1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это выражение равно нулю лишьв конечном множестве точек, и потому определённо I 6= 0.С другой стороны, выражение для I есть скалярное произведение,в смысле L2 [−1, 1], полинома Ln (x) на полином (x−θ1 )(x−θ2 ) · · · (x−θs )степени не более n − 1, если выполнено условие s < n. Следовательно,в силу свойств полиномов Лежандра при этом должно быть I = 0.Полученное противоречие может быть снято только в случае s = n,т. е. когда равенство I = 0 невозможно. При этом все корни полиномаLn (x) различны и лежат на интервале [−1, 1].Отметим, что проведённое доказательство легко модифицируетсядля скалярных произведений вида (2.101) с достаточно произвольными1462.
Численные методы анализавесовыми функциями ̺(x). Кроме того, тот факт, что интервал интегрирования есть [−1, 1], также нигде не использовался в явном виде.Фактически, это доказательство годится даже для бесконечных пределов интегрирования. Оно показывает, что корни любых ортогональныхв смысле L2 полиномов вещественны и различны.Можно доказать также, что нули полинома Лежандра Ln (x) перемежаются с нулями полинома Ln+1 (x). Наконец, аналогично полиномам Чебышёва, нули полиномов Лежандра также сгущаются к концаминтервала [−1, 1].Ещё одно интересное свойство полиномов Лежандра, задаваемыхпосредством формулы Родрига (2.106):Ln (1) = 1,Ln (−1) = (−1)n ,n = 0, 1, 2, .
. . .Кроме того, справедливо рекуррентное представление(n + 1)Ln+1 (x) = (2n + 1) xLn (x) − nLn−1 (x).Доказательство этих свойств можно найти, например, в книгах [28, 56].Последняя формула даёт практически удобный способ вычисления значений полиномов Лежандра, так как в их явном представлении (2.108)коэффициенты растут экспоненциально быстро в зависимости от номера полинома и, как следствие, прямые вычисления с ними могут датьбольшую погрешность.Введём так называемые приведённые полиномы Лежандра L̃n (x),старший коэффициент у которых равен единице.
Чтобы получить явное представление для L̃n (x), в формуле Родрига (2.106) достаточнопоставить перед 2n-ой производной множитель, которыйn компенсирует коэффициенты при старшем члене полинома x2 −1 , возникающиев процессе n-кратного дифференцирования. ПолучаемL̃n (x) ==ndn 21x −1n2n (2n − 1) · · · (n + 1) dxndn 2n!x −1 ,n(2n)! dx(2.109)n = 1, 2, . .
. . Как и исходная формула Родрига, выражение после второго равенства имеет также смысл при n = 0, если под производнойнулевого порядка от функции понимать её саму.1472.11. Полиномы ЛежандраПредложение 2.11.3 Среди всех полиномов степени n, n ≥ 1, состаршим коэффициентом, равным 1, полином L̃n (x) имеет на интервале [−1, 1] наименьшее среднеквадратичное отклонение от нуля.Иными словами, если Qn (x) — полином степени n со старшим коэффициентом 1, тоZ 1Z 122(2.110)L̃n (x) dx.Qn (x) dx ≥−1−1Доказательство. Если Qn (x) = xn + an−1 xn−1 + . .
. + a1 x + a0 , то дляотыскания наименьшего значения выраженияZ 12Qn (x) dxJ (a0 , a1 , . . . , an−1 ) =−1=Z1(2.111)(xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 )2 dx−1продифференцируем этот интеграл по коэффициентам a0 , a1 , . . . , an−1и приравняем полученные производные к нулю. Так как в данных условиях дифференцирование интеграла по параметру, от которого зависитподинтегральная функция, сводится к взятию интеграла от её производной, то имеем в результатеZ 1∂J=2 xn + an−1 xn−1 + .
. . + a1 x + a0 xk dx∂ak−1= 2Z1−1Qn (x) xk dx = 0,k = 0, 1, . . . , n − 1.(2.112)То, что в точке, удовлетворяющей условиям (2.112), в самом деледостигается минимум, следует из рассмотрения матрицы вторых производных (гессиана) функции J (a0 , a1 , . . . , an−1 ), образованной элементамиZ 1∂2J= 2xk xl dx.∂ak ∂al−1Интеграл в правой части выписанного равенства — это не что иное какудвоенное скалярное произведение в L2 [−1, 1] с единичным весом функций xk и xl .
Получающаяся матрица Грама положительно определенав силу линейной независимости степеней xk , k = 0, 1, . . . , n − 1.1482. Численные методы анализаНо условия (2.112) означают, что полином Qn (x) ортогонален всмысле L2 [−1, 1] всем полиномам меньшей степени. Следовательно, приминимальном значении интеграла (2.111) полином Qn (x) обязан совпадать с n-ым полиномом Лежандра.Для построения полинома, который имеет наименьшее среднеквадратичное отклонение от нуля на произвольном интервале [a, b] можновоспользоваться линейной заменой переменной и затем масштабированием, аналогично тому, как это было сделано для полиномов Чебышёвав §2.3б. Сказанное следует из того, что при линейной замене переменных получаются полиномы, ортогональные на [a, b] с единичным весом(это отмечалось в начале §2.11а).Помимо полиномов Лежандра существуют и другие семейства ортогональных полиномов, широко используемые в теории и практическихвычислениях.
