1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это же верно и для экстремумовпо a ∈ [a, a] при любом фиксированном значении b. Наконец,mina∈[a,a],b∈[b,b]maxa∈[a,a],b∈[b,b]φ(a, b) = minmin φ(a, b),φ(a, b) = maxmax φ(a, b),a∈[a,a] b∈[b,b]a∈[a,a] b∈[b,b]т. е. взятие минимума по совокупности аргументов может быть заменено повторным минимумом, а взятие максимума по совокупности аргументов — повторным максимумом, причём в обоих случаях порядок261. Введениеэкстремумов несуществен. Следовательно, для a ∈ [a, a] и b ∈ [b, b] всамом делеmin a b, a b, a b, a b ≤ a · b ≤ max a b, a b, a b, a b ,(1.9)a ⋆ b := { a ⋆ b | a ∈ a, b ∈ b }(1.10)и нетрудно видеть, что эта оценка достижима с обеих сторон.Наконец, для частного двух ограниченных переменных несложновывести оценки из неравенств для умножения и из того факта, чтоa/b = a · (1/b).Проведённые выше рссуждения подсказывают идею — рассматривать интервалы вещественной оси как самостоятельные объекты, между которыми можно будет ввести свои собственные операции, отношения и т.
п. Мы далее будем обозначать интервалы буквами жирногошрифта: a, b, c, . . . , x, y, z. Подчёркивание и надчёркивание — a и a— будут зарезервированы для обозначения нижнего и верхнего концовинтервала, так что a = [a, a].Рассмотрим множество всех вещественных интервалов a := [ a, a ] ={ a ∈ R | a ≤ a ≤ a }, и бинарные операции — сложение, вычитание,умножение и деление — определим между ними «по представителям»,т.
е. в соответствии со следующим фундаментальным принципом:для всех интервалов a, b, таких что выполнение точечной операцииa ⋆ b, ⋆ ∈ { +, −, · , / }, имеет смысл для любых a ∈ a и b ∈ b. При этомвещественные числа a отождествляются с интервалами нулевой ширины [a, a], которые называются также вырожденными интервалами.Кроме того, через (−a) условимся обозначать интервал (−1) · a.Для интервальных арифметических операций развёрнутое определение, равносильное (1.10), как мы установили выше, задаётся следующими формулами:a + b = a + b, a + b ,a − b = a − b, a − b ,a · b = min{a b, a b, a b, a b} , max{a b, a b, a b, a b} ,a/b = a · 1/b, 1/bдля b 6∋ 0.(1.11)(1.12)(1.13)(1.14)271.5. Интервальная арифметикаВ частности, при умножении интервала на число полезно помнить следующее простое правило:([ µ a, µ a ], если µ ≥ 0,µ·a =(1.15)[ µ a, µ a ], если µ ≤ 0.Алгебраическая система h IR, +, −, ·, / i, образованная множествомвсех вещественных интервалов a := [ a, a ] = { x ∈ R | a ≤ x ≤ a }с бинарными операциями сложения, вычитания, умножения и деления, которые определены формулами (1.11)–(1.14), называется классической интервальной арифметикой.
Эпитет «классическая» используется здесь потому, что существуют и другие интервальные арифметики, приспособленные для решения других задач.Полезно выписать определение интервального умножения в видетак называемой таблицы Кэли, дающей представление результата операции в зависимости от различных комбинаций значений операндов.Для этого выделим в IR следующие подмножества:P := { a ∈ IR | a ≥ 0 и a ≥ 0 }— неотрицательные интервалы,Z := { a ∈ IR | a ≤ 0 ≤ a }— нульсодержащие интервалы,−P := { a ∈ IR | −a ∈ P }— неположительные интервалы.В целом IR = P ∪ Z ∪ (−P).
