1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

[48, 62]). Выбор различных норм (т. е. различных мер отклоненияфункций друг от друга) и различных классов функций обуславливаетогромное разнообразие задач теории приближения.2.10бСуществование и единственностьрешения задачи приближенияНекоторые свойства решения задачи наилучшего приближения функций можно вывести уже из абстрактной формулировки. В частности,это касается существования решения, а также единственности решенияпри некоторых дополнительных условиях на норму.Предложение 2.10.1 Пусть X — нормированное линейное пространство, а U — его конечномерное линейное подпространство.

Тогда длядля любого f ∈ X существует элемент наилучшего приближенияu ∈ U.Доказательство. Пусть размерность U равна m. Зафиксировав некоторый базис φ1 , φ2 , . . . , φm подпространства U , введём функциюmXaj φj .r(a1 , a2 , . . . , am ) = f −j=1Предложение будет доказано, если мы обоснуем тот фкат, что функцияr : Rm → R достигает своего наименьшего значения на Rm .Прежде всего покажем, что функция r непрерывно зависит от своих1282. Численные методы анализааргументов: r(b1 , b2 , . .

. , bm ) − r(a1 , a2 , . . . , am ) mm XXaj φj bj φj − f −≤ f −j=1j=1 mmXXbj − aj kφj k(bj − aj )φj ≤≤ j=1j=1≤ max bj − aj ·1≤j≤mmXj=1kφj k.Следовательно, при bj → aj разность между r(b1 , b2 , . . . , bm ) и r(a1 , a2 ,. . . , am ) также будет стремиться к нулю.Следующим шагом доказательства продемонстрируем, что функция r(x) может достигать своего минимума лишь на некотором подмножестве всего пространстве Rm , которое к тому же компактно.Элемент наилучшего приближения, вообще говоря, может быть неединственным.

Но при определённых условиях мы можем гарантировать его единственность, опираясь лишь на свойства пространства X.Нормированное пространство X с нормой k·k называют строго нормированным, если для произвольных x, y ∈ X из равенства kx + yk =kxk + kyk следует существование такого скаляра α ∈ R, что y = αx.Иными словами, в таком пространстве равенство в неравенстве треугольника возможно лишь для коллинеарных векторов.Пример 2.10.1 Строго нормированнымпространством является R2p22с евклидовой нормой kxk2 = x1 + x2 .

Но нормы kxk1 = |x1 | + |x2 |и kxk∞ = max{|x1 |, |x2 |} на R2 , которые эквивалентны норме k · k2(см. §3.3б), не порождают строго нормированное пространство.Предложение 2.10.2 Пусть X — строго нормированное линейноепространство, а U — его конечномерное линейное подпространство.Тогда для для любого f ∈ X элемент его наилучшего приближенияu ∈ U единствен.1292.10. Приближение функцийДоказательство. Предположим, что для элемента f существуют дванаилучших приближенияu′ =mXu′i φiиu′′ =mXu′′i φi ,(2.91)i=1i=1которые определяются наборами коэффициентов (u′1 , u′2 , . . . , u′m ) и (u′′1 ,u′′2 , . . .

, u′′m ) разложения по базису φi , i = 1, 2, . . . , m. При этомmmXX′′′ui φi = µ ≥ 0,ui φi = f −f −i=1i=1где µ — величина наименьшего отклонения f от u′ и u′′ .Возьмём середину отрезка прямой, соединяющей u′ и u′′ , т. е. точку,у которой компоненты разложения по векторам φi , равны 12 (u′i + u′′i ).Имеем mmm1XXX1′′′′′′1(u+u)φ+=uφuφf−f−f −iiiiiii222i=1i=1i=1mmXX 11′′′≤ f −ui φi + f −ui φi = µ.22i=1i=1Строгого неравенства здесь быть не может, что очевидно для µ = 0,а для µ > 0 означало бы существование элемента, приближающего fлучше, чем два элемента наилучшего приближения u′ и u′′ . Поэтомунеобходимо должно выполняться равенство mm1XX1′′′ui φi +ui φi f−f−22i=1i=1=mmXX 11′′′f −uφuφ+f−i ii i .22i=1i=1Но если рассматриваемое пространство — строго нормированное, то изполученного равенства следует!mmXX′′′(2.92)ui φiui φi = α f −f−i=1i=11302.

Численные методы анализадля некоторого вещественного α.В случае, когда α 6= 1, получаемf =mX1(u′ − αu′′i ) φi ,·1 − α i=1 iт. е. f точно представляется в виде линейной комбинации базисных векторов φi . Тогда µ = 0, и в силу единственности разложения по базисудолжно быть u′i = u′′i .

Следовательно, для f в действительности существует всего лишь одно наилучшее приближение.В остающемся случае α = 1 для выполнения равенства (2.92) необходимо u′i = u′′i , и тогда два элемента наилучшего приближения (2.91)также должны совпадать.2.10вЗадача приближенияв евклидовом пространствеРассмотрим подробно важный частный случай задачи о наилучшемприближении (2.90), в котором• класс F — линейное нормированное пространство функций, накотором задано скалярное произведениеh·, ·i, и с его помощьюpнорма в F определяется как kf k = hf, f i,• класс функций G ⊆ F, из которого выбирается искомый элемент наилучшего приближения, является конечномерным подпространством в F.Напомним, что вещественное конечномерное линейное векторноепространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовыми пространством.

