1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

. , ki , s = 1, . . . , `— базис V . Пустьp XkiXαij ϕj (ai ) +X̀λs (bs − cs ) = 0,s=1i=1 j=0где αij , λs ∈ F. Тогдаp XkiXαij ϕj (ai ) −p XkiX̀X(s) j−1λs βijϕ(ai ) +λs bs = 0.X̀s=1i=1 j=0i=1 j=1s=1Следовательно, λ1 = . . . = λs = 0 и αij = 0, i = 1, .

. . , p, j = 0, . . . , ki .Так как построенный базис состоит из цепочек, то он является базисомЖордана.¤Следствие 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ) и Spec ϕ = {λ}. Тогдасуществует такой базис a1 , . . . , an , что [ϕ]a,...,an = J (ϕ) — матрицаЖордана.Доказательство. Рассмотрим ψ = (ϕ − λ · id). По теоремеnГамильтона — Кэли ψ n = (ϕ − λ · id) = fϕ (ϕ) = 0. Следовательно,ψ нильпотентно на V . Пусть {ai , ψ (ai ) , . . .

, ψ ki −1 (ai ) : i = 1, . . . , p} —базис Жордана для ψ. Тогда в этом базисе имеем при i = 1, . . . , p, j =0, . . . , ki − 1 :¢¢½ ¡ j½ ¡ jψ ¡ψ (ai ) =¢ψ j+1 (ai ) ,ϕ ¡ψ (ai ) =¢λψ j (ai ) + ψ j+1 (ai ) ,илиψ ψ ki −1 (ai ) = 0,ϕ ψ ki −1 (ai ) = λψ ki −1 (ai ) ,и [ϕ] = Jk1 ,λ00.. — матрица Жордана..¤Jkp ,λТеорема 1 (Жордана о существовании нормальной жордановойформы). Пусть ϕ ∈ L (V, V ) , dimF (V ) = n и F — алгебраическизамкнутое поле.

Тогда существует такой базис a1 , . . . , anпространства V , что [ϕ]a1 ,...,an = J (ϕ) — матрица Жордана.Доказательство. Так как F — алгебраически замкнутое поле, тоf (x) =pYi=1ni(x − λi ), λi 6= λj при i 6= j.724. Линейные преобразования векторных пространствpВ силу теоремы 1 § 13 имеем V = ⊕ V (λi ), где V (λi ) являетсяi=1³´ϕ-инвариантным и Spec ϕ|V (λi ) = {λi }, i = 1, . . . , p. В силу следствия1 в каждом V (λi ) можно найти базис Жордана для ϕ|V (λi ) , i = 1, .

. . , p.Пусть a1 , . . . , an — объединение всех этих базисов. По теореме 1 § 7[ϕ]a1 ,...,an = J (ϕ) — матрица Жордана.¤§ 15.Теорема Жордана — единственностьжордановой нормальной формыПусть ϕ ∈ L (V, V ) , dimF (V ) = n и F — алгебраически замкнутоеполе. По теореме 1 § 14 существует жорданов базис a1 , .

. . , an , в котором[ϕ]a1 ,...,an = J (ϕ) — матрица Жордана.Зафиксируем λ ∈ F . Обозначим через N (m, λ) число жордановыхклеток Jm,λ порядка m, соответствующих λ ∈ Spec (ϕ) , в матрицеJ(ϕ). Наша цель — доказать, что числа N (m, λ) не зависят от выборажорданова базиса.tПоложим rt := dimF (ϕ − λ · id) V , t = 0, 1, . . . В частности, r0 =t0dimF (ϕ − λ · id) V = dimF V = n. Числа rt = dimF (ϕ − λ · id) V независят от выбора базиса пространства V .Лемма 1.

N (m, λ) = rm−1 − 2rm + rm+1 при m ≥ 1.tДоказательство. Подсчитаем dimF (ϕ − λ · id) V при t = 0, 1, 2, . . .По теореме 1 § 13 V = V (λ) ⊕ V 0 , где V 0 = ⊕ V (λ0 ) , и приλ0 6=λэтом V (λ), V (λ0 ) — корневые подпространства в V , λ, λ0 ∈ Spec (ϕ).В силу следствия 1 § 14 в V (λ) можно выбрать жорданов базисai , ψ (ai ) , . .

