1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. , em — ортонормированная базаU и em+1 , . . . , es — ортонормированная база U ⊥ . Тогда e1 , . . . , es— ортонормированная система векторов. Предположим, что s <dimF (V ) = n. В силу леммы 1 § 3 систему e1 , . . . , es можно дополнитьдо ортонормированной базы V .
Пусть e — один из дополнительныхвекторов. Тогда e ⊥ U , т. е. e ∈ U ⊥ . Противоречие. Следовательно,s = n = dimF V .¤Следствие. U ⊥⊥ = U .Доказательство. Очевидно, что U ⊆ U ⊥⊥ . Пусть x — произвольныйвектор из U ⊥⊥ . Тогда x = a + b, где a ∈ U, b ∈ U ⊥ . Имеем 0 = (x, b) =(a + b, b) = (a, b) + (b, b) = (b, b). Следовательно, (b, b) = 0, т. е. b =0 и x = a. Таким образом, U ⊥⊥ ⊆ U .¤§ 6.Существованиеиединственностьсопряжённого преобразованияПусть V — n-мерное унитарное пространство над F . Линейноепреобразование ϕ∗ ∈ L (V, V ) называется сопряжённым к линейномупреобразованию ϕ ∈ L (V, V ) тогда и только тогда, когда (ϕ (x) , y) =(x, ϕ∗ (y)) для любых x, y ∈ V .Предложение 1.
Пусть ϕ, ψ ∈ L (V, V ) такие, что (ϕ (x) , y)(ψ (x) , y) для любых x, y ∈ V . Тогда ϕ = ψ.Доказательство. Для любых x, y ∈ V имеем (ϕ (x) − ψ (x) , y) =Следовательно, (ϕ (x) − ψ (x) , ϕ (x) − ψ (x)) = 0, т. е. ϕ (x) − ψ (x) =Значит, для любого x ∈ V выполняется ϕ (x) = ψ (x), т. е. ϕ = ψ.=0.0.¤Теорема 1 (о существовании и единственности сопряжённогопреобразования). Для любого ϕ ∈ L (V, V ) существует единственноесопряжённое преобразование ϕ∗ ∈ L (V, V ) .Доказательство. Выберем произвольный ортонормированный базис`1 , . .
. , `n пространства V . Для любого x ∈ V положимϕ∗ (x) =nX(x, ϕ (`k ))`k .k=1Докажем, что ϕ∗ ∈ L (V, V ). Для любых α, β ∈ F и x, y ∈ V имеемϕ∗ (αx + βy) =nXk=1(αx + βy, ϕ (`k )) `k =§ 7. Основные свойства и матрица сопряжённого преобразования=αnX(x, ϕ (`k ))`k + βk=1nX89(y, ϕ (`k ))`k = αϕ∗ (x) + βϕ∗ (y) .k=1∗Докажем теперь, что ϕ сопряжено к ϕ. Пусть x — произвольныйnnPPαi `i . Тогда (x, `k ) = ( αi `i , `k ) =вектор из V и x =i=1nPi=1nPi=1αi (`i , `k ) = αk для любого k = 1, .
. . , n. Следовательно, ϕ (x) =αi ϕ (`i ) =(x,nXnPi=1(x, `i ) ϕ (`i ) и для любых x, y ∈ V верно (x, ϕ∗ (y)) =(y, ϕ(`k )`k )) =k=1nXi=1nX(x, (y, ϕ (`k )) `k ) =k=1nX(y, ϕ (`k )) · (x, `k ) =k=1nnXX(x, `k )·(ϕ(`k ), y) = ((x, `k ) ϕ (`k ) , y) =((x, `k )ϕ(`k ), y) = (ϕ (x) , y) .k=1k=1k=1∗Докажем единственность ϕ .
