1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. . , an — некоторый базис в V . Тогдаϕ (a) = αa ⇔ [ϕ (a)] = [αa] ⇔ [a] · [ϕ] = α [a] ⇔ [a] (αE − [ϕ]) = 0,где мы использовали теорему 1 из § 4 и теорему 1 из § 2.Однородная система линейных уравнений [a] · (αE − [ϕ]) = 0 имеетненулевое решение ⇔ det (αE − [ϕ]) = fϕ (α) = 0.§ 10. Минимальные многочлены матриц и линейных преобразований 59α10..3. [ϕ]b1 ,...,bn =  тогда и только тогда, когда.0αnb1 , . . .

, bn — базис V и ϕ (bi ) = αi bi , 1 ≤ i ≤ n, что эквивалентносуществованию n линейно независимых собственных векторов у ϕ. ¤Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L(V, V ) и b1 , . . . , bk — собственные векторыϕ, соответствующие различным собственным значениям α1 , . . . , αk .Тогда b1 , .

. . , bk линейно независимы.Доказательство. Проведём индукцию по k. При k = 1по определению b1 6= 0. Пусть b1 , . . . , bk−1 линейно независимы и β1 b1 +. . . + βk bk = 0. Тогда ϕ (β1 b1 + . . . + βk bk ) = β1 α1 b1 + . . . + βk αk bk = 0,kkk−1PPPпоэтому 0 = αkβi bi −αi βi bi =(αk − αi ) βi bi . Следовательно,i=1i=1i=1по предположению индукции (αk − αi ) βi = 0 для любого 1 ≤ i ≤ k − 1.Так как αk 6= αi , то β1 = . .

. = βk−1 = 0, откуда βk = 0.¤Следствие. Пусть ϕ ∈ L(V, V ), где V — векторное пространствонад полем F . Если fϕ (λ) имеет n различных корней в F , тосуществует такой базис b1 , . . . , bn пространства V , чтоα10..[ϕ]b1 ,...,bn = ..0αnДоказательство. Пусть b1 , . . . , bn — собственные векторыпреобразования ϕ, соответствующие различным корням α1 , . . . , αnмногочлена fϕ (λ). В силу теоремы 1они линейно независимы. В силуα10...леммы 1 [ϕ]b1 ,...,bn = ¤.0§ 10.αnМинимальные многочлены матриц илинейных преобразованийУнитарный многочлен минимальной степени, аннулирующийпреобразование ϕ ∈ L(V, V ), называется минимальным многочленомпреобразования ϕ и обозначается через hϕ (x).

Таким образом,604. Линейные преобразования векторных пространствhϕ (x) = xm + am−1 xm−1 + . . . + a0 ∈ F [x] — это такой многочленминимальной степени, что hϕ (ϕ) = 0. Аналогично определяется hA (x),A ∈ Mn (F ).Корректность определения. Покажем, что hϕ (x) определяетсяоднозначно. Действительно, если hϕ (x) и h0ϕ (x) — два минимальных¡¢многочлена, то hϕ (x) − h0ϕ (x) аннулирует ϕ и deg hϕ (x) − h0ϕ (x) <deg hϕ (x), т. е. hϕ (x) − h0ϕ (x) = 0.Лемма 1 (основные свойства).

Пусть ϕ ∈ L(V, V ), где V —векторное пространство над полем F .1. Если f (x) ∈ F [x], f (ϕ) = 0, то hϕ (x) делит f (x).2. Если A, B ∈ Mn (F ), A ' B, то hA (x) = hB (x).3. Справедливо равенство hϕ (x) = h[ϕ] (x), где [ϕ] = [ ]b1 ,...,bnи b1 , . . . , bn — некоторый базис пространства V .4. Многочлен hϕ (x) делит fϕ (x).5. Если fϕ (x) = (x − λ1 ) . . . (x − λn ) , λi ∈ F , то (x − λi ) делитмногочлен hϕ (x).Доказательство.

1. По определению deg f (x) ≥ deg hϕ (x) .Разделим f (x) на hϕ (x) с остатком:f (x) = hϕ (x) · g (x) + r (x) ,где либо deg r (x) < deg hϕ (x), либо r(x) = 0. Далее справедливо 0 =f (ϕ) = hϕ (ϕ) · g(ϕ) + r (ϕ) . Следовательно, r (ϕ) = 0 и r (x) = 0.2. A ' B тогда и только тогда, когда существует обратимая T ∈Mn (F ) такая, что B = T −1 AT. Заметим, что для любого k ∈ N имеем:¡¢kB k = T −1 AT = (T −1 AT ) · (T −1 AT ) · .

. . · (T −1 AT ) = T −1 Ak T.Значит, для любого g (x) ∈ F [x] выполняется g (B) = T −1 g (A) T.Следовательно,¡¢hA (B) = hA T −1 AT = T −1 hA (A) T = 0,¡¢hB (A) = hB T BT −1 = T hB (B) T −1 = 0.Из 1) следует, что hA (x) делит hB (x), и наоборот. В силу унитарностимногочленов hA (x) = hB (x).3. Пусть b1 , . . . , bn — некоторый базис V . Обозначим [ ] = [ ]b1 ,...,bn —изоморфизм L(V, V ) и Mn (F ) (теорема 1 § 4).