. , ψ ki −1 (ai ) , где i = 1, . . . , p, ψ = (ϕ − λ · id). Каждомуиз этих наборов соответствует жорданова клетка размерности ki , i =1, . . . , p. Имеем:p¡¢V (λ) = ⊕ L ai , ψ (ai ) , . . . , ψ ki −1 (ai ) .i=1¡¢Очевидно, что пространство L ai , ψ (ai ) , . . . , ψ ki −1 (ai ) являетсяψ-инвариантным для любого i = 1, .

. . , p. Так как V (λ) и V 0инвариантны относительно ψ, тоrm = dimF ψ m (V ) = dimF ψ m (V (λ)) + dimF ψ m (V 0 ) .73§ 15. Теорема Жордана — единственностьВ силу теоремы 1 § 13 преобразование ψ m невырождено на V 0 .Следовательно, dimF ψ m (V 0 ) = dimF V 0 . Дале嶵p¡¢dimF ψ m (V (λ)) = dimF ψ m ⊕ L ai , ψ (ai ) , . . . , ψ ki −1 (ai ) =i=1=pX¡¢dimF L ψ m (ai ) , ψ m+1 (ai ) , . . . , ψ m+ki −1 (ai ) .i=1Имеем:½=¡¢dimF L ψ m (ai ) , ψ m+1 (ai ) , . . .

, ψ m+ki −1 (ai ) =0, при ¡ m ≥ ki ,¢dimF L ψ m (ai ) , . . . , ψ ki −1 (ai ) = ki − m, при m < ki ,так как ψ m (ai ) , . . . , ψ ki −1 (ai ) линейно независимы.Следовательно,Xrm =(ki − m) + dimF V 0 .ki >mТогда rm − rm+1 =!! ÃÃXX00−(ki − m − 1) + dimF V=(ki − m) + dimF Vki >m+1ki >m=X(ki − m) −ki >m==(ki − m) +ki =m+1Xki =m+1(ki − m − 1) =ki >m+1(ki − m) −ki >mX=XXXX(ki − m) +ki >m+1X(ki − m) −ki >m+1(m + 1 − m) +Xki >m+1XX(ki − m) +ki >m+11=1=ki >m+1Xki =m+11+Xki >m+11=ki >m+1= N (m + 1, λ) + N (m + 2, λ) + .

. .Таким образом,½rm − rm+1 = N (m + 1, λ) + N (m + 2, λ) + . . . ,rm+1 − rm+2 = N (m + 2, λ) + N (m + 3, λ) + . . . ,1=744. Линейные преобразования векторных пространства потому N (m + 1, λ) = rm − 2rm+1 + rm+2 . Окончательно получаемmN (m, λ) = rm−1 − 2rm + rm+1 при m ≥ 1, где rm = r (ϕ − λ · id) ,r0 = n.¤Теорема 1 (Жордана о единственности нормальной жордановойформы). Пусть ϕ ∈ L (V, V ) , dimF V = n и F — алгебраическизамкнутое поле. Тогда жорданова форма J(ϕ) единственнас точностью до перестановки клеток.Доказательство. По лемме 1 числа N (m, λ) не зависят от выборажорданова базиса.¤§ 16.Задача о подобии матрицНайдём необходимые и достаточные условия подобия двух матрицA, B ∈ Mn (F ), где F — алгебраически замкнутое поле.Теорема 1 (задача о подобии матриц). Пусть A, B ∈ Mn (F )и F — алгебраически замкнутое поле.

Тогда следующие условияэквивалентны:1) A ∼ B;2) Spec (A) = Spec (B) и NA (m, λ) = NB (m, λ) для любых λ ∈Spec (A) , m ∈ N;3) J(A) совпадает с J(B) с точностью до перестановки клеток.Доказательство. Если A ∼ B, то существует такая обратимаяматрица T ∈ Mn (F ), что A = T BT −1 . По теореме 1 § 5 fA (x) = fB (x)и Spec (A) = Spec (B) .