Пусть ψ ∈ L (V, V ) и (ϕ (x) , y) =(x, ψ (y)) для любых x, y ∈ V . Тогда (x, ψ (y)) = (x, ϕ∗ (y)) . В силупредложения 1 ψ = ϕ∗ .¤§ 7.Основные свойства и матрица сопряжённого преобразованияЛемма 1. Для любых ϕ, ψ ∈ L (V, V ) выполнены следующие свойства:∗1) (ϕ∗ ) = ϕ;∗∗2) (ϕ + ψ) = ϕ∗ + ψ ∗ , (αϕ) = α · ϕ∗ для любого α ∈ F ;∗∗∗3) (ϕ ◦ ψ) = ψ ◦ ϕ ;4) если U — ϕ-инвариантное подпространство V , то U ⊥ является∗ϕ -инвариантным.Доказательство. Для любых x, y ∈ V имеем¡¢∗(ϕ∗ (x) , y) = x, (ϕ∗ ) (y) = (y, ϕ∗ (x)) = (ϕ (y) , x) = (x, ϕ (y)) ;¡¢∗((ϕ + ψ) (x) , y) = x, (ϕ + ψ) (y) = (ϕ (x) + ψ (x) , y) == (ϕ (x) , y) + (ψ (x) , y) = (x, ϕ∗ (y)) + (x, ψ ∗ (y)) = (x, (ϕ∗ + ψ ∗ ) (y)) ;¡¢∗((αϕ) (x) , y) = x, (αϕ) (y) = α (ϕ (x) , y) = α (x, ϕ∗ (y)) = (x, α · ϕ∗ (y)) ;905.
Евклидовы и унитарные пространства¡¢∗((ϕ ◦ ψ) (x) , y) = x, (ϕ ◦ ψ) (y) = (ψ (ϕ (x)) , y) = (ϕ (x) , ψ ∗ (y)) == (x, ϕ∗ (ψ ∗ (y))) = (x, (ψ ∗ ◦ ϕ∗ ) (y)) .∗∗∗Значит, по предложению 1 § 6 ϕ = (ϕ∗ ) , (ϕ + ψ) = ϕ∗ + ψ ∗ , (αϕ) =∗α · ϕ∗ , (ϕ ◦ ψ) = ψ ∗ ◦ ϕ∗ . По теореме 1 § 5 V = U ⊕ U ⊥ . Для любых⊥x ∈ U, y ∈ U справедливо(x, ϕ∗ (y)) = (ϕ (x) , y) = 0,т. е. ϕ∗ (y) ∈ U ⊥ . Следовательно, U ⊥ является ϕ∗ -инвариантным.¤Лемма 2 (о матрице сопряжённого преобразования).
Пусть`1 , . . . , `n — ортонормированный базис V , тогда для любого ϕ ∈ L (V, V )справедливо равенство³´τ[ϕ∗ ]`1 ,...,`n = [ϕ]`1 ,...,`n .Доказательство. Для любого 1 ≤ i ≤ n имеем ϕ (`i ) =nPj=1αij `j , где[ϕ]`1 ,...,`n = (αij ) . Тогда для любых 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ i ≤ n справедливо(ϕ(`i ), `k ) = (nXj=1αij `j , `k ) =nXαij (`j , `k ) = αik ,j=1(`i , ϕ∗ (`k )) = (ϕ∗ (`k ) , `i ),³´τпоэтому (ϕ∗ (`k ) , `i ) = (αik ) и [ϕ∗ ]`1 ,...,`n = [ϕ]`1 ,...,`n .§ 8.¤Канонический вид нормального преобразования унитарного пространстваПусть V — n-мерное унитарное пространство над F , где F ' R илиF ' C.
Преобразование ϕ ∈ L (V, V ) называется нормальным, если ϕ ◦ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ; ϕ называется эрмитовым (симметрическим в случае F 'R), если ϕ = ϕ∗ ; ϕ называется унитарным (ортогональным в случаеF ' R), если ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ = id. Очевидно, что эрмитовы и унитарныепреобразования являются нормальными.Дадим соответствующие определения для матрицы A ∈ Mn (F ):A — нормальная матрица, если A · (A)τ = (A)τ · A; A — эрмитова91§ 8.
