1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 16
Текст из файла (страница 16)
. . , `n — ортонормированный базис Ve .945. Евклидовы и унитарные пространстваe определённоеРассмотрим линейное отображение ϕe : Ve → V,по правилуϕe (v) =nXαi ϕ (`i ), если v =i=1nXαi `i ∈ Ve .i=1Обозначим [ϕ]`1 ,...,`n = A ∈ Mn (R). Матрица A являетсянормальной, т. е. A· Āτ = Āτ ·A. Обозначим [ ]`1 ,...,`n через [ ]. Очевидно,что [ϕ]e =A и ϕe нормально, так как матрица A нормальна.
Отметим,что ϕ(v)e= ϕ (v) для любого v ∈ V .nPИмеем fϕ (x) = fA (x) = fϕe (x). Пусть x =xi `i — собственныйi=1e соответствующий собственному значению ρ. Тогда [x] A =вектор ϕ,ρ [x] . Переходя к сопряжённым числам, получаем:[x] · A = [x] · A = ρ · [x].nPОбозначим x =i=1xi `i , тогда [x] · A = ρ · [x] , т. е. x — собственныйвектор ϕ,e соответствующий собственному значению ρ.
Так как ρ 6= ρ,то по лемме 1 § 8 имеем (x, x) = 0, а потому x и x линейно независимы√√2по лемме 1 § 3. Выберем вектор x длины 2 (достаточно взять kxk· x).ТогдаnX22kxk = (x, x) =xi xi = (x, x) = kxk = 2.i=1Обозначимгде a =nPi=1½Re (xi ) `i , b =nPi=1x = a + ib,x = a − ib,Im (xi ) `i — векторы из V . Тогда½a = 12 (x + x) ,1b = 2i(x − x) .Имеем:(a, a) =(b, b) = −11· (x + x, x + x) = · ((x, x) + (x, x)) = 1,441 11·· (x − x, x − x) = · ((x, x) + (x, x)) = 1,2i 2i4§ 10.
Канонический вид нормального преобразования над R951 1(a, b) = − ·· (x + x, x − x) = 0.2 2iТаким образом, {a, b} — ортонормированная система в V . Обозначимчерез U = LR (a, b) подпространство в V . Докажем, что U являетсяϕ-инвариантным:µ¶111ϕ (a) = ϕe (a) = ϕe(x + x) = (ϕe (x) + ϕe (x)) = (ρx + ρ · x) =2221((α + βi) (a + ib) + (α − βi) (a − ib)) = αa − βb,2µ¶111(x − x) =(ϕe (x) − ϕe (x)) =(ρx − ρx) =ϕ (b) = ϕe (b) = ϕe2i2i2i1((α + βi) (a + ib) − (α − βi) (a − ib)) = βa + αb.=2iПо теореме 1 § 5 имеем V = U ⊕ U ⊥ . Докажем, что U ⊥ являетсяϕ-инвариантным.В силу леммы 1 § 8 имеем ϕe∗ (x) = ρx, ϕe∗ (x) = ρx, поэтому=ϕe∗ (a) =11(ρx + ρx) = ((α − βi) (a + ib) + (α + βi) (a − ib)) = αa + βb,2211(ρx − ρx) =((α − βi) (a + ib) − (α + βi) (a − ib)) = −βa+αb.2i2iТаким образом, ϕe∗ (u) ⊆ U для любого u ∈ U . Для любых u ∈ U и v ∈⊥U имеем(u, ϕ (v)) = (u, ϕe (v)) = (ϕe∗ (u) , v) = 0.ϕe∗ (b) =Следовательно, ϕ (v) ∈ U ⊥ и U ⊥ является ϕ-инвариантным.¤Теорема 1 (о каноническом виде матрицы нормальногопреобразования евклидова пространства).
Пусть ϕ — нормальноепреобразование евклидова пространства V . Тогда существует такойортонормированный базис `1 , . . . , `n пространства V , чтоA10..[ϕ]`1 ,...,`n = ,.0µгде Ai = αi , αi ∈ R, или Ai = ri2π, 1 ≤ i ≤ k.cos ϕisin ϕiAk− sin ϕicos ϕi¶, ri > 0, 0 < ϕi <965. Евклидовы и унитарные пространстваДоказательство.Пользуясьлеммой1,разложимVв ортогональную сумму V = V1 ⊕ . . .
