1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. корни полиномов Лежандра) и их веса тщательно затабулированы дляпервых натуральных чисел n вплоть до нескольких десятков. Обсуждение вычислительных формул и других деталей численных процедурдля их нахождения читатель может найти, к примеру, в книгах [3, 56]и в специальных журнальных статьях. В частности, оказывается, чтовесовые коэффициенты формулы Гаусса с n узлами выражаются какck =2(1 −x2k )2 ,L′n (xk )k = 1, 2, . .
. , n,где Ln (x) — n-ый полином Лежандра в виде, даваемом формулой Родрига (2.106).Конкретные числовые значения узлов и весов квадратур Гауссаприводятся в подробных руководствах по вычислительным методам[2, 3, 10, 18, 19, 59] или в специализированных справочниках, например, в [38, 50]. В частности, в учебнике [3] значения весов и узлов формул Гаусса приведены для небольших n с 16 значащими цифрами, вкниге [19] — с 15 значащими цифрами вплоть до n = 16, а в справочниках [38, 50] — с 20 значащими цифрами вплоть до n = 96 и n = 48.1822. Численные методы анализаТаблица 2.3. Узлы и веса квадратурных формул ГауссаУзлыВесаn=2±0.57735 02691 896261.00000 00000 00000n=30.00000 00000 000000.88888 88888 88889±0.77459 66692 414830.55555 55555 55556n=4±0.33998 10435 848560.65214 51548 62546±0.86113 63115 940530.34785 48451 37454n=50.00000 00000 000000.56888 88888 88889±0.53846 93101 056830.47862 86704 99366±0.90617 98459 386640.23692 68850 56189Таким образом, практическое применение квадратур Гаусса обычно невстречает затруднений.При небольших значениях n можно дать точные аналитические выражения для узлов формул Гаусса, как корней полиномов ЛежандраLn (x), имеющих явные представления (2.108).
Так, для n = 3L3 (x) = 21 5x3 − 3x = 21 x 5x2 − 3 .Поэтому для канонического интервала интегрирования [−1, 1] и n = 3узлы квадратурной формулы Гаусса сутьqx1 = − 35 = −0.77459 66692 41483 . . . ,x2 =x3 =0,q35=0.77459 66692 41483 . . . .1832.13. Квадратурные формулы ГауссаДля n = 4L4 (x) =1835x4 − 30x2 + 3 ,и нахождение корней этого биквадратного полинома труда не представляет. Аналогично и для n = 5, когдаL5 (x) =1863x5 − 70x3 + 15x =18x 63x4 − 70x2 + 15 .Соответствующие весовые коэффициенты можно легко найти решением небольших систем линейных уравнений, к которым редуцируетсясистема (2.131) после подстановки в неё известных значений узлов.Численные значения узлов и весов квадратурных формул Гауссадля n = 2, 3, 4, 5 сведены в Табл.
2.3. Видно, что узлы располагаются симметрично относительно середины интервала интегрирования, аравноотстоящие от неё весовые коэффициенты одинаковы. Симметриярасположения узлов очевидно следует из того, что любой полином Лежандра является, в зависимости от номера, либо чётной, либо нечётнойфункцией.2.13дПогрешность квадратур ГауссаДля исследования остаточного члена квадратурных формул Гаусса предположим, что подинтегральная функция f (x) имеет достаточновысокую гладкость. Желая воспользоваться результатом о погрешности алгебраической интерполяции, построим для f (x) интерполяционный полином, принимающий в узлах x1 , x2 , .
. . , xn значения f (x1 ),f (x2 ), . . . , f (xn ). Поскольку квадратурная формула Гаусса точна наполиномах степени 2n − 1, то для адекватного учёта этого факта степень полинома, интерполирующего подинтегральную функцию, такженужно взять равной 2n − 1. Здесь мы находимся в ситуации, совершенно аналогичной той, что имела место при анализе формулы Симпсона. Необходимая степень интерполяционного полинома для формулыГаусса получается, если рассматривать на интервале интегрированияинтерполяцию с кратными узлами.
Например, можно назначить кратность всех n узлов равной двум, предполагая в них заданными значения функции f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn ) и виртуальные значения производных f ′ (x1 ), f ′ (x2 ), . . . , f ′ (xn ).При этом согласно (2.45) погрешность интерполирования функции1842. Численные методы анализаf (x) полиномом Эрмита H2n−1 (x) равнаR2n−1 (f, x) = f (x) − H2n−1 (x) nf (2n) ξ(x) Y=(x − xi )2 ,·(2n)!i=12f (2n) ξ(x)· ω(x) ,=(2n)!где ω(x) = (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) и ξ(x) — некоторая точка, зависящая от x, из открытого интервала интерполирования ]a, b[ .
Поусловиям интерполяции H2n−1 (xi ) = f (xi ), i = 1, 2, . . . , n, следовательно,Z bZ bH2n−1 (x) + R2n−1 (f, x) dxf (x) dx =aa=ZbH2n−1 (x) dx +nXci H2n−1 (xi ) +nXci f (xi ) +i=1ZbR2n−1 (f, x) dxR2n−1 (f, x) dxai=1=baa=Zтак как формула точна на полиноме H2n−1 (x)1(2n)!Zab2f (2n) (ξ(x)) ω(x) dx,где ci — веса квадратурной формулы Гаусса.Выражение для второго слагаемого последней суммы, т. е. для остаточного члена квадратуры, можно упростить и далее, приняв во внима2ние знакопостоянство множителя ω(x) . Тогда в силу интегральнойтеоремы о среднем (см., к примеру, [37]) имеемZab2f (2n) ξ(x) ω(x) dx = f (2n) (θ)Zba2ω(x) dxдля некоторой точки θ ∈ ]a, b[. Таким образом, погрешность квадратурной формулы Гаусса, построенной по n узлам x1 , x2 , . .