Канонический вид нормального преобразования над C(симметрическая в случае F ' R) матрица, если A = (A)τ (A = Aτв случае F ' R); A — унитарная (ортогональная в случае F ' R)матрица, если A−1 = (A)τ (A−1 = Aτ в случае F ' R).Лемма 1. Пусть ϕ — нормальное преобразование пространства V .Тогда:1) x — собственный вектор ϕ, соответствующий λ ∈ Spec ϕ, тогдаи только тогда, когда x — собственный вектор ϕ∗ , соответствующийλ ∈ Spec ϕ∗ ;2) x, y — собственные векторы ϕ, ϕ(x) = αx, ϕ(y) = βy, α 6= β ⇒x ⊥ y.∗∗Доказательство.
1. Очевидно, что (id) = id, поэтому (λ · id) = λ·id∗∗∗∗в силу леммы 1 § 7. Тогда (ϕ¡− λ · id) =¢ ϕ −λ·id. Так ∗как ϕ·ϕ∗ = ϕ ·ϕ,∗∗то (ϕ − λ · id) ·(ϕ − λ · id) = ϕ − λ · id (ϕ − λ · id) = ϕ ·ϕ−λϕ −λϕ+λλ·∗id = (ϕ − λ · id) · (ϕ − λ · id) . Таким образом, (ϕ − λ · id) — нормальноепреобразование. Имеем:(ϕ − λ · id) x = 0 ⇔ 0 = ((ϕ − λ · id) x, (ϕ − λ · id) x) =¡¢ ¡¡¢¢∗∗= x, (ϕ − λ · id) ((ϕ − λ · id) (x)) = x, (ϕ − λ · id) (ϕ − λ · id) (x) =¡∗∗ ¢∗= (ϕ − λ · id) x, (ϕ − λ · id) x ⇔ (ϕ − λ · id) x = 0 ⇔ ϕ∗ (x) = λx.¡¢2. Так как (ϕ (x) , y) = (αx, y) = α (x, y) = (x, ϕ∗ (y)) = x, βy =β (x, y), то (α − β) (x, y) = 0 и (x, y) = 0.¤Теорема 1. Преобразование ϕ ∈ LC (V, V ) является нормальнымтогда и только тогда, когда существует такой ортонормированныйбазис `1 , .
. . , `n пространства V , состоящий из собственных векторовпреобразования ϕ, чтоα10..[ϕ]`1 ,...,`n = , где αi ∈ Spec ϕ..0αnДоказательство. Так как F ' C, то существует, по крайней мере,одно собственное значение для ϕ и соответствующий ему собственныйвектор. Пусть ϕ (a) = α1 a, где a 6= 0. Обозначим V1 = L (a) . Докажемтеорему индукцией по n = dimC V . В случае n = 1 имеем V = L (a),1и `1 = kaka — искомый базис. Пусть утверждение верно для всехϕ ∈ L (U, U ) , dimC U ≤ n − 1. Рассмотрим унитарное пространство V ,925. Евклидовы и унитарные пространстваdimC V = n. По теореме 1 § 5 имеем V = V1 ⊕ V1⊥ , где dimC V1⊥ = n − 1.Докажем, что V1⊥ является ϕ-инвариантным.
Для любого x ∈ V1⊥имеем (a, ϕ (x)) = (ϕ∗ (a) , x) = (α1 a, x) = α1 (a, x) = 0. Следовательно,ϕ (x) ∈ V1⊥ и V1⊥ является ϕ-инвариантным. Очевидно, что ϕ|V ⊥1нормально, так как ϕ нормально на V . Поэтому по предположениюиндукции существует ортонормированный базис `2 , . . . , `n пространстваV1⊥ , состоящий из собственных векторов ϕ. Тогда `1 , . . . , `n —ортонормированный базис V и [ϕ]`1 ,...,`n = diag(α1 , .
