1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Кроме того, поскольку√1 113>·√ =,2263то x1 и x2 действительно лежат на интервале [a, b]. В целом мы вывеликвадратурную формулу ГауссаZbb−a· f (x1 ) + f (x2 ) ,2f (x) dx =a(2.136)где узлы x1 и x2 определяются посредством (2.135).Пример 2.13.1 Вычислим с помощью полученной выше формулыГаусса с двумя узлами (2.136) интегралZπ/2cos x dx,0точное значение которого согласно формуле Ньютона-Лейбница равноsin(π/2) − sin 0 = 1.
В соответствии с (2.135) и (2.136) имеем√ √ !Z π/23π3ππππ/2+ cos· cos−+cos x dx ≈246 246 20= 0.998473.1762. Численные методы анализаФормула Ньютона-Котеса с двумя узлами 0 и π/2 — формула трапеций — даёт для этого интеграла значениеZπ/20cos x dx ≈π π= 0.785398,· cos 0 + cos22точность которого весьма низка.Чтобы получить с формулами Ньютона-Котеса точность вычисления рассматриваемого интеграла, сравнимую с той, что даёт формула Гаусса, приходится брать больше узлов.
Так, формула Симпсона(2.120), использующая три узла — 0, π/4 и π/2, — приводит к результатуZ0π/2cos x dx ≈=πππ/2 · cos 0 + 4 cos + cos642√ π1 + 2 2 = 1.00228,12погрешность которого по порядку величины примерно равна погрешности ответа по формуле Гаусса (2.136), но всё-таки превосходит её вполтора раза.С ростом n сложность системы уравнений (2.131) для узлов и весовформул Гаусса быстро нарастает, так что в общем случае не вполнеясно, будет ли она иметь вещественные решения при любом наперёдзаданном n. Кроме того, решения системы (2.131), соответствующиеузлам, должны быть различны и принадлежать интервалу интегрирования [a, b].Получение ответов на поставленные вопросы непосредственно изсистемы уравнений (2.131) в принципе возможно (см.
учебник [10], Глава XVI, §9), но оно является громоздким и несколько искусственным.Мы рассмотрим другое, более элегантное решение задачи построенияформул Гаусса, которое основано на расчленении общей задачи на отдельные подзадачи1) построения узлов формулы и2) вычисления её весовых коэффициентов.Зная узлы формулы, можно подставить их в систему уравнений (2.131),которая в результате решительно упростится, превратившись в систему линейных алгебраических уравнений относительно c1 , c2 , . . .
, cn .1772.13. Квадратурные формулы ГауссаОна будет переопределённой, но нам достаточно рассматривать подсистему из первых n уравнений, матрица которой является матрицейВандермонда относительно узлов x1 , x2 , . . . , xn . Решение этой подсистемы даст искомые веса квадратурной формулы Гаусса. Можно показать, что они будут также удовлетворять оставшимся n уравнениямсистемы (2.131) (см., к примеру, [10]).Другой способ решения подзадачи 2 — вычисление весовых коэффициентов по формулам (2.127), путём интегрирования коэффициентовинтерполяционного полинома Лагранжа. В этом случае мы пользуемся тем фактом, что конструируемая квадратурная формула Гаусса оказывается квадратурной формулой интерполяционного типа.
Это прямоследует из Теоремы 2.12.1, коль скоро формула Гаусса, построенная поn узлам, является точной для полиномов степени не менее n − 1. Детали этого построения и конкретные выкладки читатель может найти, кпримеру, в [3].2.13вВыбор узлов для квадратурныхформул ГауссаТеорема 2.13.1 Квадратурная формула (2.130)Z bnXf (x) dx ≈ck f (xk )ak=1имеет алгебраическую степень точности (2n − 1) тогда и толькотогда, когда(а) она является интерполяционной квадратурной формулой;(б) её узлы x1 , x2 , .
. . , xn суть корни такого полиномаω(x) = (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ),чтоZbω(x) q(x) dx = 0aдля любого полинома q(x) степени не выше (n − 1).ВыражениеZabω(x) q(x) dx(2.137)1782. Численные методы анализа— интеграл от произведения двух функций, уже встречалось нам в§2.10г. Мы могли видеть, что на пространстве L2 [a, b] всех интегрируемых с квадратом функций оно задаёт скалярное произведение, т. е.симметричную билинейную и положительно определённую форму. Поэтой причине утверждение Теоремы 2.13.1 часто формулируют так: длятого, чтобы квадратурная формулаZ bnXf (x) dx ≈ck f (xk ),ak=1построенная по n узлам x1 , x2 , .
. . , xn , имела алгебраическую степеньточности (2n − 1), необходимо и достаточно, чтобы эта формула былаинтерполяционной, а её узлы являлись корнями полинома ω(x), который в смысле L2 [a, b] с единичным весом ортогонален любому полиномустепени не выше (n − 1).Доказательство. Необходимость.
Пусть рассматриваемая квадратурная формула имеет алгебраическую степень точности (2n − 1), т. е. точна на полиномах степени (2n − 1). Таковым является, в частности, полином ω(x) q(x), имеющий степень не выше n + (n − 1), если степеньq(x) не превосходит (n − 1). Тогда справедливо точное равенствоZ bnXω(x) q(x) dx =ck ω(xk ) q(xk ) = 0,ak=1поскольку все ω(xk ) = 0. Так как этот результат верен для любогополинома q(x) степени не выше n − 1, то отсюда следует выполнениеусловия (б).Справедливость условия (а) следует из Теоремы 2.12.1: если построенная по n узлам квадратурная формула (2.130) является точной длялюбого полинома степени не менее n − 1, то она — интерполяционная.Достаточность.