Тогда интервальное умножение (1.13)может быть описано с помощью Табл. 1.1, особенно удобной при реализции этой операции на ЭВМ.Именно по этой таблице реализовано интервальное умножение в подавляющем большинстве компьютерных систем, поддерживающих интервальную арифметику, так как в сравнении с исходными формуламитакая реализация существенно более быстрая.Алгебраические свойства классической интервальной арифметикисущественно беднее, чем у поля вещественных чисел R. В частности,особенностью интервальной арифметики является отсутствие дистрибутивности умножения относительно сложения: в общем случае(a + b)c 6= ac + bc.Например,[1, 2] · (1 − 1) = 0 6= [−1, 1] = [1, 2] · 1 − [1, 2] · 1.281.
ВведениеТаблица 1.1. Интервальное умножение·b∈Pb∈Zb ∈ −Pa∈P[ a b, a b ][ a b, a b ][ a b, a b ]a∈Z[ a b, a b ][ min{a b, a b},max{a b, a b} ][ a b, a b ]a ∈ −P[ a b, a b ][ a b, a b ][ a b, a b ]Тем не менее, имеет место более слабое свойство(1.16)a(b + c) ⊆ ab + acназываемое субдистрибутивностью умножения относительно сложения.
В ряде частных случаев дистрибутивность всё-таки выполняется:a(b + c) = ab + ac,если a — вещественное число,(1.17)a(b + c) = ab + ac,если b, c ≥ 0 или b, c ≤ 0.(1.18)x2✻✲x1Рис. 1.3. Интервальные векторы-брусы в R2 .Интервальный вектор — это упорядоченный кортеж из интервалов, расположенный вертикально (вектор-столбец) или горизонтально291.5. Интервальная арифметика(вектор-строка). Таким образом, если a1 , a2 , . . .
, an — некоторые интервалы, тоa1 a2 a = . — это интервальный вектор-столбец, .. anаa = a1 , a2 , · · · , an — это интервальная вектор-строка.Множество интервальных векторов, компоненты которых принадлежат IR, мы будем обозначать через IRn . При этом нулевые векторы,т. е. такие, все компоненты которых суть нули, мы традиционно обозначаем через «0».Введём также важное понятие интервальной оболочки множестваЕсли S — непустое ограниченное множество в Rn или Rm×n , то его интервальной оболочкой S называется наименьший по включению интервальный вектор (или матрица), содержащий S. Нетрудно понять,что это определение равносильно такому: интервальная оболочка множества S — это пересечение всех интервальных векторов, содержащихS, т.
е. S = ∩ { a ∈ IRn | a ⊇ S }.Интервальная оболочка — это интервальный объект, наилучшим образом приближающий извне (т. е. объемлющий) рассматриваемое множество, и компоненты S являются проекциями множества S на координатные оси пространства.Сумма (разность) двух интервальных матриц одинакового размераесть интервальная матрица того же размера, образованная поэлементными суммами (разностями) операндов.Если A = ( aij ) ∈ IRm×l и B = ( bij ) ∈ IRl×n , то произведение матрицA и B есть матрица C = ( cij ) ∈ IRm×n , такая чтоcij :=lXaik bkj .k=1Нетрудно показать, что для операций между матрицами выполняетсясоотношениеA ⋆ B = { A ⋆ B | A ∈ A, B ∈ B },⋆ ∈ { +, −, · },(1.19)301.
Введениегде — интервальная оболочка множества, наименьший по включениюинтервальный вектор-брус, который содержит его.1.6Интервальные расширения функцийПусть f : R → R — некоторая функция. Если мы рассматриваеминтервалы в виде самостоятельных объектов, то что следцует пониматьпод значением функции от интервала? Естественно считать, чтоf (x) = {f (x) | x ∈ x }.Задача об определении области значений функции на том или иномподмножестве области её определения, эквивалентная задаче оптимизации, в интервальном анализе принимает специфическую форму задачи о вычислении так называемого интервального расширения функции.Определение 1.6.1 Пусть D — непустое подмножество пространства Rn .