. . , αn ), αi ∈ Spec ϕ.Обратно, если [ϕ]`1 ,...,`n = diag(α1 , . . . , αn ), то [ϕ∗ ]`1 ,...,`n =diag(ᾱ1 , . . . , ᾱn ) по лемме 2 § 7. Очевидно, что [ϕ]`1 ,...,`n · [ϕ∗ ]`1 ,...,`n =[ϕ∗ ]`1 ,...,`n · [ϕ]`1 ,...,`n , поэтому получаем следующие равенства:[ϕ ◦ ϕ∗ − ϕ∗ ◦ ϕ]`1 ,...,`n = 0 и ϕ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ϕ.§ 9.¤Изоморфизм унитарных пространствУнитарные пространства V1 и V2 над полем F называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное линейноеотображение ϕ : V1 → V2 , что (a, b) = (ϕ (a) , ϕ (b)) для любых a, b ∈ V1 .Тот факт, что V1 изоморфно V2 , будем обозначать V1 ' V2 . Пусть`1 , . . . , `n — базис V1 , тогда нетрудно заметить, что ϕ (`1 ) , . .
. , ϕ (`n ) —базис V2 . Следовательно, если V1 ' V2 , то dimF V1 = dimF V2 . Вернои обратное утверждение.Теорема 1. Если V — n-мерное унитарное пространство над F ,то V ' Fn .Доказательство. Выберем в V произвольный ортонормированныйбазис `1 , . . . , `n . В силу теоремы 1 § 1.12 [ ] = [ ]`1 ,...,`n — изоморфизмпространств V и Fn . Докажем, что отображение [ ] сохраняет скалярноепроизведение.nnPPПусть x =xi `i , y =yi `i , где xi , yi ∈ F .
Тогдаi=1i=1[x] = (x1 , . . . , xn ) , [y] = (y1 , . . . , yn ) и ([x] , [y]) =nXi=1xi y i .§ 10. Канонический вид нормального преобразования над RС другой стороны, (x, y) = (nPi=1nPi=1xi `i ,nPj=1yj `j ) =nPi,j=1xi y j (`i , `j ) =xi y i . Значит, ([x] , [y]) = (x, y) и [ ] : V → Fn — изоморфизм.§ 10.93¤Канонический вид нормального преобразования евклидова пространстваЛемма 1. Пусть ϕ — нормальное преобразование евклидовапространства V . Тогда существует такое ϕ-инвариантноеподпространство U в V , что dimR U = 1 или dimR U = 2. Приэтом V = U ⊕ U ⊥ , где U ⊥ является ϕ-инвариантным.
Более того,если dimR U = 1, то в U можно выбрать такой ортонормированныйбазис {a}, что ϕ (a) = αa, α ∈ R; а если dimR U = 2, то в Uможно выбрать такой ортонормированный базис {a, b}, чтоϕ (a) = αa − βb, ϕ (b) = βa + αb, где α, β ∈ R.Доказательство. Если fϕ (x) обладает вещественным корнем α, тоϕ имеет такой соответствующий собственный вектор b, что ϕ (b) =bαb, α ∈ R. Тогда a = kbk— искомый базис и U = L (a) — одномерноеϕ-инвариантное пространство. Из доказательства теоремы 1 § 8 следует,что V = U ⊕ U ⊥ , где U ⊥ является ϕ-инвариантным.Пусть fϕ (x) не имеет вещественных корней и ρ, ρ — комплексныекорни fϕ (x), ρ = α + βi, ρ = α − βi, α, β ∈ R, β 6= 0.Пусть `1 , .
. . , `n — ортонормированный базис V . Определимвекторное пространство Ve над полем C. Положим Ve := LC (`1 , . . . , `n ) :=)( nnnXXXαi `i : αi ∈ C;αi `i =βi `i ⇔ αi = βi , 1 ≤ i ≤ ni=1i=1µс операциями αnPi=1¶αi `i + βi=1µnPi=1¶βi `i=nPi=1(ααi + ββi ) `i для любыхα, β ∈ C.Определим на Ve скалярное произведение по правилу (`i , `j ) = δij ,т. е.nnnXXX(αi `i ,βj `j ) =αi βi .i=1j=1i=1Тогда очевидно, что `1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
