1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Более точно,pесли скалярное произведение задаётся как (3.2) или(3.3), то kak2 = ha, ai. Иными словами, 2-норма является составнойчастью более богатой и содержательной структуры на пространствах2363. Численные методы линейной алгебрыRn и Cn , чем мы будем неоднократно пользоваться. Напомним такженеравенство Коши-Буняковского(3.20)|ha, bi| ≤ kak2 kbk2(см., к примеру, [7, 9, 14, 18, 22, 23, 40]).Нормы k · k1 и k · k2 — это частные случаи более общей конструкцииp-нормы!1/pnXдля p ≥ 1,|ai |pkakp =i=1которую называют также гёльдеровой нормой (по имени О.Л.
Гёльдера).Неравенство треугольника для неё имеет вид!1/p!1/p!1/pnnnXXXppp,| bi |+| ai |≤| ai + b i |i=1i=1i=1оно называется неравенством Минковского и имеет самостоятельноезначение в различных разделах математики [7, 14, 18, 50]. Чебышёвскаянорма также может быть получена из p-нормы с помощью предельногоперехода по p → ∞, что и объясняет индекс «∞» в её обозначении.В самом деле,!1/p np 1/pXp≤ n max |ai ||ai |= n1/p max |ai |.1≤i≤ni=11≤i≤nС другой стороны,nXi=1|ai |p!1/pтак что в целомmax |ai | ≤1≤i≤n≥max |ai |1≤i≤nnXi=1|ai |p!1/pp 1/p= max |ai |,1≤i≤n≤ n1/p max |ai |.1≤i≤nПри переходе в этом двойном неравенстве к пределу по p → ∞ оценкиснизу и сверху сливаются, и потому действительно!1/pnXp= max |ai |.|ai |limp→∞i=11≤i≤n2373.3.
Нормы векторов и матриц∞-норма2-норма1-нормаРис. 3.5. Шары единичного радиуса в различных нормах.В нормированном пространстве X шаром радиуса r с центром вточке a называется множество { x ∈ X | kx − ak ≤ r }. Геометрически наглядное представление о норме даётся её единичным шаром, т. е.множеством { x | kxk ≤ 1 }. На Рис. 3.5 нарисованы единичные шарыдля рассмотренных выше норм в R2 . Из аксиом нормы вытекает, чтоединичный шар любой нормы — это множество в линейном векторномпространстве, которое выпукло (следствие неравенства треугольника)и уравновешено, т. е.
инвариантно относительно умножения на любойскаляр α с |α| ≤ 1 (следствие абсолютной однородности).Нередко используются взвешенные (масштабированные) вариантынорм векторов, в выражениях для которых каждая компонента берётся с каким-то положительным весовым коэффициентом, отражающимего индивидуальный вклад в рассматриваемую модель. В частности,взвешенная чебышёвская норма определяется для положительного весового вектора (γ1 , γ2 , .
. . , γn ), γi > 0, какkak∞,γ = max | γi ai |.1≤i≤nЕё единичные шары — различные прямоугольные брусы с гранями, параллельными координатным осям, т. е. прямые произведения интервалов вещественной оси (см. Рис. 3.6). Они являются важнейшим частным случаем многомерных интервалов, и в связи с этим обстоятельством взвешенная чебышёвская норма популярна в интервальном анализе.Обобщением конструкции взвешенных норм может служить норма,связанная с некоторой фиксированной неособенной матрицей. Именно,2383. Численные методы линейной алгебрыx20x1Рис.
3.6. Шары единичного радиуса во взвешенных чебышёвских нормах.если k·k — какая-либо векторная норма в Rn или Cn , а S — неособеннаяn × n-матрица, то можно определить норму векторов как kxkS = kSxk.Нетрудно проверить, что все аксиомы векторной нормы удовлетворяются. Мы воспользуемся такой нормой ниже в §3.9б.3.3бТопология на векторных пространствахГоворят, что на множестве X задана топологическая структура,или просто топология 6 , если в X выделен класс подмножеств O, содержащий вместе с каждым набором множеств их объединение, и вместес каждым конечным набором множеств — их пересечение. Множество,снабжённое топологической структурой, называется топологическимпространством, а множества выделенного класса O — открытымимножествами. Подмножество топологического пространства называется замкнутым, если его дополнение открыто.Окрестностью точки в топологическом пространстве называетсявсякое открытое множество, содержащее эту точку.
Окрестностью подмножества топологического пространства называется всякое открытоемножество, содержащее это подмножество. Задание окрестностей точек и множеств позволяет определять близость одного элемента множества к другому, предельные переходы, сходимость и т. п. понятия.Топологическую структуру (топологию) можно задавать различными6 Топологией называется также математическая дисциплина, изучающая, главным образом, свойства объектов, инвариантные относительно непрерывных отображений (см., к примеру, [60]).3.3. Нормы векторов и матриц239способами, например, простым описанием того, какие именно множества считаются открытыми.В практике математического моделирования более распространенозадание топологии не сформулированным выше абстрактным способом, а при помощи функции расстояния (метрики) или же с помощьюразличных норм.
Преимущество этого пути состоит в том, что мы получаем в своё распоряжение количественную меру близости рассматриваемых объектов. При этом открытыми множествами считаются такиемножества, каждая точка которых принадлежит множеству вместе снекоторым шаром с центром в этой точке.Как известно, на нормированном пространстве X с нормой k · k расстояние (метрика) между элементами a и b может быть естественнозадано какdist (a, b) = ka − bk,т.