⊕ Vk , где Vi ⊥Vj при i 6= j.Более того, при 1 ≤ i ≤ k имеем либо Vi = L (ai ), где ϕ (ai ) = αi ai ,αi ∈ R, kai k = 1, либо Vi = L (ai , bi ), где {ai , bi } — ортонормированнаясистема и½ϕ (ai ) = αi ai − βi bi ,ϕ (bi ) = βi ai + αi bi при αi , βi ∈ R.Запишем комплексное число ρi = αi + βi i в тригонометрическом виде:ρi = ri (cos ϕi + i sin ϕi ). Тогда½ϕ (ai ) = ri (cos ϕi · ai − sin ϕi · bi ) ,ϕ (bi ) = ri (sin ϕi · ai + cos ϕi · bi ) ,где ri > 0 и 0 < ϕi < 2π.
Объединяя эти ортонормированные системы,получим искомый базис.¤§ 11.Унитарные и ортогональные преобразованияПусть V — унитарное пространство над F , где F ' C или F ' R,dimF V = n.Напомним, что ϕ ∈ L (V, V ) унитарное, если ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ = id;A — ортогональная матрица, если A ∈ Mn (R) и A · Aτ = Aτ · A = E; Aττ— унитарная матрица, если A ∈ Mn (C) и A · A = A · A = E.Лемма 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ), a1 , . . . , an — некоторыйортонормированный базис V . Тогда эквивалентно следующее:1) ϕ — унитарное преобразование;2) ϕ — изоморфизм унитарных пространств;3) [ϕ]a1 ,...,an — унитарная (ортогональная) матрица;4) для любого a ∈ V выполняется kϕ (a)k = kak.Доказательство.
1. Для любых x, y ∈ V имеем (ϕ (x) , ϕ (y)) =(x, ϕ∗ (ϕ (y))) = (x, (ϕ ◦ ϕ∗ ) (y)) = (x, y) . И наоборот, (ϕ (x) , ϕ (y)) =(x, y) = (x, (ϕ ◦ ϕ∗ ) (y)). Следовательно, ϕ ◦ ϕ∗ = id.2. Пусть [ ] = [ ]a1 ,...,an : L(V, V ) → Mn (F ) — изоморфизм алгебр.Тогдаττϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ = id ⇔ [ϕ] · [ϕ] = [ϕ] · [ϕ] = E.§ 11. Унитарные и ортогональные преобразования973. Для любого a ∈ V имеем (ϕ (a) , ϕ (a)) = (a, a). Следовательно,kϕ (a)k = kak . Обратно, для любых a, b ∈ V, α ∈ F справедливо(ϕ (a + αb) , ϕ (a + αb)) = (a + αb, a + αb) .
Значит,(ϕ (a) , ϕ (a)) + α (ϕ (a) , ϕ (b)) + α (ϕ (b) , ϕ (a)) + αα (ϕ (b) , ϕ (b)) == (a, a) + α (b, a) + α (a, b) + αα (b, b) .Тогда α (b, a) + α (a, b) = α (ϕ (b) , ϕ (a)) + α (ϕ (a) , ϕ (b)) .Если F ' R, то положим α = 1. Тогда для любых a, b ∈ Vсправедливо (a, b) = (ϕ (a) , ϕ (b)).Если F ' C, то, положив α = 1 и α = i, получим½(b, a) + (a, b) = (ϕ (b) , ϕ (a)) + (ϕ (a) , ϕ (b)) ,i((b, a) − (a, b)) = i ((ϕ (b) , ϕ (a)) − (ϕ (a) , ϕ (b))) ,а потому для любых a, b ∈ V имеем (ϕ (a) , ϕ (b)) = (a, b).¤Лемма 2.