Бесконечномерное линейное векторное пространство со скалярным произведением называют гильбертовым пространством, если выполнено дополнительное условие полноты, т. е. если всякая фундаментальная последовательность относительно нормы, порождённой этим скалярным произведением, имеет врассматриваемом пространстве предел [12, 16]. Евклидовы пространства — это пространства с привычной нам геометрией, а гильбертовыпространства являются их ближайшим обобщением.В условиях постановки задачи, описанной в начале раздела, будемпредполагать, что известен {ϕj }mj=1 — базис m-мерного линейного подпространства G ⊆ F. Мы ищем приближение g для элемента f ∈ F в1312.10.

Приближение функцийвидеg=mX(2.93)cj ϕj .j=1где cj , j = 1, 2, . . . , m — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Если через Φ обозначить квадрат нормы отклонения f от g,то имеемΦ = kf − gk2 = hf − g, f − gi= hf, f i − 2hf, gi + hg, gi= hf, f i − 2mXj=1cj hf, ϕj i +mm XXj=1 k=1cj ck hϕj , ϕk i.(2.94)Как видим, Φ есть квадратичная форма от аргументов c1 , c2 , . . . , cmплюс ещё некоторые линейные члены относительно cj и постоянноеслагаемое hf, f i. Её особенностью является то обстоятельство, что длявсех значений аргументов функция Φ принимает только неотрицательные значения. Покажем, что онаp достигает своего минимума.Пусть ШR = { x ∈ Rm | x21 + x22 + . . .

+ x2m ≤ R} — замкнутыйшар радиуса R с центром в нуле относительно евклидова расстояния.Рассмотрим поведение minc∈ШR Φ(c) в зависимости от R. Ясно, что приувеличении R значение этого минимума не возрастает, но, в действительности, оно также не может уменьшаться, начиная с некоторого R.В самом деле, после приведения к «главным осям» квадратичнаяформа в составе Φ обязательно должна получить вид суммы квадратов с положительными коэффициентами, так как иначе вся Φ была бынеограниченной снизу. Но сумма квадратов неограниченно возрастаетпри увеличении расстояния аргумента c = (c0 , c1 , . .

. , cm ) до нуля, причём растёт быстрее линейных членов. Следовательно, при достаточнобольших значениях R его увеличение уже не окажет никакого влияния на minc∈ШR Φ(c). В формальных терминах можно сказать, чтосуществует R̃ > 0, такое что при всех R ≥ R̃ величина minc∈ШR Φ(c)остаётся неизменной. Поэтому мы можем определённо утверждать, чтоminc∈Rm Φ(c) находится в шаре ШR̃ .

В силу компактности множестваШR̃ это означает, что min Φ(c) действительно достигается в некоторойконечной точке из Rm .Для определения минимума функции Φ продифференцируем её по1322. Численные методы анализаcj , j = 1, 2, . . . , m, и приравняем полученные производные к нулю:mX∂Φ= −2hf, ϕj i + 2ck hϕj , ϕk i = 0.∂cj(2.95)k=1Множитель 2 при сумме всех ck hϕj , ϕk i появляется оттого, что в двойной сумме из выражения (2.94) слагаемое с cj возникает дважды: одинраз с коэффициентом hϕj , ϕk i, а другой раз — с коэффициентом hϕk , ϕj i.В целом, из равенств (2.95) для определения cj получаем системулинейных алгебраических уравненийmXk=1hϕj , ϕk i ck = hf, ϕj i,Матрица её коэффициентовhϕ1 , ϕ1 i hϕ , ϕ i 2 1Γ(ϕ1 , ϕ2 , . .

. , ϕm ) = ...hϕm , ϕ1 i(2.96)j = 1, 2, . . . , m.hϕ1 , ϕ2 ihϕ2 , ϕ2 i............hϕ1 , ϕm ihϕ2 , ϕn i ...(2.97)hϕm , ϕ2 i . . . hϕm , ϕm iназывается, как известно, матрицей Грама системы векторов ϕ1 , ϕ2 ,. . . , ϕm . Из курса линейной алгебры и аналитической геометрии читателю должно быть известно, что матрица Грама — это симметричнаяматрица, неособенная тогда и только тогда, когда векторы ϕ1 , ϕ2 , . .

. ,ϕm линейно независимы (см., к примеру, [34]). При выполнении этогоусловия матрица Грама является ещё и положительно определённой.Таким образом, решение задачи наилучшего приближения в евклидовом пространстве существует и единственно, если ϕ1 , ϕ2 , . .

. , ϕm образуют базис в подпространстве G.Обратимся к практическим аспектам реализации развитого вышеметода и обсудим свойства системы уравнений (2.96).Наиболее простой вид матрица Грама имеет в случае, когда базисные функции ϕj ортогональны друг другу, т. е. когда hϕj , ϕk i = 0 приj 6= k. При этом система линейных уравнений (2.96) становится диагональной и решается тривиально. Соответствующее наилучшее приближение имеет тогда вид суммыg=mXj=1cj ϕj ,где cj =hf, ϕj i, j = 1, 2, . .

Характеристики

Список файлов книги