. , xn ∈ [a, b],1852.13. Квадратурные формулы Гауссаравнаf (2n) (θ)R(f ) =(2n)!Zab2ω(x) dx,где θ ∈ ]a, b[ .Узлы x1 , x2 , . . . , xn — это корни полинома, полученного из полинома Лежандра линейной заменой переменных, а интеграл от квадрата— это его скалярное произведение на себя. По этой причине интегралв полученной формуле для погрешности можно вычислить точно, приведя его обратной заменой переменных к интервалу [−1, 1]. Из-за того,что у полинома ω(x) старший коэффициент — единица, здесь удобнеевоспользоваться приведёнными полиномами Лежандра (2.109), скорректировав соответствующим образом результат Предложения 2.11.1.В конце концов это даётR(f ) =(n!)4(b − a)2n+1 f (2n) (θ)3(2n)! (2n + 1)(2.142)для некоторой промежуточной точки θ из интервала интегрирования]a, b[ .
Более практична грубая оценка|R(f )| ≤(n!)4M2n (b − a)2n+1 ,3(2n)! (2n + 1)где, как обычно, обозначено M2n = maxx∈[a,b] |f (2n) (x)|.В частности, для формулы Гаусса (2.135)–(2.136) с двумя узлами|R2 (f )| ≤M4 (b − a)5,4320что даже лучше оценки погрешности для формулы Симпсона. Практическое поведение этой погрешности мы могли видеть в Примере 2.13.1.Отметим, что выведенная оценка (2.142) справедлива лишь при достаточной гладкости подинтегральной функции f (x). Вообще, квадратурные формулы Гаусса с большим числом узлов целесообразно применять лишь для функций, обладающих значительной гладкостью.Другое важное наблюдение состоит в том, что в выражении (2.142)числитель (n!)4 (b − a)2n+1 числового коэффициента с ростом n можетбыть сделан сколь угодно меньшим знаменателя ((2n)!)3 (2n + 1). В са-1862.
Численные методы анализамом деле, знаменатель можно грубо оценить снизу как33(2n)! (2n + 1) = (2n + 1) n! · (n + 1) · · · 2n> (2n + 1) n! · n!)3 = (2n + 1) (n!)6 .По этой причине(n!)41(b − a)2n+1 <(b − a)2n+1 ,32(2n+1)(n!)(2n)! (2n + 1)и при увеличении n выражение справа может быть сделано сколь угодно малым, так как факториал n! становится, в конце концов, неограниченно бо́льшим значений показательной функции с любым основанием.Как следствие, если производные подинтегральной функции не растут «слишком быстро» с увеличением порядка, то с ростом числа узлов и гладкости интегрируемой функции порядок точности квадратурных формул Гаусса может быть сделан сколь угодно высоким. В этомквадратуры Гаусса принципиально отличаются, к примеру, от интерполяции с помощью сплайнов, которая сталкивается с ограничениемна порядок сходимости, не зависящим от гладкости исходных данных(стр.
100). Таким образом, квадратурные формулы Гаусса дают примерненасыщаемого численного метода, порядок точности которого можетбыть сделан любым в зависимости от того, насколько гладкими являются входные данные для этого метода.В заключение темы следует сказать, что на практике нередко требуется включение во множество узлов квадратурной формулы какихлибо фиксированных точек интервала интегрирования, например, егоконцов (одного или обоих), либо каких-то выделенных внутренних точек.
С другой стороны, при этом мы готовы пожертвовать некоторымснижением алгебраической степень точности (и без того весьма высокой для формул Гаусса). В этом случае основная идея формул Гауссатакже может быть с успехом применена к построению квадратурныхформул, что приводит к квадратурам Маркова [3, 13, 56, 59] (которыеиногда называются также квадратурами Лобатто [2, 38]).Построение квадратурных формул Гаусса основывалось на оптимизации алгебраической степени точности квадратур. Эта идея можетбыть модифицирована и приспособлена к другим ситуациям, когда точность результата для алгебраических полиномов уже не являются наиболее адекватным мерилом качества квадратурной формулы. Например, можно развивать квадратуры наивысшего тригонометрического1872.14.
Составные квадратурные формулыпорядка точности, которые окажутся практичнее при вычислении интегралов от осциллирующих функций [59].2.14Составные квадратурные формулыРассмотренные выше квадратурные формулы дают приемлемую погрешность в случае, когда длина интервала интегрирования [a, b] невелика и подинтегральная функция имеет на нём не слишком большиепроизводные. Но если величина (b − a) относительно велика или интегрируемая функция имеет большие производные, то погрешность вычисления интеграла делается значительной и неприемлемо для практики. Тогда для получения требуемой точности вычисления интегралаприменяют составные квадратурные формулы, основанные на разбиении интервала интегрирования на подинтервалы меньшей длины, покаждому из которых вычисляется значение «элементарной квадратуры», а затем искомый интеграл приближается их суммой.22Зафиксируем некоторую квадратурную формулу.
Будем также считать, что её погрешность R(f ) имеет оценку|R(f )| ≤ C(b − a)p ,где C — константа, зависящая от типа квадратурной формулы и интегрируемой функции, p — целое положительное число, причём в любом случае p > 1. К примеру, для формулы средних прямоугольниковC = M2 /24 и p = 3, а для формулы Симпсона C = M4 /2880 и p = 5.Разобьём интервал интегрирования точками r1 , r2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