1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ) и a1 , . . . , an — ортонормированныйбазис V . Тогда ϕ унитарно тогда и только тогда, когдаϕ (a1 ) , . . . , ϕ (an ) — ортонормированный базис.2. Пусть T — матрица перехода от базиса b1 , . . . , bn к базисуc1 , . . . , cn пространства V . Тогда:a) если b1 , . . . , bn и c1 , . . . , cn — ортонормированные базисы, то T —унитарная матрица;b) если b1 , .
. . , bn — ортонормированный базис, а T — унитарнаяматрица, то c1 , . . . , cn — ортонормированный базис;c) если c1 , . . . , cn — ортонормированный базис, а T — унитарнаяматрица, то b1 , . . . , bn — ортонормированный базис.Доказательство. 1. В силу леммы 1 ϕ — изоморфизм унитарныхпространств, поэтому (ϕ (ai ) , ϕ (aj )) = (ai , aj ) = δij .Обратно, (ϕ (ai ) , ϕ (aj )) = δij = (ai , (ϕ ◦ ϕ∗ ) (aj )) .
Пусть(ϕ ◦ ϕ∗ ) (aj ) = αj1 a1 + . . . + αjn an , где αij ∈ F . Тогда δij = αji , поэтому(ϕ ◦ ϕ∗ ) (aj ) = aj и ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ = id.2. Пусть ϕ — линейное преобразование, переводящее базис b1 , . . . , bnв базис c1 , . . . , cn , т. е. ϕ (bi ) = ci , i = 1, . . . , n. Тогда по определению[ϕ]b1 ,...,bn = T.Следовательно,еслибазисыb1 , . .
. , bnиϕ (b1 ) , . . . , ϕ (bn )ортонормированные, то ϕ унитарно и по лемме 1 матрица T985. Евклидовы и унитарные пространстваунитарна. Если b1 , . . . , bn — ортонормированный базис, а T— унитарная матрица, то ϕ унитарно по лемме 1. Значит,ϕ (b1 ) , . . . , ϕ (bn ) — ортонормированный базис. Если ϕ (b1 ) , . . . , ϕ (bn )— ортонормированный базис, а T ³— унитарнаято´τ ³´матрица,τ ¡¡¢¢ττT ·T = T ·T = E. Следовательно, T −1 · T −1 = T −1 · T −1 = E,поэтому по лемме 1 матрица T −1 унитарна и ϕ−1 — унитарноепреобразование. Значит, b1 = ϕ−1 (ϕ (b1 )) , . . . , bn = ϕ−1 (ϕ (bn )) —¤ортонормированный базис.Лемма 3.
Пусть U (V ) = {ϕ ∈ L (V, V ) : ϕ унитарно}. Тогда U (V )— группа по умножению (группа ортогональных преобразований).Доказательство. Очевидно, что id ∈ U (V ), так как id∗ = id. Пусть∗−1ϕ, ψ ∈ U (V ). Тогда (ϕψ) = ψ ∗ ϕ∗ = ψ −1 ϕ−1 = (ϕψ) . Следовательно,¡¢¡¢−1∗∗ϕψ ∈ U (V ) . Далее ϕ−1 = ϕ∗ ⇔ ϕ−1= (ϕ∗ ) = ϕ = ϕ−1.Следовательно, ϕ−1 ∈ U (V ) и U (V ) — группа по умножению.¤§ 12.Канонический вид матриц унитарныхи ортогональных преобразованийПусть V — унитарное пространство над F (F ' C или F ' R).Лемма 1. Пусть ϕ ∈ LF (V, V ) , ϕ унитарно (ортогонально)и fϕ (ρ) = 0. Тогда |ρ| = 1.Доказательство.
Пусть F ' C и a — собственный вектор ϕ,соответствующий ρ. Тогда (ϕ (a) , ϕ (a)) = (a, a) = (ρa, ρa) = ρρ (a, a).Следовательно, |ρ| = 1.Если F' R, то по теореме 1 § 11 существует такаяортонормированная система a, b ∈ V , что ϕ (a) = αa−βb, ϕ (b) = βa+αb,где ρ = α + iβ ∈ Spec(ϕ). Тогда(a, a) + (b, b) = (ϕ (a) , ϕ (a)) + (ϕ (b) , ϕ (b)) =(αa − βb, αa − βb) + (βa + αb, βa + αb) =¡¢= α (a, a) + β 2 (b, b) + β 2 (a, a) + α2 (b, b) = α2 + β 2 ((a, a) + (b, b)) .2Следовательно, α2 + β 2 = 1.¤Теорема 1 (о каноническом виде).