Тогда£¤0 = h[ϕ] ([ϕ]) = h[ϕ] (ϕ) ⇒ h[ϕ] (ϕ) = 0,§ 11. Нильпотентные преобразования, канонический вид их матриц 610 = [hϕ (ϕ)] = hϕ ([ϕ]) .Следовательно, h[ϕ] (x) делит hϕ (x), и наоборот. В силу унитарностимногочленов hϕ (x) = h[ϕ] (x).4. Следует из 1) и теоремы Гамильтона — Кэли.5. Пусть vi ∈ V — собственный вектор для λi , т.

е. ϕ (vi ) = λi vi ,vi 6= 0. Тогда hϕ (ϕ) (vi ) = 0. Но ϕk (vi ) = ϕk−1 (λi vi ) = λi ϕk−1 (vi ) =. . . = λki vi . Следовательно, hϕ (ϕ) (vi ) = hϕ (λi ) vi = 0. Так как vi 6= 0, тоhϕ (λi ) = 0. По теореме Безу (x − λi ) делит hϕ (x).¤§ 11.Нильпотентные преобразования, канонический вид их матрицПусть ϕ ∈ L (V, V ).

Множество Spec (ϕ) всех попарно различныхсобственных значений ϕ называется спектром ϕ. Например, еслиpQmfϕ (x) =(x − λi ) i , где λi 6= λj при i 6= j, то Spec (ϕ) = {λ1 , . . . , λp }.i=1Аналогично определяется Spec (A), A ∈ Mn (F ). Преобразование ϕ ∈L (V, V ) называется нильпотентным, если существует m ∈ N такое,что ϕm = 0. Число m называется индексом нильпотентности ϕ, еслиϕm = 0 и ϕm−1 6= 0. Аналогичные определения для A ∈ Mn (F ).Лемма 1.

Пусть ϕ — нильпотентное линейное преобразованиеиндекса m, тогда hϕ (x) = xm и Spec (ϕ) = {0}.Доказательство.Так как ϕm = 0, то hϕ (x) делит xm .Следовательно, hϕ (x) = xk , где k ≤ m. Поскольку ϕm−1 6= 0, то k = m.Пусть λ — собственное значение ϕ. Тогда существует такой ненулевойa ∈ V , что ϕ (a) = λa, откуда ϕm (a) = λm a = 0, т. е.

λm = 0 и λ = 0. ¤Пусть ϕ — нильпотентное преобразование индекса m. Вектор v ∈V называется вектором высоты k, если ϕk (v) = 0 и ϕk−1 (v) 6= 0.По определению 0 — вектор высоты 0. Будем обозначать высоту вектораv через h(v) = k. Положим U (k) := {v ∈ V : h (v) ≤ k} , k = 1, . . .

, m.Очевидно, что 0 ⊆ U (1) ⊆ . . . ⊆ U (m) = V.Лемма 2. Пусть ϕ — нильпотентное преобразование индекса m.1. U (k) — линейное подпространство в V для любого k = 1, . . . , m.2. Цепочка 0 = U (0) U (1) . . . U (m) = V состоит из строгихвключений.624. Линейные преобразования векторных пространств3. Дополним базис U (m − 1) векторами c1 , . . . , ct до базиса V . Тогдавекторы ϕi (cj ), i = 0, . .

. , m − 1, j = 1, . . . , t, линейно независимы.Доказательство. 1. Заметим, что 0 ∈ U (k). Далее для любыхα, β ∈ F , a, b ∈ U (k) имеем ϕk (αa + βb) = αϕk (a) + βϕk (b) = 0.Следовательно, h (αa + βb) ≤ k, т. е. U (k) — подпространство в V .2. Пусть на некотором шаге i, 0 ≤ i ≤ m−1, U (i) = U (i+1). Тогда длялюбого v ∈ V равенство ϕi+1 (v) = 0 выполняется тогда и только тогда,когда ϕi (v) = 0. Рассмотримпроизвольныйвектор v ∈¡ V = U (m).¢Тогда¡¢ϕm (v) = 0 влечёт ϕi+1 ϕm−i−1 (v) = 0, откуда ϕi ϕm−i−1 (v) = 0.Следовательно, ϕm−1 (v) = 0 и ϕm−1 = 0. Противоречие.3.

Пусть y =m−1PtPi=0 j=1αij ϕi (cj ) = 0. Тогда 0 = ϕm−1 (y) =α01 ϕm−1 (c1 ) + . . . + α0t ϕm−1 (ct ) = ϕm−1 (α01 c1 + . . . + α0t ct ) .Следовательно, α01 c1 + . . . + α0t ct ∈ U (m − 1) и α01 = Ã. . . = α0t !=ttPP0. Аналогично 0 = ϕm−2 (y) =α1j ϕm−1 (cj ) = ϕm−1α1j cj .j=1Следовательно,tPj=1j=1α1j cj ∈ U (m − 1) и α11 = . . . = α1t = 0.

