1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. ортогонального или почти ортогонального, базиса для среднеквадратичного приближения функций является оченьважной задачей. Для её конструктивного решения можно воспользоваться, к примеру, известным из курса линейной алгебры процессомортогонализации Грама-Шмидта или его модификациями (см. §3.7е).Напомним, что по данной конечной линейно независимой системе векторов v1 , v2 ,. . . , vn этот процесс строит ортогональный базис q1 , q2 , . . . ,qn линейной облочки векторов v1 , v2 ,. . . , vn . Его расчётные формулытаковы:(2.103)q1 ← v1 ,qk ← vk −k−1Xi=1hvk , qi iqi ,hqi , qi ik = 2, . . .
, n.(2.104)Иногда получающийся ортогональный базис дополнительно нормируют.В задаче среднеквадратичного приближения, рассмотренной в предшествующем §2.10г, ортогонализуемые элементы линейного пространства — это функции, а их скалярное произведение — интеграл (2.101).По этой причине процесс ортогонализации (2.103)–(2.104) довольно трудоёмок, а конкретный вид ортогональных в смысле L2 [a, b] функций,которые получатся в результате, зависит, во-первых, от интервала [a, b],для которого рассматривается скалярное произведение (2.101), и, вовторых, от весовой функции ̺(x).Для частного случая единичного веса, когда ̺(x) = 1, мы можемсущественно облегчить свою задачу, если найдём семейство ортогональных функций для какого-нибудь одного, канонического, интервала[α, β].
Для любого другого интервала [a, b] затем воспользуемся формулой линейной замены переменной y = sx + r со специальным образомподобранными константами r, s ∈ R, s 6= 0. Тогда x = (y − r)/s, и для1402. Численные методы анализаa = sα + r, b = sβ + r имеем равенствоZβα1f (x) g(x) dx =sZabfy − r y − r gdy,ssсправедливое в силу формулы замены переменных в определённом интеграле. Из него вытекает, что равный нулю интеграл по каноническому интервалу [α, β] останется нулевым и при линейной замене переменных.
Как следствие, получающиеся при такой замене функцииf (y − r)/s и g (y − r)/s переменной y будут ортогональны на [a, b].Рассмотрим среднеквадратичное приближение функций полиномами. В этом случае в качестве канонического интервала обычно берётся[−1, 1], и произвольный интервал [a, b] можно получить с помощью замены переменныхy = 12 (b − a) x + 12 (a + b).Ясно, что переменная y пробегает интервал [a, b], если x ∈ [−1, 1]. Обратное преобразование даётся формулойx=12y − (a + b) ,b−aкоторая позволяет построить ортогональные в смысле L2 [a, b] полиномы для любого интервала [a, b] ⊂ R, зная их для [−1, 1].Полиномами Лежандра называют семейство полиномов Ln (x), зависящих от неотрицательного целого параметра n, которые образуютна интервале [−1, 1] ортогональную систему относительно скалярногопроизведения (2.101) с простейшим весом ̺(x) = 1.
Они были введеныв широкий оборот французским математиком А. Лежандром в 1785 году. Из общей теории скалярного произведения в линейных векторныхпространствах следует, что такие полиномы существуют и единственны с точностью до постоянного множителя. Нормирование полиномовЛежандра обычно выполняют различными способами, подходящимидля той или иной задачи.Применяя к степеням 1, x, x2 , x3 , . . .
последовательно формулыортогонализации (2.103)–(2.104) со скалярным произведением (2.101)на интервале [−1, 1], получим1,x,x2 − 13 ,x3 −35x,...(2.105)(два первых полинома оказываются изначально ортогональными).1412.11. Полиномы ЛежандраЧасто в качестве альтернативного представления для полиномовЛежандра используют формулу РодригаLn (x) =ndn 21x −1 ,nn2 n! dxn = 0, 1, 2, . . . .(2.106)Очевидно, что функция Ln (x), определяемая этой формулой, являетсяалгебраическим полиномом n-ой степени со старшим коэффициентом,не равным нулю, так как при n-кратном дифференцировании полинома(x2 − 1)n = x2n − nx2(n−1) + . . . + (−1)n степень понижается в точностина n.
Коэффициент 1/(2n n!) перед производной в (2.106) взят с тойцелью, чтобы удовлетворить условию Ln (1) = 1. Всюду далее посредством Ln (x) мы будем обозначать полиномы Лежандра, определяемыеформулой (2.106).Предложение 2.11.1 Полиномы Ln (x), n = 0, 1, . . ., задаваемые формулой Родрига (2.106), ортогональны друг другу в смысле скалярногопроизведения на L2 [−1, 1] с единичным весом. Более точно,0,если m 6= n,Z 1Lm (x)Ln (x) dx =2−1, если m = n.2n + 1Доказательство. Обозначаяψ(x) = (x2 − 1)n ,можно заметить, что для производных порядка k = 0, 1, . .
. , n − 1 отψ(x) справедливо равенствоψ (k) (x) =ndk 2x −1 =0kdxпри x = ±1.Это следует из зануления множителей (x2 − 1), присутствующих вовсех слагаемых выражений для ψ (k) (x), k = 0, 1, . . . , n − 1. Кроме того,в силу формулы Родрига (2.106)Ln (x) =1ψ (n) (x),2n n!n = 0, 1, 2, . . . .Поэтому, если Q(x) является n раз непрерывно дифференцируемойфункцией на [−1, 1], то, последовательно применяя n раз формулу ин-1422.
