1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 40
Текст из файла (страница 40)
п.).2423. Численные методы линейной алгебрыЛюбой вектор однозначно представляется своим разложением покакому-то фиксированному базису линейного пространства, или, иными словами, своими компонентами-числами в этом базисе. В связи сэтим помимо определённой выше сходимости по норме имеет смыслрассматривать «покомпонентную сходимость», при которой один вектор считается сходящимся к другому тогда и только тогда, когда всекомпоненты первого вектора сходятся к соответствующим компонентам второго.
Формализацией этих соображений являетсяОпределение 3.3.3 Говорят, что в линейном векторном пространстве X переменная a ∈ X сходится к пределу a⋆ покомпонентно (покомпонентным образом) относительно некоторого базиса, если приразложении a по этому базису для каждого индекса i имеет местосходимость соответствующей компоненты ai → a⋆i в R или C.Интересен вопрос о том, как соотносятся между собой сходимостьпо норме и сходимость всех компонент вектора.Предложение 3.3.3 В конечномерных линейных векторных пространствах сходимость по норме и покомпонентная сходимость векторов равносильны друг другу.Доказательство.
Пусть a — векторная переменная из n-мерного линейного пространства, и она сходится к пределу a⋆ в покомпонентномсмысле относительно базиса {ei }ni=1 . Тогда, разлагая a и a⋆ в этом базисе, получаемnnnXXX ⋆⋆⋆ ai − ai e i ka − a k = ai e i −ai e i = i=1≤i=1i=1nnXX(ai − a⋆i )ei =|ai − a⋆i | kei k.i=1i=1a⋆iдля любого индекса i = 1, 2, . . . , n,Как следствие, если ai сходятся кто и ka − a⋆ k → 0.Обратно, пусть имеет место сходимость a к a⋆ по норме. Из фактаэквивалентности различных норм следует существование такой положительной константы C, чтоmax |ai − a⋆i | = ka − a⋆ k∞ ≤ C ka − a⋆ k.i2433.3.
Нормы векторов и матрицПоэтому при ka − a⋆ k → 0 обязательно должна быть сходимость компонент ai к a⋆i для всех индексов i.Хотя сходимость по норме и покомпонентная сходимость равносильны друг другу, в различных ситуациях часто бывает удобнее воспользоваться какой-нибудь одной из них. Норма является одним числом,указывающим на степень близости к пределу, и работать с ней поэтомупроще. Но рассмотрение сходимости в покомпонентном смысле позволяет расчленить задачу на отдельные компоненты, что также нередкоупрощает рассмотрения.Введение на линейном пространстве нормы и, как следствие, задание топологической структуры позволяют говорить о непрерывноститех или иных отображений этого пространства в себя или в другиепространства.
Что можно сказать о непрерывности привычных и часто встречающихся отображений?Покажем непрерывность сложения и умножения на скаляр относительно нормы. Пусть a → a⋆ и b → b⋆ , так что ka − a⋆ k → 0 иkb − b⋆ k → 0. Тогдаk(a + b) − (a⋆ + b⋆ )k = k(a − a⋆ ) + (b − b⋆ )k ≤ ka − a⋆ k + kb − b⋆ k → 0,kαa − αa⋆ k = kα(a − a⋆ )k = |α| ka − a⋆ k → 0для любого скаляра α.Умножение на матрицу также непрерывно в конечномерном линейном векторном пространстве. Если A — m × n-матрица и b — такойn-вектор, что b → b⋆ , то, зафиксировав индекс i ∈ {1, 2, . .
. , m}, оценимразность i-ых компонент векторов Ab и Ab⋆ : nX⋆⋆⋆(Ab)i − (Ab )i = A(b − b ) = aij (bj − bj ) ij=1vuXu n 2≤ taijj=1vuXu nt(bj − b⋆j )2j=1в силу неравенства Коши-Буняковского. Поэтому (Ab)i → (Ab⋆ )i приb → b⋆ для любого номера i.2443.3в3. Численные методы линейной алгебрыМатричные нормыПомимо векторов основным объектом вычислительной линейной алгебре являются также матрицы. По этой причине нам будут нужныматричные нормы — для того, чтобы оценивать «величину» той илииной матрицы, а также для того, чтобы ввести расстояние между матрицами какdist (A, B) := kA − Bk,(3.22)где A, B — вещественные или комплексные матрицы.Множество матриц само является линейным векторным пространством, а матрица — это составной многомерный объект, в значительной степени аналогичный вектору. Поэтому вполне естественно прежде всего потребовать от матричной нормы тех же свойств, что и длявекторной нормы.
