1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 28
Текст из файла (страница 28)
по этому поводу также [3, 24, 38, 70]).(n)Можно видеть, что с ростом n значения коэффициентов Котеса Bkв зависимости от номера k начинают всё сильнее и сильнее «осциллировать» (напоминая в чём-то пример Рунге, стр. 87). Результатом этогоявляется то необычное и противоестественное обстоятельство, что среди весов формул Ньютона-Котеса при числе узлов n = 8, 10 и бо́льшихвстречаются отрицательные.
Это снижает ценность соответствующихформул, так как при интегрировании знакопостоянных функций можетприводить к вычитанию близких чисел и потере точности.Уже в XX веке выяснилось, что отмеченный недостаток типичендля формул Ньютона-Котеса высоких порядков. В 1930 году Р.О. Кузьминполучил в работе [51] асимптотические формулы для коэффициентовКотеса21, из которых следует, что сумма их модулей, т. е.nXk=0(n)|Bk |,неограниченно возрастает с ростом n. Отсюда вытекает, во-первых, чтопогрешности вычислений с формулами Ньютона-Котеса могут быть21 Помимо оригинальной статьи Р.О.
Кузьмина [51] эти асимптотические формулыможно также увидеть в учебнике [20].1692.12. Численное интегрированиеТаблица 2.2. Коэффициенты Котесаn12345678910k=0116187901928841840751172809892835028578960016067598752k=1146381645259693535771728058382835015741896001063005987521638215251449280132317280928− 2835010808960048525− 598752181645251443410529891728010496283501934489600272400598752790259692802989172804540− 28350577889600− 26055059875219288935132317280104962835057788960042736859875241840357717280928− 283501934489600− 2605505987527511728058382835010808960027240059875298928350157418960048525− 598752285789600106300598752k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8k=916067598752k = 10сколь угодно велики (см.
§2.12а). Во-вторых, так как дополнительноnXk=0n(n)Bk=1 X (n)1Ak =b−ab−ak=0Zb1 dx = 1,a(n)то при достаточно больших n среди коэффициентов Bk обязательнодолжны быть как положительные, так и отрицательные. Доказательство упрощённого варианта этого результата можно найти в [28].Общую теорию квадратурных формул Ньютона-Котеса вместе стщательным исследованием их погрешностей читатель может увидеть,к примеру, в книгах [3, 20, 56]. Следует сказать, что формулы Ньютона-1702. Численные методы анализаКотеса высоких порядков не очень употребительны.
Помимо отмеченной выше численной неустойчивости они проигрывают по точности результатов на одинаковом количестве узлов формулам Гаусса (изучаемым далее в §2.13) и другим квадратурным формулам.Из популярных квадратурных формул Ньютона-Котеса приведёмещё формулу «трёх восьмых», которая получается при замене подинтегральной функции интерполяционным полиномом 3-й степени:Zab a + 2b 2a + b b−af (x) dx ≈+ 3f+ f (b) . (2.129)· f (a)+ 3f833Её погрешность оценивается как|R(f )| ≤M4 (b − a)5,6480где M4 = maxx∈[a,b] |f (4) (x)|. Порядок точности этой формулы — такойже, как и у формулы Симпсона.
Вообще, можно показать, что формулы Ньютона-Котеса с нечётным числом узлов, один из которых приходится на середину интервала интегрирования, имеют (как формулаСимпсона) повышенный порядок точности [1, 3, 20].2.12еМетод неопределённыхкоэффициентовПусть требуется вычислить интегралZbf (x) dx,aдля которого мы ищем приближение в видеZabf (x) dx ≈nXck f (xk ),k=0с заданными узлами x0 , x1 , . . .
, xn . Весовые коэффициенты ck можнонайти из условия зануления погрешности этого равенства для какогото «достаточно представительного» набора несложно интегрируемыхфункций fi (x), i = 1, 2, . . . . Каждое отдельное равенство является уравнением на неизвестные c0 , c1 , . . . , cn , и потому, выписав достаточное1712.13.