Повторяяданную процедуру m раз, получим, что все αij равны нулю.¤Следствие 1. Если ϕ нильпотентно индекса m, то m ≤ dimF (V ) .¤МатрицаJm,λ=λ01...0...... ∈ Mm (F )1 λназывается клеткой Жордана порядка m, отвечающей собственномузначению λ.Теорема 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ), dimF (V ) = n и ϕ нильпотентноиндекса n. Тогда в V существует такой базис a1 , . . . , an , что[ϕ]a1 ,...,an = Jn,0 .Доказательство.

Выберем произвольный a ∈/ U (n − 1). По лемме 2a1 = a, a2 = ϕ (a) , . . . , an = ϕn−1 (a) линейно независимы и образуют§ 12. Характеристический многочлен от матрицы Жордана63базис. В этом базисе имеем:0ϕ(a)=a,12 0 ϕ (a2 ) = a3 ,·········[ϕ]a1 ,...,an = ϕ (an−1 ) = an ,ϕ (an ) = 0,0§ 12.10···1...······..······.000  = Jn,0 . ¤1 0Минимальный и характеристическиймногочлен от матрицы ЖорданаЛемма 1. Пусть Jm,λ — клетка Жордана, λ ∈ F .

Тогда:m1) hJm,λ (x) = fJm,λ (x) = (x − λ) ;2) Spec (Jm,λ ) = {λ} ;3) для любого f (x) ∈ F [x] выполняется равенство(1)(m−1)(λ)f (λ) f 1!(λ) · · · f (m−1)!.........f (Jm,λ ) = ...f (1) (λ).1!0f (λ)mДоказательство. 1. fJm,λ (x) = |xE − Jm,λ | = (x − λ) . По лемме 1 § 10khJm,λ (x) делит fJm,λ (x). Поэтому hJm,λ (x) = (x − λ) , k ≤ m. Пустьk < m. ТогдаkhJm,λ (Jm,λ ) = (Jm,λ − λE) = Dk+1 ,где в матрице Dk+1 единицы стоят на пересечении i-й строки и (i + k)-гостолбца, i = 1, . . . , m − k, а остальные элементы нулевые (D1 := E).Противоречие, и k = m.m2. Так как fJm,λ (x) = (x − λ) , то Spec (Jm,λ ) = {λ} .3. Пусть deg f = n > m. Тогда по формуле Тейлораf (x) = f (λ) +f (Jm,λ ) = f (λ) E +f 0 (λ)f (n) (λ)n(x − λ) + . .

. +(x − λ) ,1!n!f 0 (λ)f (n) (λ)n(Jm,λ − λE) + . . . +(Jm,λ − λE) =1!n!644. Линейные преобразования векторных пространствf (1) (λ)f (n) (λ) nJm,0 + . . . +Jm,0 =1!n!f (1) (λ)f (m−1) (λ)= f (λ) D1 +D2 + . . . +Dm−1 .¤1!(m − 1)!Матрицей Жордана называется клеточно-диагональная матрицавида J = Jm1 ,λ1 ⊕. . .⊕Jms ,λs , где Jmi ,λi — клетки Жордана, i = 1, .

. . , s.= f (λ) E +Найдём минимальный и характеристический многочлен от матрицыЖордана.Лемма 2. Пусть A = A1 ⊕ . . . ⊕ As — произвольная клеточнодиагональная матрица, где A ∈ Mn (F ), Ai ∈ Mni (F ), n = n1 + . . . + ns .Тогда:1) f (A) = f (A1 ) ⊕ . . . ⊕ f (As ) для любого f (x) ∈ F [x] ;2) hA (x) = H.O.K. (hA1 (x), . . .

, hAs (x)).Доказательство. 1. Для любого k ∈ N имеем: kA10f (A1 )0....Ak =  , откуда f (A) = ...Aks00f (As )2. Из 1) для любого f (x) ∈ F [x] имеем f (A1 ) , . . . , f (As ) = 0 ⇔f (A) = 0.Пусть H.O.K. (hA1 (x) , . . . , hAs (x)) = f (x), тогда f (x) = hAi(x) ·f (A1 )0..ri (x), i = 1, . . . , s, а потому f (A) =  =.hA1 (A1 )r1 (A1 )0..0f (As ) = 0..0hAs (As )rs (As )Следовательно, f (x) аннулирует A, и по лемме 1 § 10 hA (x) делитf (x).С другой стороны, hA (A) = 0. Поэтому из 1) получаем hA (A1 ) =. . . = hA (As ) = 0. Следовательно, hAi (x) делит hA (x), i = 1, . . . , s,откуда f (x) = H.O.K.(hA1 (x), .

. . , hAs (x)) делит hA (x). В итоге f (x) =hA (x).¤Jm1 ,λ10...Теорема 1. Пусть J = . Тогда:0Jms ,λs65§ 13. Векторное пространство как прямая сумма1) fJ (x) =sQi=1mi(x − λi )©ª, Spec (J) = λi1 , . . . , λip , где λi1 , . . . , λip —J¢ среди λ©1 , . . . , λs ; ªвсе различные собственные значения¡sis2) hJ (x) = (x − λi1 ) i1 · .

Характеристики

Список файлов лекций