Формально, матричной нормой на множестве вещественных или комплексных m × n-матриц называют вещественнозначную функцию k · k, удовлетворяющую следующим условиям (аксиомамнормы):(МН1) kAk ≥ 0 для любой матрицы A, причём kAk = 0 ⇔ A = 0— неотрицательность,(МН2) kα Ak = |α| · kAk для любых матрицы A и α ∈ R или α ∈ C— абсолютная однородность,(МН3) kA + Bk ≤ kAk + kBk для любых матриц A, B— «неравенство треугольника».Но условия (МН1)–(МН3) выражают взгляд на матрицу, как на«вектор размерности m × n». Они явно недостаточны, если мы хотимучесть специфику матриц как объектов, между которыми определенатакже операция умножения. В частности, множество всех квадратныхматриц фиксированного размера наделено более богатой структурой,нежели линейное векторное пространство. Обычно в связи с ним используют уже термины «кольцо» или «алгебра», обозначающее множества с двумя взаимосогласованными бинарными операциями — сложением и умножением (см.
[23, 40]). Связь нормы матриц с операциейих умножения отражает четвёртая аксиома матричной нормы:(МН4) kABk ≤ kAk · kBk для любых матриц A, B2453.3. Нормы векторов и матриц— «субмультипликативность».7Особую ценность и в теории, и на практике представляют ситуации,когда нормы векторов и матриц, которые рассматриваются совместнодруг с другом, существуют не сами по себе, но в некотором смыслесогласованы друг с другом.
Речь идёт, прежде всего, об операциях вкоторые они вступают вместе друг с другом, т. е. об умножении матрицы на вектор. Инструментом такого согласования может как-раз такивыступать аксиома субмультипликативности МН4, понимаемая в расширенном смысле, т. е.
для любых матриц A и B таких размеров, чтопроизведение AB имеет смысл. В частности, она должна быть вернадля n × 1-матриц B, являющихся векторами из Rn .Определение 3.3.4 Векторная норма k · k и матричная норма k · k′называются согласованными, еслиkAxk ≤ kAk′ · kxk(3.23)для любой матрицы A и всех векторов x.Рассмотрим примеры конкретных матричных норм.Пример 3.3.1 Фробениусова норма матрицы A = (aij ) определяетсякак!1/2X2.|aij |kAkF =i,jЯсно, что она удовлетворяет первым трём аксиомам матричной нормы просто потому, что задаётся совершенно аналогично евклидовойвекторной норме k · k2 .
Для обоснования субмультипликативности рассмотрим2X X2aik bkj .kABkF =i,jkВ силу неравенства Коши-Буняковского (3.20)!!2XXX22aikaik bkj ≤blj ,kkl7 Приставка «суб-» означает «меньше», «ниже» и т. п. В этом смысле неравенстватреугольника ВН3 и МН3 можно называть «субаддитивностью» норм.2463. Численные методы линейной алгебрыпоэтомуkABk2F ≤=XXXa2ik b2lji,ja2ikk!Xb2ljlX=i,j,k,l!a2iki,k!Xl,jb2lj!= kAk2F kBk2F ,что и требовалось.Если считать, что B — это матрица размера n×1, т. е. вектор размерности n, то выполненные оценки показывают, что фробениусова нормаматрицы согласована с евклидовой векторной нормой k · k2 , с которойона совпадает для векторов.Пример 3.3.2 Матричная нормаkAkmax = n max |aij |,i,jопределённая на множестве квадратных n × n-матриц, является аналогом чебышёвской нормы векторов k·k∞ , отличаясь от неё лишь постоянным множителем для матриц фиксированного размера. По этойпричине выполнение первых трех аксиом матричной нормы для kAkmaxочевидно.
Но необходимость удовлетворить аксиоме субмультипликативности вызывает появление в выражении для kAkmax множителя nперед max |aij |:!nnXX|aik | |bkj |kABkmax = n max aik bkj ≤ n maxi,ji,j k=1k=1≤ nnXk=1max |aik | max |bkj |i,kk,j!≤ n2 max |aij | max |bij | = kAkmax kBkmax.i,ji,jЯсно, что без этого множителя выписанная выше цепочка неравенствбыла бы неверной.3.3. Нормы векторов и матриц247Небольшая модификация проведённых выкладок показывает также, что норма kAkmax согласована с чебышёвской нормой векторов.Кроме того, несложно устанавливается, что kAkmax согласована с евклидовой векторной нормой.В связи с последним примером, следует отметить, что аксиома субмультипликативности МН4 накладывает на матричные нормы болеесерьёзные ограничения, чем может показаться на первый взгляд.
Вчастности, матричные нормы нельзя произвольно масштабировать, умножая на какое-то число.Оказывается, среди матричных норм квадратных матриц нет таких, которые не были бы ни с чем согласованными. Иными словами,справедливоПредложение 3.3.4 Для любой нормы квадратных матриц можноподобрать подходящую норму векторов, с которой матричная нормабудет согласована.Доказательство. Для данной нормы k · k′ на множестве n × n-матрицопределим норму kvk для n-вектора v как k(v, v, . . . , v)k′ , т. е.
как норму матрицы (v, v, . . . , v), составленной из n штук векторов v как изстолбцов. Выполнение всех аксиом векторной нормы для kvk очевидным образом следует из аналогичных свойств рассматриваемой нормыматрицы.Опираясь на субмультипликативность матричной нормы, имеемkAvk = k(Av, Av, . . . , Av)k′ = kA · (v, v, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