Пусть V — унитарноепространство, ϕ ∈ LF (V, V ). Преобразование ϕ является унитарным99§ 13. Эрмитовы и симметрические преобразования(ортогональным) тогда и только тогда, когда существует такойортонормированный базис `1 , . . . , `n пространства V , что1) если F ' C, то [ϕ]`1 ,...,`n = diag(α1 , . .
. , αn ), |αi | = 1;0A1..2) если F ' R, то [ϕ]`1 ,...,`n = , где либо Ai = ±1,.µлибо Ai =cos ϕisin ϕi− sin ϕicos ϕi¶0Ak, 0 < ϕi < 2π при i = 1, . . . , k.Доказательство. Необходимость следует из теоремыτ1 § 11 и леммы1 § 12. Достаточность: [ϕ ◦ ϕ∗ ]`1 ,...,`n = [ϕ]`1 ,...,`n ◦ [ϕ]`1 ,...,`n = E =[id]`1 ,...,`n . Следовательно, ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ = id.¤§ 13.Эрмитовы и симметрические преобразованияЛемма 1 (основные свойства).
Пусть V — унитарное пространствонад F и a1 , . . . , an — некоторый ортонормированный базис V . Тогда:1) ϕ эрмитово (симметрическое)⇔ [ϕ]a1 ,...,an — эрмитова(симметрическая) матрица;2) если ϕ, ψ эрмитовы и α ∈ R, то αϕ, ϕ + ψ эрмитовы;3) если ϕ, ψ эрмитовы, то ϕ ◦ ψ эрмитово ⇔ ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ;4) если ϕ эрмитово (симметрическое), то Spec (ϕ) ⊆ R.τДоказательство.
1. ϕ = ϕ∗ ⇔ [ϕ]a1 ,...,an = [ϕ∗ ]a1 ,...,an = [ϕ]a1 ,...,an .∗2. Пусть ϕ = ϕ∗ , ψ = ψ ∗ , α ∈ R. Тогда (ϕ + ψ) = ϕ∗ + ψ ∗ = ϕ + ψ,∗(αϕ) = αϕ∗ = αϕ.∗3. Если ϕ = ϕ∗ , ψ = ψ ∗ , ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ, то (ϕ ◦ ψ) = ψ ∗ ◦ ϕ∗ =ψ ◦ ϕ = ϕ ◦ ψ.∗Обратно, ϕ = ϕ∗ , ψ = ψ ∗ , (ϕ ◦ ψ) = ϕ ◦ ψ = ψ ∗ ◦ ϕ∗ = ψ ◦ ϕ.4. Пусть F ∼= C и x — собственный вектор ϕ = ϕ∗ , соответствующийсобственному значению α ∈ C. Тогда (x, ϕ (x)) = (x, αx) = α (x, x) =(ϕ∗ (x) , x) = (ϕ (x) , x) = α (x, x), т.
е. α = α, так как (x, x) 6= 0 и α ∈ R.∼Если F= R, то по теореме 1 § 11 существует такаяортонормированная система a, b ∈ V , что ϕ (a) = αa−βb, ϕ (b) = βa+αb,где ρ = α + iβ ∈ Spec(ϕ). Тогда (ϕ(a), b) = −β(b, b), (a, ϕ(b)) = β(a, a),т. е. β((a, a) + (b, b)) = 0 и β = 0.¤1005. Евклидовы и унитарные пространства§ 14.Канонический вид матриц эрмитовыхи симметрических преобразованийТеорема 1 (о каноническом виде). Преобразование ϕ эрмитово(симметрическое) тогда и только тогда, когда существуетортонормированный базис a1 , . . . , an в V , состоящий из собственныхвекторов ϕ, причём[ϕ]a1 ,...,an = diag(α1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