Интервальная функция f : ID → IRm называется интервальным продолжением точечной функции f : D → Rm , если f (x) =f (x) для всех x ∈ D.Определение 1.6.2 Пусть D — непустое подмножество пространства Rn . Интервальная функция f : ID → IRm называется интервальным расширением точечной функции f : D → Rm , если1)2)f (x) — интервальное продолжение f (x),f (x) монотонна по включению, т. е.x′ ⊆ x′′ ⇒ f (x′ ) ⊆ f (x′′ ) на ID.Таким образом, если f (x) — интервальное расширение функцииf (x), то для области значений f на брусе X ⊂ D мы получаем следующую внешнюю (с помощью объемлющего множества) оценку:[[f (x) | x ∈ X =f (x) =f (x) ⊆ f (X).x∈Xx∈XЭффективное построение интервальных расширений функций — этоважнейшая задача интервального анализа, поиски различных решений которой продолжаются и в настоящее время. Уместно привести в311.6.
Интервальные расширения функций✻f (X)✛✲❄XРис. 1.4. Интервальное расширение функциидаёт внешнюю оценку её области значенийрамках нашего беглого обзора некоторые общезначимые результаты вэтом направлении. Первый из них часто называют «основной теоремойинтервальной арифметики»:Теорема 1.6.1 Если для рациональной функции f (x) = f (x1 , x2 , . .
. ,xn ) на брусе x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ IRn определён результат f ♮ (x)подстановки вместо её аргументов интервалов их изменения x1 , x2 ,. . . , xn и выполнения всех действий над ними по правилам интервальной арифметики, то{ f (x) | x ∈ x } ⊆ f (x),т. е. f (x) содержит множество значений функции f (x) на x.Нетрудно понять, что по отношению к рациональной функции f (x)интервальная функция f ♮ (x), о которой идёт речь в Теореме 1.6.1,является интервальным расширением. Оно называется естественныминтервальным расширением и вычисляется совершенно элементарно.Пример 1.6.1 Для функции f (x) = x/(x + 1) на интервале [1, 3] область значений в соответствии с результатом Теоремы 1.6.1 можно оценить извне как[1, 3][1, 3] 1 3 (1.20)== 4, 2 .[1, 3] + 1[2, 4]Но если предварительно переписать выражение для функции в видеf (x) =1,1 + 1/x321.
Введениеразделив числитель и знаменатель дроби на x 6= 0, то интервальноеоценивание даст уже результат11= 4 = 12 , 43 .1 + 1/[1, 3]3, 2Он более узок (т. е. более точен), чем (1.20), и совпадает к тому жес областью значений. Как видим качество интервального оцениваниясущественно зависит о вида выражения.Использование естественного интервального расширения подчас даёт весьма грубые оценки областей значений функций, в связи с чемполучили развитие более совершенные способы (формы) нахожденияинтервальных расширений.
Одна из наиболее популярных — так называемая центрированная форма:fc (x, x̃) = f (x̃) +nXi=1где x̃ = ( x̃1 , x̃2 , . . . , x̃n )g i (x, x̃)——g i (x, x̃)( xi − x̃i ),некоторая фиксированная точка,называемая «центром»,интервальные расширения некоторыхфункций gi (x, x̃), которые строятсяпо f и зависят в общем случае какот x̃, так и от x.В выписанном выше выражении g i (x, x̃) могут быть внешними оценками коэффициентов наклона функции f на рассматриваемой областиопределения, взятыми относительно точки x̃, или же внешними интервальными оценками областей значений производных ∂f (x)/∂xi на x.В последнем случае точка x̃ никак не используется, а интервальнаяфункция fc называется дифференциальной центрированной формойинтервального расширения.3Пример 1.6.2 Для оценивания функции f (x) = x/(x+1) на интервалеx = [1, 3] применим дифференциальную центрированную форму.Так как1,f ′ (x) =(x + 1)23 По отношению к ней часто используют также термин «среднезначная форма»,поскольку она может быть выведена из известной теоремы Лагранжа о среднем.1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