По лемме 2 § 15 N (m, λ) = rm−1 − 2rm +mrm+1 , m ≥ 1, где rm = r ([ϕ] − λ · id) .mmПусть rm (A, λ) = r (A − λE) , rm (B, λ) = r (B − λE) , m ≥ 0.¡¢¡¢mmТогда rm (A, λ) = r T BT −1 − λE= r T BT −1 − λT T −1=rm (B, λ) в силу следствия 2 § 1.21. Следовательно, для любых λ ∈Spec (A) и m ∈ N имеем NA (m, λ) = NB (m, λ), и J (A) совпадаетс J (B) с точностью до перестановки жордановых клеток.

Переставимв жордановом базисе (если это необходимо) соответствующие цепочкивекторов так, чтобы J (A) = J (B). Тогда A ' J (A) = J (B) ' B, т. е.A ' B.¤75§ 17. Функции от матриц§ 17.Функции от матрицРассмотрим алгебру матриц Mn (C) над полем комплексных чисел C.Пусть A ∈ Mn (C) и f : C → C — некоторая комплекснозначнаяфункция. Мы собираемся определить f (A), т. е. построить отображениеf : A → Mn (C).В случае, когда f (x) = a0 + a1 x + . .

. + am xm — многочлен из C[x],естественно положитьf (A) = f (x) |x=A = a0 · E + a1 · A + . . . + am · Am ∈ Mn (C) .Пусть f : C → C — произвольная функция. По теореме Жордана A =T −1 J(A)T , где T — матрица перехода к базису Жордана иJm1 ,λ10..J (A) =  , λi ∈ Spec(A)..0Jms ,λsНаложим условия на функцию f : f (α) , f (1) (α) , . . . , f (n−1) (α)определены и конечны для всех α ∈ SpecA.Положимf (Jm1 ,λ1 )0..f (A) = T −1 ·  · T, где.0f (Jm,α ) = f (α)0...0f (1) (α)1!......···......0Тогда f называется числовойкомплекснозначной функции f (λ).ff (Jms ,λs )(m−1)(α)(m−1)!...f (1) (α)1!,α ∈ Spec (A) ,m = m1 , .

. . , ms .f (α)функциейотA,отвечающейТеорема 1 (основные свойства числовых функций).1. Пусть f (x) ∈ C [x]. Тогда числовая функция f (A) совпадаетс f (x)|x∈A .2. Пусть для f1 : C → C, f2 : C → C и A ∈ Mn (C) определенычисловые функции f1 (A) и f2 (A). Тогда для f (x) = f1 (x)+f2 (x) , g (x) =764. Линейные преобразования векторных пространствf1 (x) · f2 (x) определены f (A) и g(A), причём f (A) = f1 (A) + f2 (A)и g (A) = f1 (A) · f2 (A).3.

Пусть для g : C → C и A ∈ Mn (C) определена числовая функцияg(A), тогдаfg(A) (x) =nY(x − g (λi )) , где fA (x) =i=1nY(x − λi ) .i=1Доказательство. 1. Пусть f (x) = a0 + a1 · x + . . . + am · xm , A =T −1 J (A) T , тогдаmXf (x) |x=A = f (x) |x=T −1 J(A)T ==mX³ai T−1iJ (A) Tô=Ti=0−1i=0mXiai J (A)¡¢iai T −1 J (A) T =!T = T −1 · f (x)|x=J(A) · T.i=0Далее, применяя леммы 2 и 1 из § 12, получаемf (Jm1 ,λ1 )0..T −1 · f (x)|x=J(A) · T = T −1 ·  · T = f (A) ..0f (Jms ,λs )Jm1 ,λ10..2. Имеем A = T −1  T,.0Jms ,λsfi (A) = T −1 fi (Jm1 ,λ1 )00... T,fi (Jms ,λs )f1 (A) + f2 (A) =f1 (Jm1 ,λ1 ) + f2 (Jm1 ,λ1 )0..T −1  T = f (A) ,.0f1 (Jms ,λs ) + f2 (Jms ,λs )f1 (Jm1 ,λ1 ) f2 (Jm1 ,λ1 )0..f1 (A)·f2 (A) = T −1  T..0f1 (Jms ,λs ) f2 (Jms ,λs )§ 18. Представление функций от матриц многочленамиb11 .

