1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Численные методы линейной алгебрыу которой по диагонали стоят единицы, называется единичной матрицей. В матричном умножении она выполняет роль нейтрального элемента:AI = A,IA = Aдля любой матрицы A, с которой имеют смысл выписанные произведения матриц.4Матрицы можно рассматривать как объекты, составленные из своих вектор-строк или же вектор-столбцов. Строчным рангом числовойматрицы (или рангом по строкам) называется количество её линейно независимых строк. Столбцовым рангом матрицы (или рангом постолбцам) называется максимальное количество её линейно независимых столбцов. В курсах линейной алгебры показывается, что строчныйи столбцовый ранги матрицы совпадают друг с другом и равны максимальному размеру ненулевого минора этой матрицы.
Как следствие,мы можем говорить просто о ранге матрицы. Мы будем обозначать егоrank A.Различают матрицы полного и неполного ранга. Более точно, m×nматрица, ранг которой равен min{m, n}, т. е. максимально возможномудля этой матрицы числу, называется матрицей полного ранга. Иначематрица имеет неполный ранг.Квадратная матрица, все строки которой (или столбцы) линейнонезависимы, называется неособенной (регулярной, невырожденной). Еёранг равен, таким образом, её порядку. В противном случае квадратная матрица называется особенной (вырожденной).Если квадратная матрица A неособенна, то для неё существует обратная матрица, обозначаемая A−1 и имеющая те же размеры, такаячтоAA−1 = I,A−1 A = I.В связи с этим обстоятельством стоить отметить, что неособенные матрицы часто называют обратимыми.Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица S того жепорядка, чтоB = S −1 AS.Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных координатных системах.4 БукваI — от слова “identity”, т.
е. “тождественность”.2133.2. Теоретическое введение00Рис. 3.1. Наглядные образы нижней треугольнойи верхней треугольной матриц.В случае, когда нулевые и ненулевые элементы в матрице A структурированы определённым образом, по отношению к A будут употребляться дополнительные определяющие термины. Например,a11 a12 .
. . a1na11 aa22 . . . a2n 21 a22 и.. .. ........ .. .00an1annan2. . . ann— это верхняя треугольная и нижняя треугольная матрицы соответственно. Равносильные термины — правая треугольная и левая треугольная матрицы. Выбор того или иного варианта названия обычнодиктуется контекстом или сложившейся традицией.Обобщением понятия треугольных матриц на произвольный прямоугольный (неквадратный) случай являются трапецеидальные матрицы.
Именно, прямоугольная матрица с нулями выше (ниже) диагоналиназывается нижней (верхней) трапецеидальной матрицей.Блочными называются матрицы видаA11 A12 . . . A1n A21 A22 . . . A2n .... ,.... ... .Am1Am2. . . Amnу которых элементы Aij , в свою очередь, также являются матрицами.Подматрицы Aij называются тогда блоками рассматриваемой матри-2143. Численные методы линейной алгебрыцы. Блочные матрицы видаA11A22...Ann00иA11A12A220.........A1nA2n .. ,. Annгде внедиагональные блоки или же блоки ниже главной диагонали являются нулевыми, назовём соответственно блочно-диагональными иливерхними блочно треугольными (правыми блочно треугольными), см.Рис.
3.2. Аналогичным образом определяются нижние блочно треугольные (левые блочно треугольные) матрицы.000Рис. 3.2. Наглядные образы блочно-диагональнойи верхней блочно-треугольной матриц.Введение структурированных матриц и отдельное их изучение мотивируется тем, что многие операции с такими матрицами можно выполнить более специальным образом и существенно проще, чем в самомобщем случае.
В частности, для блочных матриц операции выполняются «по блокам», т. е. совершенно аналогично операциям над обычнымиматрицами, но определённым «поблочным» образом, когда блоки выступают как отдельные самостоятельные элементы.Линейная алгебра и её численные методы в некоторых ситуациях посуществу требуют выхода в поле комплексных чисел C, алгебраическипополняющее вещественную ось R. Это необходимо, в частности, в связи с понятиями собственных чисел и собственных векторов матриц, номожет также диктоваться исходной содержательной постановкой задачи. Например, привлечение комплексных чисел бывает необходимымпри исследовании колебательных режимов в различных системах, так2153.2.
Теоретическое введениекак в силу известной из математического анализа формулы Эйлера гармонические колебания с угловой частотой ω обычно представляются ввиде комплексной экспоненты exp(iωt).Эрмитово-сопряжённой к m×n-матрице A = ( aij ) называют n×mматрицу A∗ , в которой ij-ым элементом является комплексно-сопряжённый aji .