В частности, введённые в §2.3 полиномы Чебышёва образуют семейство полиномов, ортогональных на интервале [−1, 1] с весом(1 − x2 )−1/2 .Часто возникает необходимость воспользоваться ортогональнымиполиномами на бесконечных интервалах [0, +∞] или даже [−∞, ∞].Естественно, единичный вес ̺(x) = 1 тут малопригоден, так как с ниминтегралы по бесконечным интервалам окажутся, по большей части,расходящимися. Полиномы, ортогональные на интервалах [0, +∞] или2[−∞, ∞] с быстроубывающими весами e−x и e−x называются полиномами Лагерра и полиномами Эрмита соответственно.18 Они такженаходят многообразные применения в задачах приближения, и болееподробные сведения на эту тему читатель может почерпнуть в [28, 66].2.12Численное интегрирование2.12аПостановка и обсуждение задачиЗадача вычисления определённого интегралаZbf (x) dx(2.113)a18 Иногда их называют также полиномами Чебышёва-Лагерра и ЧебышёваЭрмита (см., к примеру, [42, 66]), поскольку они были известны ещё П.Л.Чебышёву.1492.12.
Численное интегрированиеявляется одной из важнейших математических задач, к которой сводится большое количество различных вопросов теории и практики. Этонахождение площадей криволинейных фигур, центров тяжести и моментов инерции тел, работы переменной силы и т. п. механические, физические, химические и другие задачи. В математическом анализе обосновывается формула Ньютона-ЛейбницаZ bf (x) dx = F (b) − F (a),(2.114)aгде F (x) — первообразная для функции f (x), т. е. такая, что F ′ (x) =f (x). Она даёт удобный способ вычисления интегралов, который в значительной степени удовлетворяет потребности решения подобных задач. Тем не менее, возникают ситуации, когда для вычисления интеграла (2.113) требуются другие подходы.Задачей численного интегрирования называют задачу нахожденияопределённого интеграла (2.113) на основе знания значений функцииf (x), без привлечения её первообразных и формулы Ньютона-Лейбница(2.114).
Подобная задача нередко возникает на практике, например, если подинтегральная функция f (x) задана таблично, т. е. своими значениями в дискретном наборе точек, а не аналитической формулой. Внекоторых случаях численное нахождение интеграла приходится выполнять потому, что первообразная для интегрируемой функции невыражается через элементарные функции. Но даже если эта первообразная может быть найдена в конечном виде, её вычисление не всегдаосуществляется просто (длинное и неустойчивое к ошибкам округлениявыражение и т.
п.). Все эти причины вызывают необходимость развития численных методов для нахождения определённых интегралов.Для нахождения интегралов наибольшее распространение в вычислительной практике получили формулы видаZ bnXf (x) dx ≈ck f (xk ),(2.115)ak=0где ck — некоторые постоянные коэффициенты, xk — точки из интервала интегрирования [a, b], k = 0, 1, . . . , n. Подобные формулы называютквадратурными формулами,19 коэффициенты ck — это весовые коэфи19 «Квадратура» в оригинальном смысле, восходящем ещё к античности, означалапостроение квадрата, равновеликого заданной фигуре.
Но в эпоху Возрожденияэтот термин стал означать вычисление площадей фигур.1502. Численные методы анализа?xРис. 2.20. Вычисление определённого интеграла необходимо принахождении площадей фигур с криволинейными границамициенты или просто веса́ квадратурной формулы, а точки xk — её узлы.В многомерном случае аналогичные приближённые равенстваZDf (x) dx ≈nXck f (xk ),k=0где xk ∈ D ⊂ Rm ,D — область в Rm , m ≥ 2,называют кубатурными формулами.
Естественное условие принадлежности узлов xk области интегрирования вызвано тем, что за её пределами подинтегральная функция может быть просто не определена, как,например, arcsin x вне интервала [−1, 1].Тот факт, что квадратурные и кубатурные формулы являются линейными выражениями от значений интегрируемой функции в узлах,объясняется линейным характером зависимости самого интеграла отподинтегральной функции. С другой стороны, квадратурные формулы можно рассматриваеть как обобщения интегральных сумм Римана(через которые интеграл Римана и определяется).
Так, простейшие составные квадратурные формулы прямоугольников просто совпадают сэтими интегральными суммами.Как и ранее, совокупность узлов x0 , x1 , . . . , xn квадратурной (кубатурной) формулы называют сеткой. РазностьR(f ) =Zabf (x) dx −nXk=0ck f (xk )1512.12. Численное интегрированиеназывается погрешностью квадратурной формулы или её остаточнымчленом. Это число, зависящее от подинтегральной функции f , в отличие от остаточного члена интерполяции, который является ещё функцией точки (см. §2.2д).Если для некоторой функции f или же для целого класса функцийF ∋ f имеет место точное равенствоZ bnXck f (xk ),f (x) dx =ak=0то будем говорить, что квадратурная формула точна (является точной) на f или для класса функций F.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