Квадратурные формулы Гауссачисло подобных уравнений и решив полученную систему, мы сможемопределить желаемые веса, т. е. построить квадратурную формулу. Вэтом — суть метода неопределённых коэффициентов. Он идейно похож,таким образом, на метод неопределённых коэффициентов для построения формул численного дифференцирования из §2.8в.В качестве пробных функций fp (x), p = 1, 2, . . . часто берут алгебраические полиномы. Для равномерно расположенных узлов при этомполучаются знакомые нам квадратурные формулы Ньютона-Котеса.Продемонстрируем работу метода неопределённых коэффициентовдля тригонометрических полиномов1,sin(px),cos(px),p = 1, 2, . .
. .2.13Квадратурные формулы Гаусса2.13аЗадача оптимизации квадратурПараметрами квадратурной формулы (2.115)Zabf (x) dx ≈nXck f (xk )k=0являются узлы xk и весовые коэффициенты ck , k = 0, 1, . . . , n. Однако,строя квадратурные формулы Ньютона-Котеса, мы заранее задавалиположение узлов, равномерное на интервале интегрирования, и потомпо ним находили веса. Таким образом, возможности общей формулы(2.115) были использованы не в полной мере, поскольку для достижения наилучших результатов можно было бы управлять ещё и положением узлов.
Лишь в формуле средних прямоугольников положениеединственного узла было выбрано из соображений симметрии, и этопривело к существеному улучшению точности. Напомним для примера, что специальное неравномерное расположение узлов интерполяциипо корням полиномов Чебышёва существенно улучшает точность интерполирования (см. §2.3).Здесь, правда, возникает весьма важный методический вопрос: какизмерять это «улучшение» квадратурной формулы? Что брать критерием её точности? В идеальном случае желательно было бы минимизировать погрешность квадратурной формулы для тех или иных классов функций, но в такой общей постановке задача делается довольно1722. Численные методы анализасложной (хотя и не неразрешимой).
Один из возможных естественныхответов на поставленный вопрос состоит в том, чтобы в качестве меры того, насколько хороша и точна квадратурная формула, брать еёалгебраическую степень точности (см. Определение 2.12.1).Как следствие, сформулированную в начале этого параграфа задачу оптимизации узлов можно поставить, к примеру, следующим образом: для заданного фиксированого числа узлов из интервала интегрирования нужно построить квадратурную формулу, которая имеет наивысшую алгебраическую степень точности, т.
е. является точной на полиномах наиболее высокой степени. Нетривиальное решениеэтой задачи действительно существует, и формулы наивысшей алгебраической степени точности называются квадратурными формуламиГаусса, поскольку впервые они были рассмотрены в начале XIX векаК.Ф.
Гауссом.Далее для удобства мы будем записывать квадратурные формулыГаусса не в виде (2.115), а какZabf (x) dx ≈nXck f (xk ),(2.130)k=1нумеруя узлы с k = 1, а не с нуля. Требование точного равенства длялюбого полинома степени m в этой формуле в силу её линейности эквивалентно тому, что формула является точной для одночленов f (x) = xl ,l = 0, 1, 2, . .
. , m, т. е.Z bnXxl dx =ck xlk ,l = 0, 1, 2, . . . , m,ak=1илиnXk=1ck xlk =1bl+1 − al+1 ,l+1l = 0, 1, 2, . . . , m.(2.131)Это система из (m + 1) нелинейных уравнений с 2n неизвестными величинами c1 , c2 , . . . , cn , x1 , x2 , . . . , xn . Число уравнений совпадает счислом неизвестных при m + 1 = 2n, т. е. m = 2n − 1, и это, вообщеговоря, есть максимальное возможное значение для m.