Иными словами,a11 a21 . . . an1 a12 a22 . . . an2 A∗ := ..... ,.. ..... a1ma2m. . . anmи эрмитово сопряжение матрицы есть композиция транспонирования икомплексного сопряжения элементов.илиРис. 3.3. Наглядные образы симметричной матрицы.В линейной алгебре и её приложениях широко используются специальные типы матриц — эрмитовы, симметричные, косоэрмитовы, кососимметричные, унитарные, ортогональные и т. п. Напомним, что симметричными матрицами 5 называют матрицы, совпадающие со своими транспонированными, т.
е. удовлетворяющие A⊤ = A. Эрмитовымиматрицами называются такие комплексные матрицы A, что A∗ = A.Матрица Q называется унитарной, если Q∗ Q = I. Матрица Q называется ортогональной, если Q⊤ Q = I.Разреженными называются матрицы, большинство элементов которых равны нулю. Такие матрицы довольно часто встречаются в математическом моделировании, поскольку описывают системы или модели, в которых каждый элемент связан с относительно немногими5 Используюттакже термин симметрическая матрица.2163. Численные методы линейной алгебрыдругими элементами системы.
Это происходит, например, если связимежду элементами системы носят локальный характер. В противоположность этому, плотно заполненными называют матрицы, которыене являются разреженными. Иными словами, в плотно заполненныхматрицах большинство элементов не равны нулю.000000Рис. 3.4. Наглядные образы некоторых ленточных матриц.В разреженных матрицах нулевые и ненулевые элементы часто образуют какие-то регулярные структуры, и в этих случаях для названиясоответствующих матриц употребляют более специальные термины. Вчастности, ленточными матрицами называют матрицы, у которыхненулевые элементы образуют выраженную «ленту» вокруг главнойдиагонали.
В формальных терминах, матрица A = (aij ) называетсяленточной, если существуют такие натуральные числа p и q, что aij = 0при j − i > p и i − j > q. В этом случае велична p + q + 1 называетсяшириной ленты. Простейшими и важнейшими из ленточных матрицявляются трёхдиагональные матрицы, для которых p = q = 1, и двухдиагональные матрицы, для которых p = 0 и q = 1 или p = 1 и q = 0.Такие матрицы встретятся нам в §3.8.3.2бСобственные числаи собственные векторы матрицыКак должно быть известно читателю, большую роль в теории и приложениях квадратных вещественных или комплексных матриц играютих собственные значения и собственные векторы. Если обозначить посредством λ собственное значение n × n-матрицы A, а x, x 6= 0, — еёсобственный вектор, то они удовлетворяют матричному уравнениюAx = λ x.(3.5)2173.2.
Теоретическое введениеСодержательный смысл этого равенства состоит в том, что на одномерном линейном подпространстве в Rn или Cn , порождённом собственным вектором x, задаваемое матрицей A линейное преобразование действует как умножение на скаляр λ, т. е. как растяжение или сжатие.Собственные значения являются корнями так называемого характеристического уравнения матрицы, которое имеет видdet(A − λI) = 0.Для n × n-матрицы A это алгебраическое уравнение n-ой степени, ипотому для корректного исследования его разрешимости по существутребуется привлечение поля комплексных чисел C. Совокупность собственных чисел матрицы называется её спектром, так что в общемслучае спектр — подмножество комплексной плоскости.Напомним широко известный факт: собственные значения эрмитовых и симметричных матриц вещественны [9, 26, 50, 64].Цель этого раздела — сообщить некоторые необщеизвестные свойства собственных значений и собственных векторов матриц, необходимые в дальнейшем изложении.Предложение 3.2.1 Пусть A — m×n-матрица, B — n×m-матрица,так что одновременно определены произведения AB и BA.
Спектрыматриц AB и BA могут различаться только нулём.Доказательство. Пусть λ — какое-нибудь ненулевое собственное значение матрицы AB, так чтоABu = λu(3.6)с некоторым вектором u 6= 0. Умножая это равенство слева на матрицуB, получимB(ABu) = B(λu),илиBA(Bu) = λ(Bu),причём Bu 6= 0, так как иначе в исходном соотношении (3.6) необходимо должно быть λ = 0. Сказанное означает, что вектор Bu являетсясобственным вектором матрицы BA, отвечающим такому же собственному значению λ.2183.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