Численные методы анализатегрирования по частям, получимZ 1Z 11Q(x) Ln (x) dx = nQ(x) ψ (n) (x) dx2 n! −1−1=Z 111 (n−1) − 1Q(x)ψ(x)Q′ (x) ψ (n−1) (x) dxn n!2n n!2−1−1=−1n2 n!=···Z1Q′ (x) ψ (n−1) (x) dx−11= (−1) n2 n!nZ1Q(n) (x) ψ(x) dx.(2.107)−1Если Q(x) — любой полином степени меньше n, то его n-ая производная Q(n) (x) равна тождественному нулю, а потому из полученнойформулы тогда следуетZ 1Q(x) Ln (x) dx = 0.−1В частности, это верно и в случае, когда вместо Q(x) берётся полиномLm (x) степени m, меньшей n, что доказывает ортогональность этихполиномов с разными номерами.Найдём теперь скалярное произведение полинома Лежандра с самим собой.
Если Q(x) = Ln (x), тоQ(n) (x) =n(2n)!d2n 2x −1 = n .2ndx2 n!По этой причине из (2.107) следуетZ 1Z 1(2n)!Ln (x) Ln (x) dx = (−1)n n 2ψ(x) dx(2 n!) −1−1=(2n)!(2n n!)2Z1−1(1 − x2 )n dx.1432.11. Полиномы ЛежандраЕсли обозначитьZZ 12 n(1 − x ) dx =Zn =1−1−1(1 − x2 )(1 − x2 )n−1 dx,то нетрудно найти, чтоZ 1ZZn =(1 − x2 )n−1 dx −−11−1= Zn−1 −Z1−1x2 (1 − x2 )n−1 dxx2 (1 − x2 )n−1 dx.Интегрируя по частям вычитаемое в последнем выражении, получимZ 1Z 1122 n−1x (1 − x )dx = −x d(1 − x2 )n2n −1−1=−Z 111 11x(1 − x2 )n +Zn .(1 − x2 )n dx =2n2n2n−1−1Комбинируя эти результаты, будем иметь Zn = Zn−1 −Zn =12n Zn ,откуда2nZn−1 .2n + 1Для нахождения числового значения Zn учтём, чтоZ 1Z 11 dx = 2.(1 − x2 )0 dx =Z0 =−1Тогда Z1 = 2 ·23−1и т. д., так чтоZn = 22 · 4 · . .
. · (2n − 2) · 2n.3 · 5 · . . . · (2n − 1) · (2n + 1)Окончательно, скалярное произведение Ln (x) на себя равно1 · 2 · 3 · . . . · 2n2(2n)!Zn =Zn =.(2n n!)2(2 · 4 · 6 · . . . · 2n)22n + 1Это завершает доказательство предложения.1442.11б2. Численные методы анализаОсновные свойства полиномов ЛежандраВыпишем первые полиномы Лежандра, как они даются формулойРодрига (2.106):L0 (x) = 1,L1 (x) = x,L2 (x) = 21 (3x2 − 1),L3 (x) = 12 (5x3 − 3x),(2.108)L4 (x) = 18 (35x4 − 30x2 + 3),L5 (x) = 81 (63x5 − 70x3 + 15x),···.Они с точностью до множителя совпадают с результатом ортогонализации Грама-Шмидта (2.105).
Графики полиномов (2.108) изображенына Рис. 2.19, и они похожи на графики полиномов Чебышёва. В одном существенном моменте полиномы Лежандра всё же отличаютсяот полиномов Чебышёва: абсолютные значения локальных минимумови максимумов на [−1, 1] у полиномов Лежандра различны и не могутбыть сделаны одинаковыми ни при каком масштабировании.Тем не менее, сходство полиномов Лежандра и полиномов Чебышёва подтверждает следующееПредложение 2.11.2 Все нули полиномов Лежандра Ln (x) вещественны, различны и находятся на интервале [−1, 1].Доказательство. Предположим, что среди корней полинома Ln (x),лежащих на [−1, 1], имеется s штук различных корней θ1 , θ2 , .
. . , θsнечётной кратности α1 , α2 , . . . , αs , так чтоLn (x) = (x − θ1 )α1 (x − θ2 )α2 · · · (x − θs )αs γ(x),где в полиноме γ(x) присутствуют корни Ln (x), не лежащие на [−1, 1],а также те корни Ln (x) из [−1, 1], которые имеют чётную кратность.Таким образом, γ(x) уже не меняет знака на интервале [−1, 1]. Ясно,что s ≤ n, и наша задача — установить равенство s = n.1452.11.
Полиномы Лежандра10.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−1−1−0.8−0.6−0.4−0.200.20.40.60.81Рис. 2.19. Графики первых полиномов Лежандра на интервале [−1.2, 1.2].Рассмотрим интегралZ 1Ln (x) (x − θ1 )(x − θ2 ) · · · (x − θs ) dxI=−1=Z1−1(x − θ1 )α1 +1 (x − θ2 )α2 +1 · · · (x − θs )αs +1 γ(x) dx.Теперь α1 +1, α2 +1, . . . , αs +1 — чётные числа, так что подинтегральноевыражение не меняет знак на [−1, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
