆2 /x2 меньше единицы,то абсолютная погрешность частного x1 /x2 не превосходит|x1 | ∆2 + |x2 | ∆11·.2x̃21 − δ2Интересно, что в формуле для абсолютной погрешности частногооказалось задействована относительная погрешность делителя. Точныерезультаты для операций между приближёнными величинами даютсятакже интервальной арифметикой, рассматриваемой ниже в §1.5.Рассмотрим теперь эволюцию относительной погрешности в вычислениях.161.
ВведениеПредложение 1.1.3 Если все слагаемые в сумме имеют одинаковыйзнак, то относительная погрешность суммы не превосходит наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.Доказательство. Пусть складываются две приближённые величины,точные значения которых равны x1 и x2 , а относительные погрешностисуть δ1 и δ2 . Тогда их абсолютные погрешности —∆1 = δ1 |x1 |и∆2 = δ2 |x2 |.Если δ = max{δ1 , δ2 }, то∆1 ≤ δ |x1 |,∆2 ≤ δ |x2 |.Складывая полученные неравенства почленно, получим∆1 + ∆2 ≤ δ |x1 | + |x2 | ,откуда∆1 + ∆2≤ δ.|x1 | + |x2 |В числителе полученной дроби стоит предельная абсолютная погрешность суммы, а в знаменателе — модуль точного значения суммы, еслислагаемые имеют один и тот же знак.Ситуация с относительной погрешностью принципиально меняется,когда в сумме слагаемые имеют разный знак, т.
е. она является разностью. Если результат имеет меньшую абсолютную величину, чем суммаабсолютных величин операндов, то значение дроби (1.2) возрастёт, т. е.относительная погрешность станет больше. А если вычитаемые числа очень близки друг к другу, то знаменатель в (1.2) сделается оченьмаленьким и относительная погрешность результата вычитания можеткатастрофически возрасти.Пример 1.1.1 Рассмотрим вычитание чисел 1001 и 1000, каждое изкоторых является приближённым и известным с абсолютной точностью 0.1.
Таким образом, относительные точности обоих чисел примерно равны 0.01%. Выполняя вычитание, получим результат 1, которыйимеет абсолютную погрешность 0.1 + 0.1 = 0.2. Как следствие, относительная погрешность результата достигла 20%.171.1. Погрешности вычисленийОтмеченное явление называют также потерей значащих цифр, поскольку его следствием является уменьшение количества верных значащих цифр в представлении числа.Предложение 1.1.4 Если погрешности приближённых чисел малы,то относительная погрешность их произведения приближённо (с точностью до членов более высокого порядка малости) равна сумме относительных погрешностей сомножителей.Доказательство.
Пусть x1 , x2 , . . . , xn — точные значения рассматриваемых чисел, x̃1 , x̃2 , . . . , x̃n — их приближённые значения. Обозначим также x := x1 x2 . . . xn , x̃ := x̃1 x̃2 . . . x̃n , и пусть f (y1 , y2 , . . . , yn ) =y1 y2 . . . yn — функция произведения n чисел. Разлагая её в точке (x1 ,x2 , . . . , xn ) по формуле Тейлора с точностью до членов первого порядка, получимx̃ − x = f (x̃1 , x̃2 , . . . , x̃n ) − f (x1 , x2 , .
. . , xn )nX∂f≈(x1 , x2 , . . . , xn ) · (x̃i − xi )∂yii=1=nXx1 . . . xi−1 xi+1 . . . xn (x̃i − xi )nXx1 x2 . . . xni=1=i=1x̃i − xi.xiРазделив на x = x1 x2 . . . xn обе части этого приближённого равенстваи беря от них абсолютное значение, получим с точностью до членоввторого порядка малостиn X x̃ − x x̃i − xi = x xi ,i=1что и требовалось.Предложение 1.1.5 Если погрешности приближённых чисел малы,то относительная погрешность их частного приближённо (с точностью до членов более высокого порядка малости) равна сумме относительных погрешностей сомножителей.181. ВведениеДоказательство. Если u = x/y, то∆u ≈∂u∂u∆x x ∆y∆x +∆y =− 2 .∂x∂yyyПоэтому∆x x ∆y∆u∆x ∆y= x −−,=2xuxyyyyyтак что ∆u ≤ ∆x + ∆y . x y u Это и требовалось показать.1.2Компьютерная арифметикаДля правильного учёта погрешностей реализации вычислительныхметодов на различных устройствах и для правильной организации этихметодов нужно знать детали конкретного способа вычислений.
В современных электронных цифровых вычислительных машинах (ЭЦВМ),на которых выполняется подавляющая часть современных вычислений, эти детали реализации регламентируются специальными международными стандартами. Первый из них был принят в 1985 году Институтом инженеров по электротехнике и электронике2 , профессиональной ассоциацией, объединяющей в своих рядах также специалистов поаппаратному обеспечению ЭВМ. Этот стандарт, коротко называемыйIEEE 754, был дополнен и развит в 1995 году следующим стандартомIEEE 854 [26, 34], а затем в 2008 году появилась переработанная версияпервого стандарта, которая получила наименование IEEE 754-2008.Согласно этим стандартам вещественные числа представляются вЭВМ в виде «чисел с плавающей точкой», в которых число хранится в форме мантиссы и показателя степени. Зафиксируем натуральное число β, которое будет называться основанием системы счисления.Числами с плавающей точкой называются числа видаα1 β −1 + α2 β −2 + .
. . + αp β −p · β e ,2 Чаще всего его называют английской аббревиатурой IEEE от Institute ofElectrical and Electronics Engineers.191.2. Компьютерная арифметикакоторые условно можно записать в виде0 . α1 α2 . . . αp · β e ,где 0 ≤ αi < β, i = 1, 2, . . . , p. В выписанном представлении величина0 . α1 α2 . . . αp называется мантиссой числа, а p — количество значащихцифр мантиссы — это точность рассматриваемой модели с плавающейточкой. На показатель степени e также обычно накладывается двустороннее ограничение emin ≤ e ≤ emax .Стандарты IEEE 754/854 предписывают для цифровых ЭВМ значения β = 2 или β = 10, и в большинстве компьютеров используетсяβ = 2, т. е. двоичная система счисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
