1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 31
Текст из файла (страница 31)
. , rN −1 на N равных частей [a, r1 ], [r1 , r2 ], . . . , [rN −1 , b] длины h = (b − a)/N . Тогда,пользуясь аддитивностью интеграла, можно вычислить по рассматриваемой формуле интегралыZ ri+1f (x) dx,i = 0, 1, . . . , N − 1,riгде r0 = a, b = rN , а затем положитьZabf (x) dx ≈N−1 Z ri+1Xi=0f (x) dx.(2.143)ri22 Интересно, что при этом подинтегральная функция интерполируется на всёминтервале интегрирования [a, b] при помощи сплайна.1882.
Численные методы анализаРис. 2.24. Составная квадратурная формула трапецийНа каждом подинтервале [ri , ri+1 ]pb−a= Chp ,|R(f )| ≤ CNа полная погрешность интегрирования R̃(f ) при использовании представления (2.143) не превосходит суммы погрешностей отдельных слагаемых, т. е.pC(b − a)pb−a|R̃(f )| ≤ N C== C(b − a)hp−1 .NN p−1Как видим, эта погрешность уменьшилась в N p−1 раз, и потенциально таким способом погрешность вычисления интеграла можно сделатьсколь угодно малой.Число (p−1) часто называют порядком точности (составной) квадратурной формулы, и это понятие очевидно согласуется с данным ранееОпределением 2.8.1. Ясно, что основная идея составных квадратурныхформул работает и в случае неравномерного разбиения интервала интегрирования на более мелкие части, но анализ погрешности проводитьтогда труднее.Для равномерного разбиения интервала интегрирования составныеквадратурные формулы выглядят особенно просто.
Выпишем их явный вид для рассмотренных выше простейших квадратур НьютонаКотеса и разбиения интервала интегрирования [a, b] на N равных частей [r0 , r1 ], [r1 , r2 ], . . . , [rN −1 , rN ] длины h = (b − a)/N каждая, в котором a = r0 и rN = b.1892.14. Составные квадратурные формулыСоставная формула (средних) прямоугольниковZbaf (x) dx ≈ hNXf (ri−1/2 ),i=1где ri−1/2 = ri − h/2. Её полная погрешность|R̃(f )| ≤ M2(b − a)h2,24т. е. она имеет второй порядок точности.
Эта формула, как нетрудновидеть, совпадает с интегральной суммой Римана для интеграла отf (x) по интервалу [a, b].Составная формула трапецийZabf (x) dx ≈ h12 f (a)+N−1Xi=1f (ri ) + 12 f (b) .Её полная погрешность|R̃(f )| ≤ M2(b − a)h2,12т. е. порядок точности тоже второй.Составная формула Симпсона (парабол)Zabf (x) dx ≈Nh Xf (ri−1 ) + 4f (ri−1/2 ) + f (ri ) ,6 i=1где ri−1/2 = ri − h/2.
Её полная погрешность|R̃(f )| ≤ M4(b − a)h4,2880т. е. формула имеет четвёртый порядок точности.Аналогично можно сконструировать составные квадратурные формулы Гаусса, но мы не будем здесь развёртывать детали этого построения. Отметим также, что идея разбиения области интегрирования наболее мелкие части для повышения точности вычисления интегралаприменима и кубатурным формулам, т. е. при вычислении многомерных интегралов.1902.
Численные методы анализаВ составных квадратурных формулах увеличение точности вычисления интеграла достигается ценой дополнительных трудозатрат. Врассмотренном нами одномерном случае эти трудозатраты растут всеголишь линейно, хотя и здесь необходимость вычисления сложной подинтегральной функции может иногда быть весьма обременительной. Нопри возрастании размерности интеграла, когда необходимо прибегнутьк составным кубатурным формулам, рост трудозатрат делается ужезначительным, имея тот же порядок, что и размерность пространства.Так же растёт и погрешность суммирования результатов интегрирования по отдельным подобластям общей области интегрирования.
Поэтому эффект увеличения точности составной формулы при возрастанииразмерности становится всё менее ощутимым.2.15Сходимость квадратурС теоретический точки зрения интересен вопрос о сходимости квадратур при неограниченном возрастании числа узлов. Иными словами,верно ли, чтоZ bnXck f (xk ) →f (x) dxak=0при n → ∞ (здесь узлы и веса квадратурных формул нумеруются снуля)?Похожий вопрос вставал при исследовании интерполяционного процесса, и мы обсуждали его в §2.5.
Но в случае квадратурных формулпомимо бесконечной треугольной матрицы узлов(1)x0 (2) x 0 (3) x 0...(n)0(2)x1(3)x1...(3)x2......······ ,··· ...(2.144)(n)(n)таких что xk лежат на интервале интегрирования [a, b] и xi 6= xjпри i 6= j, необходимо задавать ещё и треугольную матрицу весовых1912.15. Сходимость квадратуркоэффициентов квадратурных формул (1)c0 (2) (2) cc1 0 (3) (3) (3) cc2c1 0............···0··· .··· ...(2.145)В случае задания бесконечных треугольных матриц (2.144)–(2.145), покоторым организуется приближённое вычисление интегралов на последовательности сеток, будем говорить, что на интервале [a, b] для функции f определён квадратурный процесс.Определение 2.15.1 Квадратурный процесс, задаваемый зависящимот целочисленного параметра n семейством квадратурных формулZ bnX(n)(n) n = 0, 1, 2, .