При бо́льшихзначениях m система уравнений (2.131) переопределена и в случае общего положения оказывается неразрешимой.Сделанное заключение можно обосновать строго.1732.13. Квадратурные формулы ГауссаПредложение 2.13.1 Алгебраическая степень точности квадратурной формулы, построенной по n узлам, не может превосходить 2n−1.Доказательство. Пусть x1 , x2 , . . . , xn — узлы квадратурной формулы(2.130). Рассмотрим интегрирование по интервалу [a, b] функции2g(x) = (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) ,которая является полиномом степени 2n.
Если квадратурная формула(2.130) точна для g(x), тоnXck g(xk ) =nXk=1k=1ck · 0 = 0,тогда как значение интеграла от g(x) очевидно не равно нулю. Подынтегральная функция g(x) всюду на [a, b] положительна за исключениемлишь конечного множества точек — узлов x1 , x2 , . . . , xn , и поэтомуRbg(x) dx > 0.aПолученное противоречие показывает, что квадратурная формула(2.130) не является точной для полиномов степени 2n.Итак, наивысшая алгебраическая степень точности квадратурнойформулы, построенной по n узлам, в общем случае может быть равна2n−1. Для двух узлов это 3, при трёх узлах имеем 5, и т. д. Для сравнения напомним, что алгебраические степени точности формул трапецийи Симпсона, построенных по двум и трём узлам соответственно, равнывсего 1 и 3.
При возрастании числа узлов этот выигрыш в алгебраической степени точности формул Гаусса, достигаемый за счёт разумногорасположения узлов, нарастает.2.13бПростейшие квадратуры ГауссаПерейдём к построению квадратурных формул Гаусса. При небольших n система уравнений (2.131) для узлов и весов может быть решенас помощью несложных аналитических преобразований.Пусть n = 1, тогда m = 2n − 1 = 1, и система уравнений (2.131)принимает вид(c1 = b − a,c1 x1 =1 22 (b− a2 ).1742.
Численные методы анализаОтсюдаc1 = b − a,x1 =1 2(b − a2 ) = 12 (a + b).2c1Как легко видеть, получающаяся квадратурная формула — это формула (средних) прямоугольниковZ ba+b f (x) dx ≈ (b − a) · f.2aНам в самом деле известно (см. §2.12б), что она резко выделяется своейточностью среди родственных квадратурных формул.Пусть n = 2, тогда алгебраическая степень точности соответствующей квадратурной формулы равна m = 2n − 1 = 3. Система уравнений(2.131) для узлов и весов принимает видc1 + c2 = b − a, c1 x1 + c2 x2 = 21 (b2 − a2 ),c1 x21 + c2 x22 =c1 x31 + c2 x32 =1 33 (b1 44 (b− a3 ),− a4 ).Она обладает определённой симметрией: одновременная перемена местами x1 с x2 и c1 с c2 оставляет систему неизменной.
По этой причине,учитывая вид первого уравнения, будем искать решение, в которомc1 = c2 . Это даётc1 = c2 = 12 (b − a),и из первого и второго уравнений тогда получаемx1 + x2 = a + b.(2.132)Отсюда после возведения в квадрат имеемx21 + 2x1 x2 + x22 = a2 + 2ab + b2 .(2.133)В то же время, с учётом найденных значений c1 и c2 из третьего уравнения системы следуетx21 + x22 = 23 (b2 + ab + a2 ),2.13. Квадратурные формулы Гаусса175и, вычитая это равенство из (2.133), будем иметьx1 x2 = 61 (b2 + 4ab + a2 ).(2.134)Соотношения (2.132) и (2.134) на основе известной из элементарнойалгебры теоремы Виета позволяют сделать вывод, что x1 и x2 являютсякорнями квадратного уравненияx2 − (a + b) x + 16 (b2 + 4ab + a2 ) = 0,так что√13x1,2 = (a + b) ±(b − a).(2.135)26Удовлетворение полученными решениями четвёртого уравнения системы проверяется прямой подстановкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