е. как «величина различия» элементов a и b. Непосредственной проверкой легко убедиться, что для введённой таким образом функцииdist : X × X → R+ выполняются все аксиомы расстояния (мы приводили их ранее на стр. 46). Таким образом, нормы будут нужны намкак сами по себе, для оценивания «величины» тех или иных объектов,так и для измерения «отклонения» одного вектора от другого. Крометого, задание нормы на некотором линейном векторном пространствеX автоматически определяет на нём и топологию, т. е.
запас открытыхи замкнутых множеств, структуру близости, с помощью которой можно будет, в частности, выполнять предельные переходы. Более точно,введём следующееОпределение 3.3.2 Говорят, что в нормированном пространстве Xс нормой k · k переменная a ∈ X сходится к пределу a⋆ по норме (относительно рассматриваемой нормы), если ka − a⋆ k → 0.Нормы в линейном векторном пространстве называются топологически эквивалентными (или просто эквивалентными), если эквивалентны порождаемые ими топологии, т. е.
любое открытое (замкнутое)относительно одной нормы множество является открытым (замкнутым) также в другой норме, и наоборот. При условии эквивалентностинорм, в частности, предельный переход в одной из них влечёт существование предела в другой, и обратно. Из математического анализаизвестен простой критерий эквивалентности двух норм (см., к примеру, [52]):2403. Численные методы линейной алгебрыПредложение 3.3.1 Нормы k · k′ и k · k′′ на линейном векторном пространстве X эквивалентны тогда и только тогда, когда существуюттакие положительные константы C1 и C2 , что для любых a ∈ XC1 kak′ ≤ kak′′ ≤ C2 kak′ .(3.21)Формулировка этого предложения имеет кажущуюся асимметрию,так как для значений одной из эквивалентных норм предъявляется двусторонняя «вилка» из значений другой нормы с подходящими множителями-константами. Но нетрудно видеть, что из (3.21) немедленно следует11kak′′ ≤ kak′ ≤kak′′ ,C2C1так что существование «вилки» для одной нормы автоматически подразумевает существование аналогичной «вилки» и для другой.
C1 и C2обычно называют константами эквивалентности норм k · k′ и k · k′′ .Содержательный смысл Предложения 3.3.1 совершенно прозрачен.Если C1 kak′ ≤ kak′′ , то в любой шар ненулевого радиса в норме k · k′′можно вложить некоторый шар в норме k · k′ . Если же kak′′ ≤ C2 kak′ ,то верно и обратное: в любой шар ненулевого радиуса относительнонормы k · k′ можно поместить какой-то шар ненулевого радиуса относительно нормы k · k′′ . Как следствие, множество, открытое относительноодной нормы, будет также открытым относительно другой, и наоборот.По этой причине одинаковыми окажутся запасы окрестностей любойточки, так что топологические структуры, порождаемые этими двумянормами, будут эквивалентны друг другу.Предложение 3.3.2 В векторных пространствах Rn или Cnkak2 ≤ kak1 ≤kak∞ ≤ kak2 ≤√n kak2 ,√n kak∞ ,1kak1 ≤ kak∞ ≤ kak1 ,nт.
е. векторные 1-норма, 2-норма и ∞-норма эквивалентны друг другу.Доказательство. Справедливость правого из первых неравенств следует из неравенства Коши-Буняковского (3.20), применённого к случаю3.3. Нормы векторов и матриц241b = (sgn a1 , sgn a2 , . . . , sgn an )⊤ . Для обоснования левого из первыхнеравенств заметим, что в силу определений 2-нормы и 1-нормыkak22 = |a1 |2 + |a2 |2 + . . . + |an |2 ,kak21 = |a1 |2 + |a2 |2 + . . . + |an |2+ 2 |a1 a2 | + 2 |a1 a3 | + .
. . + 2 |an−1 an |,и все слагаемые 2|a1 a2 |, 2|a1 a3 |, . . . , 2|an−1 an | неотрицательны. В частности, равенство kak22 = kak21 и ему равносильное kak2 = kak1 возможны лишь в случае, когда у вектора a все компоненты равны нулю заисключением одной.Обоснование остальных неравенств даётся следующими несложными выкладками:pkak2 = |a1 |2 + |a2 |2 + . .
. + |an |2p≥ maxi |ai |2 = maxi |ai | = kak∞ ,p|a1 |2 + |a2 |2 + . . . + |an |2p√√≤ n maxi |ai |2 = n maxi |ai | = n kak∞ ,kak2 =kak∞ = maxi |ai |≤ |a1 | + |a2 | + . . . + |an | = kak1 ,kak1 = |a1 | + |a2 | + . . . + |an |≤ n max |ai | ≤ n kak∞ .iНетрудно видеть, что все эти неравенства достижимые (точные).Доказанный выше вывод об эквивалентности конкретных норм является частным случаем общего результата математического анализа:в конечномерном линейном векторном пространстве все нормы топологически эквивалентны друг другу (см., к примеру, [20, 40, 50]). Носодержание Предложения 3.3.2 состоит ещё и в указании конкретныхконстант эквивалентности норм, от которых существенно зависят различные числовые оценки и вытекающие из них действия по численномурешению задач (условия остановки итераций и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