. . ,f (x) dx ≈ck f xk ,ak=0которые определяются матрицами узлов и весов (2.144)–(2.145), будем называть сходящимся для функции f (x) на интервале [a, b], еслиZ bnX(n)(n) =f (x) dx,ck f xklimn→∞k=0aт. е. если при неограниченном возрастании числа узлов n предел результатов квадратурных формул равен точному интегралу от функции f по [a, b].Необходимо оговориться, что в практическом плане вопрос о сходимости квадратур решается положительно с помощью составных формул, рассмотренных в предыдущем §2.14. Для достаточно общих функций путём построения составной квадратурной формулы всегда можно добиться сходимости приближённого значения интеграла к точному (для составной формулы прямоугольников это следует из самогоопределения интегрируемости по Риману).
Обсуждаемый ниже кругвопросов относится больше к теоретическим качествам тех или иных«чистых» квадратурных формул, их предельному поведению.Весьма общие достаточные условия для сходимости квадратур былисформулированы и обоснованы В.А. Стекловым [65], а впоследствииД. Пойа [75] доказал также необходимость условий Стеклова.1922. Численные методы анализаТеорема 2.15.1 (теорема Стеклова-Пойа) Квадратурный процесс, порождаемый матрицами узлов и весов (2.144)–(2.145), сходится длялюбой непрерывной на [a, b] функции тогда и только тогда, когда(1) этот процесс сходится для полиномов,(2) суммы абсолютных значений весов равномерно по nограничены, т. е.
существует такая константа C,чтоnX (n) c ≤ Ck(2.146)k=0для всех n = 0, 1, 2, . . . .Покажем достаточность условий теоремы Стеклова-Пойа. С этойцелью, задавшись каким-то ǫ > 0, найдём полином PN (x), который равномерно с погрешностью ǫ приближает непрерывную подинтегральнуюфункцию f (x) на рассматриваемом интервале [a, b]. Существование такого полинома обеспечивается теоремой Вейерштрасса (см. §2.5). Далеепреобразуем выражение для остаточного члена квадратурной формулы:Rn (f ) ===ZZZnXbf (x) dx −ababa(n) (n)ck f xkk=0f (x) − PN (x) dx +Zbaf (x) − PN (x) dx+ZabPN (x) dx −+nXk=0PN (x) dx −nX(n)ck PNk=0(n)cknXk=0!(n) xk(n) PN xk(n) (n)ck f xk(n) − f xk.Отдельные слагаемые полученной суммы, расположенные выше в различных строчках, оцениваются при достаточно больших номерах n сле-1932.15.
Сходимость квадратурдующим образом:Z b f (x) − PN (x) dx ≤ ǫ (b − a), так как PN (x) приближает f (x) aравномерно с погрешностью ǫна интервале [a, b],Zn bX(n) (n)ck PN xk ≤ ǫ, так как квадратурыPN (x) dx − ak=0сходятся на полиномах,nnXX (n) (n) (n)(n) c ≤ ǫCck PN xk − f xk ≤ ǫkk=0в силу (2.146).k=0Поэтому в целом, если n достаточно велико, имеем|Rn (x)| ≤ ǫ (b − a + 1 + C).Это и означает сходимость рассматриваемого квадратурного процесса.Доказательство необходимости условия теоремы Стеклова-Пойа помимо оригинальной статьи [75] можно найти также в книгах [3, 28].В формулировке теоремы фигурирует величинаnX ck ,(2.147)k=0— сумма абсолютных значений весов, которая, как мы видели в §2.12а,является коэффициентом увеличения погрешности в данных и играет очень важную роль при оценке качества различных квадратурныхформул.
В §2.12д уже упоминался результат Р.О. Кузьмина [51] о том,что для формул Ньютона-Котеса величина (2.147) неограниченно увеличивается с ростом числа узлов n. Как следствие, на произвольныхнепрерывных функциях эти квадратурные формулы сходимостью необладают.Для квадратурных формул Гаусса ситуация другая. СправедливоПредложение 2.15.1 Весовые коэффициенты квадратурных формулГаусса положительны.1942. Численные методы анализаck0.030.020.01k04896Рис. 2.25. Зависимость весовых коэффициентовот номера для квадратуры Гаусса 96-го порядкаДоказательство. Ранее мы уже выводили для весов интерполяционных квадратурных формул выражение (2.127).
Зафиксировав индексi ∈ {1, 2, . . . , n}, дадим другое явное представление для весового коэффициента ci квадратурной формулы Гаусса, из которого и будет следовать доказываемое предложение.Пусть x1 , x2 , . . . , xn — узлы квадратурной формулы Гаусса на интервале интегрирования [a, b]. Так как формулы Гаусса имеют алгебраическую степень точности 2n − 1, то для полинома2Πi (x) = (x − x1 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn )степени 2(n − 1) должно выполняться точное равенствоZbΠi (x) dx =anXck Πi (xk ).(2.148)k=1Но Πi (xk ) = δik по построению полинома Πi , так что от суммы справав (2.148) остаётся лишь одно слагаемое ci Πi (xi ):ZbΠi (x) dx = ci Πi (xi ).aСледовательно,ci =ZbΠi (x) dxa.Πi (xi ).Далее, Πi (x) > 0 всюду на интервале интегрирования [a, b] за исключением конечного числа точек, и потому положителен интеграл в2.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
