1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

е. kAk, является подчинённой(операторной) нормой, так как такие нормы являются наименьшимииз всех согласованных матричных норм (см. §3.3г). Если предложениебудет обосновано для подчинённых матричных норм, то оно тем болеебудет верным для всех прочих норм матриц.Пусть k · k — векторная норма в Rn , которой подчинена наша матричная норма. Зададим в Rn ⊕ iRn норму векторов как k(x, y)⊤ k =kxk + kyk. Тогда ввиду (3.33) и с помощью рассуждений, аналогичных доказательству Предложения 3.3.6, нетрудно показать, что подчинённая матричная норма для A во множестве 2n × 2n-матриц естьkAk = max{kAk, kAk} = kAk.

Кроме того, теперь для A справедливырассуждения о связи нормы и спектрального радиуса, проведённые вначале доказательства для случае комплексной матрицы, т. е.ρ(A) = ρ(A) ≤ kAk = kAk.Это и требовалось доказать.Для симметричных и эрмитовых матриц спектральный радиус естьнорма, которая совпадает со спектральной матричной нормой k·k2 . Этоследует из Предложения 3.3.6 и того факта, что для симметричных иэрмитовых матриц сингулярные числа равны абсолютным значениямсобственных чисел.

Но для матриц общего вида спектральный радиусматричной нормой не является. Хотя для любого скаляра α справедливоρ(αA) = |α| ρ(A),т. е. спектральный радиус обладает абсолютной однородностью, аксиома неотрицательности матричной нормы (МН1) и неравенство треугольника (МН3) для него не выполняются.Во-первых, для ненулевой матрицы0101.... ..(3.34)0 10002613.3. Нормы векторов и матриц— жордановой клетки, отвечающей собственному значению 0, спектральный радиус равен нулю. Во-вторых, если A — матрица вида (3.34),то ρ(A⊤ ) = ρ(A) = 0, но ρ( A + A⊤ ) > 0.

Это вытекает из того, что симметричная матрица A + A⊤ — ненулевая, поэтому k A + A⊤ k2 > 0 и,как следствие, наибольший из модулей её собственных значений строгобольше нуля. Получается, что неверно «неравенство треугольника»ρ( A + A⊤ ) ≤ ρ(A) + ρ(A⊤ ).Тем не менее, спектральный радиус является важной характеристикойматрицы, которая описывает асимптотическое поведение её степеней.Предложение 3.3.10 Пусть A — квадратная матрица, вещественная или комплексная. Если limk→∞ Ak = 0, — степени матрицы Aсходятся к нулевой матрице, — то ρ(A) < 1, т. е. спектральный радиус матрицы A меньше 1.Доказательство. Пусть λ — собственное число матрицы A (возможно,комплексное), а v 6= 0 — соответствующий ему собственный вектор(который также может быть комплексным). Тогда Av = λv, и потомуA2 v = A(Av) = A(λv) = λ(Av) = λ2 v,A3 v = A(A2 v) = A(λ2 v) = λ2 (Av) = λ3 v,...так что в целом...,Ak v = (λk )v.(3.35)Если последовательность степеней Ak , k = 0, 1, 2, .

. . , сходится к нулевой матрице, то при фиксированном векторе v нулевой предел имеет ився левая часть выписанного равенства (3.35). Как следствие, к нулевому вектору должна сходиться и правая часть в (3.35), причём v 6= 0.Это возможно лишь в случае |λ| < 1.Ниже в §3.9б мы увидим, что условие ρ(A) < 1 является, в действительности, также достаточным для сходимости к нулю степенейматрицы A.Рассуждения, с помощью которых доказано Предложение 3.3.10,можно продолжить и несложно вывести весьма тонкие свойства спек-2623.

Численные методы линейной алгебрытрального радиуса. Возьмём от обеих частей равенства (3.35) какуюнибудь векторную норму: k A v = kλk vk.Поэтому kAk k kvk ≥ |λk | kvk для согласованной матричной нормы kAk,так что после сокращения на kvk 6= 0 получаем kA ≥ |λ|k для всех k = 0, 1, 2, . . . .По этой причине для любого собственного значения матрицы имеетместо оценка 1/k|λ| ≤ inf Ak ,k∈Nили, иными словами, 1/kρ(A) ≤ inf Ak .k∈N(3.36)Так как всякая матричная норма всегда согласована с какой-то векторной, то выведенное неравенство справедливо для любой матричнойнормы. Оно является обобщением Предложения 3.3.9, переходя в негопри k = 1.Уточнением неравенства (3.36) является формула Гельфанда 1/kρ(A) = lim Ak ,k→∞которая также верна для любой из матричных норм.

Её доказательствоможно найти, к примеру, в [50].Предложение 3.3.10, неравенство (3.36) и формула Гельфанда, показывают, что с помощью спектрального радиуса адекватно описываетсяасимпототическое поведение норм степеней матрицы. Несмотря на то,что матрица является сложным составным объектом, нормы её степеней ведут себя примерно так же, как геометрическая прогрессия сознаменателем, равным спектральному радиусу. Например, для n × nматрицы (3.34) или любой ей подобной n-ая степень зануляется, и этосвойство обнаруживается спектральным радиусом.3.3зМатричный ряд НейманаКак известно из математического анализа, операцию суммированияможно обобщить на случай бесконечного числа слагаемых, и такие бес-2633.3.