. . ....Справедливо f1 (Jm,α ) · f2 (Jm,α ) =  ..0(i)f2 (α)i!bk,k+i = f1 (α) ·+¶µ iP ` (`)(i−`)1f(α)·f(α)Ci 12i!`=0(1)f1 (α)1!=·(i−1)f2(α)(i−1)!1i!...+ ... +(i)(f1 (x) · f2 (x))(i)77b1m..  , где. bmmf1 (α)i!· f2 (α) =|x=α при i=0, 1, . . . , m − 1, k = 1, . . . , m (последнее равенство нам даёт формулаЛейбница), откуда получаем равенство:(m−1)2 (x)]f1 (α) f2 (α) . . . [f1 (x)·f|x=α(m−1)! = f1 (Jm,α ) f2 (Jm,α ) .......g (Jm,α ) = ...0...f1 (α) f2 (α)Следовательно, g (A) = f1 (A) · f2 (A) .3. Пусть λ1 , . . . , λn — все собственные значения A с учётомкратностей.

Тогда g (λ1 ) , . . . , g (λn ) — все собственные значения g(A)с учётом кратностей.¤§ 18.Представление функций от матрицмногочленамиВ этом параграфе мы докажем, что значение числовой функцииот A ∈ Mn (C) не зависит от выбора жорданова базиса и может бытьпредставлено многочленом от матрицы A.Лемма 1. Пусть λ1 , . . . , λs — различные элементы из C, A =(αij ) ∈ Ms,k+1 (C), где 1 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ k. Тогда существует такойp (x) ∈ C [x] , что p(j) (λi ) = αij , т. е.  p (λ ) p(1) (λ ) · · · p(k) (λ ) 111α10 α11 · · · α1k...... ··· ··· ··· ···  = ....αs0 αs1 · · · αsk(1)(k)p (λ ) p (λ ) · · · p (λ )ssДоказательство.

Сначала построим такиемногочлены pt (x), 1 ≤ t ≤ s, что½0,t 6= i,(j)pt (λi ) =αij , t = i,sвспомогательные(1)(2)784. Линейные преобразования векторных пространствгде 1 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ k. Тогда p (x) =sPt=1Действительно,p(j) (x) =sXpt (x) — искомый многочлен.(j)pt (x)t=1Следовательно,p(j) (λi ) =sX(j)(j)pt (λi ) = pi (λi ) = αij .t=1Для t = 1, 2, . . . , s положимkϕt (x) := βt0 + βt1 (x − λt ) + . .

. + βtk (x − λt ) ,где βt0 , . . . , βtk ∈ C пока не определены;Φt (x) := (x − λ1 )k+1· . . . · (x\− λt )k+1· . . . · (x − λs )k+1.Будем искать pt (x) в виде pt (x) = ϕt (x) · Φt (x) .Очевидно, что pt (x) удовлетворяет условию (1) при 1 ≤ t ≤ s. В силуформулы Лейбница при 1 ≤ i ≤ s и 0 ≤ j ≤ k имеем:¯¯(j) ¯(j)pi (λi ) = (ϕi (x) · Φi (x))=jXx=λi=jX(j−`)Cj` ϕi(`)(λi ) · Φi (λi ) =`=0(`)Cj` (j − `)!βi(j−`) Φi (λi ) =`=0(1)(j)= j!βij Φi (λi ) + Cj1 (j − 1)!βi(j−1) Φi (λi ) + . . . + βi0 Φi (λi ) .Таким образом, получаем систему уравненийαi0 = βi0 Φi (λi ) ,(1)αi1 = βi1 Φi (λi ) + βi0 Φi (λi ) , ...(1)(k)αik = k!βik Φi (λi ) + Ck1 (k − 1)!βik−1 Φi (λi ) + .

Характеристики

Список файлов лекций