Пусть имеется полином ω(x) степени n, имеющий nразличных корней на интервале [a, b] и удовлетворяющий условию ортогональности (2.137) с любым полиномом q(x) степени не выше (n−1).Покажем, что интерполяционная квадратурная формула, построеннаяпо узлам x1 , x2 , .
. . , xn , которые являются корнями ω(x), будет точнана полиномах степени 2n − 1.Пусть f (x) — произвольный полином степени 2n − 1. Тогда последеления его на ω(x) получим представлениеf (x) = ω(x) q(x) + r(x),(2.138)1792.13. Квадратурные формулы Гауссагде q(x) и r(x) — соответственно частное и остаток от деления f (x)на ω(x). При этом полином q(x) имеет степень (2n − 1) − n = n − 1, астепень полинома-остатка r(x) по определению меньше степени ω(x),т. е. не превосходит n − 1. ОтсюдаZbf (x) dx =aZbω(x) q(x) dx +aZbr(x) dx =aZbr(x) dx(2.139)aв силу сделанного нами предположения об ортогональности ω(x) всемполиномам степени не выше n − 1.Но по условиям теоремы рассматриваемая квадратурная формула является интерполяционной и построена по n узлам.
Поэтому онаявляется точной на полиномах степени n − 1 (см. Теорему 2.12.1), вчастности, на полиноме r(x). Следовательно,Zbr(x) dx =anXck r(xk ) =nXck f (xk ),k=1=nXk=1ck ω(xk ) q(xk ) + r(xk )в силу равенств ω(xk ) = 0поскольку имеет место (2.138).k=1Итак, сравнивая результаты этой выкладки с (2.139), будем иметьZabf (x) dx =nXck f (xk ),k=1т. е. исследуемая квадратурная формула действительно является точной на полиномах степени 2n − 1.Подведём промежуточные итоги. Процедура построения квадратурных формул Гаусса разделена нами на две отдельные задачи нахождения узлов и вычисления весов.
В свою очередь, узлы квадратурнойформулы, как выясняется, можно взять корнями некоторых специальных полиномов ω(x), удовлетворяющих условию (б) из Теоремы 2.13.1.В этих полиномах легко угадываются знакомые нам из §2.11 ортогональные полиномы, которые являются полиномами Лежандра для случая [a, b] = [−1, 1] или соответствующим образом преобразованы из нихдля любого другого интервала интегрирования [a, b].1802.13г2. Численные методы анализаПрактическое применение формул ГауссаОтдельное нахождение узлов и весов формул Гаусса для каждогоконкретного интервала интегрирования [a, b] является весьма трудозатратным, и если бы нам нужно было проделывать эту процедуру всякий раз при смене интервала [a, b], то практическое применение формулГаусса значительно потеряло бы свою привлекательность.
Естественная идея состоит в том, чтобы найти узлы и веса формул Гаусса длякакого-то одного «канонического» интервала, а затем получать их длялюбого другого интервала с помощью несложных преобразований.В качестве канонического интервала интегрирования обычно берут[−1, 1], т. е.
именно тот интервал, для которого строятся ортогональныеполиномы Лежандра. Этот интервал также удобен симметричностьюотносительно нуля, которая позволяет более просто использовать свойство симметрии узлов и весовых коэффициентов квадратурной формулы. В §2.11 мы указали рецепт построения из полиномов Лежандраполиномов, ортогональных с единичным весом, для любого интервалавещественной оси.
Этой техникой и нужно воспользоваться в данномслучае.Еслиx = 12 (a + b) + 21 (b − a) y,(2.140)то переменная x будет пробегать интервал [a, b], когда y изменяется в[−1, 1]. Обратное преобразование даётся формулойy=12x − (a + b) .b−aВ частности, пусть yi , i = 1, 2, . . .
, n, — корни полинома Лежандра,которые согласно Предложению 2.11.2 все различны и лежат на интервале [−1, 1]. Тогда узлы квадратурной формулы Гаусса для интервалаинтегрирования [a, b] сутьxi = 12 (a + b) + 21 (b − a) yi ,i = 1, 2, . . . , n.(2.141)Все они также различны и лежат на интервале интегрирования [a, b].Далее, веса ck любой интерполяционной квадратурной формулы могут быть выражены в виде интегралов (2.127). В случае формул Гаусса(когда узлы нумеруются с единицы) они принимают видZ bφk (x) dx,k = 1, 2, .
. . , n,ck =a1812.13. Квадратурные формулы Гауссагде φk (x) — k-ый базисный полином Лагранжа (см. стр. 54), построенный по узлам (2.141):φi (x) =(x − x1 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn ).(xi − x1 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )Тогда, выполняя замену переменных (2.140), получимdx = d 12 (a + b) + 21 (b − a) y = 12 (b − a) dy,и потомуck =Zbφk (x) dx =a12 (b− a)Z1φk (y) dy,k = 1, 2, . . . , n,−1где φk (y) — k-ый базисный полином Лагранжа, построенный по узламyi , i = 1, 2, . . . , n, которые являются корнями n-го полинома Лежандра.Получается, что веса квадратурной формулы Гаусса для произвольного интервала интегрирования [a, b] вычисляются простым умножениемвесов для канонического интервала [−1, 1] на множитель 21 (b − a) —радиус интервала интегрирования.Для интервала [−1, 1] узлы квадратурных формул Гаусса (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