Нормы векторов и матрицконечные суммы называются рядами. При этом суммой ряда называется предел (если он существует) сумм конечного числа слагаемых, когда количество слагаемых неограниченно возрастает. Совершенно аналогичная конструкция применима также к суммированию векторов иматриц, а не только чисел. Именно, суммой матричного ряда∞XA(k) ,k=0где A(k) , k = 0, 1, 2, .

. . , — матрицыодного размера, мы будем называтьPN(k)предел частичных суммпри N → ∞. В этом определенииk=0 AA(k) могут быть и векторами.Предложение 3.3.11 Пусть X — квадратная матрица и kXk < 1 внекоторой матричной норме. Тогда матрица (I − X) неособенна, дляобратной матрицы справедливо представление(I − X)−1 =∞XX k,(3.37)1.1 − kXk(3.38)k=0и имеет место оценка(I − X)−1 ≤Фигурирующий в правой части равенства (3.37) аналог геометрической прогрессии для матриц называется матричным рядом Неймана.Доказательство. Покажем неособенность матрицы (I − X). Если этоне так, то (I − X) v = 0 для некоторого ненулевого вектора v.

ТогдаXv = v, и, беря от обеих частей этого равенства векторную норму,согласованную с матричной нормой, в которой kXk < 1 по условиюПредложения, мы получимkXk kvk ≥ kXvk = kvk.В случае, когда v 6= 0, можем сократить обе части полученного неравенства на положительную величину kvk, что даёт kXk ≥ 1.

Следовательно, при условии kXk < 1 и ненулевых v равенство (I − X) v = 0невозможно.2643. Численные методы линейной алгебрыОбозначим SN =Неймана. Коль скороPNk=0X k — частичную сумму матричного ряда N +p XkkSN +p − SN k = X ≤k=N +1= kXkN +1 ·N+pXk=N +1kX k k ≤N+pXk=N +1kXkk1 − kXkp→01 − kXkпри N → ∞ и любых целых положительных p, то последовательностьSN является фундаментальной (последовательностью Коши) в полномметрическом пространстве квадратных матриц с расстоянием, порождённым рассматриваемой нормой k · k. Следовательно, частичные суммы SN ряда Неймана имеют предел S = limN →∞ SN , причём(I − X)SN = (I − X)(I + X + X 2 + .

. . + X N ) = I − X N +1 → Iпри N → ∞, поскольку тогда kX N +1 k ≤ kXkN +1 → 0. Так как этотпредел S удовлетворяет соотношению (I − X)S = I, можем заключить,что S = (I − X)−1 .Наконец,∞∞∞XXX1,k(I − X)−1 k = Xk ≤kX k k ≤kXkk =1 − kXkk=0k=0k=0где для бесконечных сумм неравенство треугольника может быть обосновано предельным переходом по аналогичным неравенствам для конечных сумм. Это завершает доказательство Предложения.Матричный ряд Неймана является простейшим из матричных степенных рядов, т.

е. сумм вида∞Xck X kk=0где X — квадратная матрица и ck , k = 0, 1, 2, . . . , — счётный наборкоэффициентов. C помощью матричных степенных рядов можно определять значения аналитических функций от матриц (например, экспоненту, логарифм, синус, косинус и т. п. от матрицы), просто подстав-3.4. Приложения сингулярного разложения265ляя матрицу вместо аргумета в степенные разложения для соответствующих функций. Эта важная и интересная тема, находящая многочисленные приложения; подробности можно увидеть, к примеру, в[9, 11, 23, 26].3.4Приложения сингулярного разложения3.4аИсследование неособенности и ранга матрицРассмотренное в §3.2д сингулярное разложение матрицы может служить основой для вычислительных технологий решения многих важных математических задач.

Рассмотрим первой задачу об определениитого, особенна или неособенна матрица.Квадратная диагональная матрица неособенна тогда и только тогда, когда все её диагональные элементы не равны нулю. Из сингулярного разложения матрицы следует, что произвольная квадратнаяматрица неособенна тогда и только тогда, когда её сингулярные числа— ненулевые.Хотя определение особенности или неособенности матрицы обычно связывают с исследованием определителся этой матрицы, наиболеенадёжным в вычислительном отношении способом проверки особенности/неособенности является исследование именно сингулярных чиселматрицы.

Хотя эта процедура более трудоёмка, чем нахождение определителя, она гораздо более предпочтительна в силу существенно большей устойчивости к ошибкам. Кроме того, величина ненулевого определителя матрицы является неадекватным признаком того, насколькоблизка матрица к особенной: с помощью умножения матрицы на подходящее число ненулевое значение её определителя можно сделать любым, тогда как мера линейной независимости столбцов матрицы илиеё строк при этом никак не изменится.Рассмотрим теперь задачу о вычислении ранга матрицы.

Согласно определению, ранг — это количество линейно независимых векторстрок или вектор-столбцов матрицы, с помощью которых можно линейным комбинированием породить всю матрицу. Фактически, ранг — эточисло независимых параметров, задающих матрицу. При таком взгляде на ранг хорошо видна важность понятия ранга в задачах обработкиданных, когда нам необходимо выявить какие-то закономерности в числовых массивах, полученных в результате наблюдений или опытов.

Характеристики

Список файлов книги