1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . · x − λip p , где λi1 , . . . , λip = Spec(J),sik — максимальныйпорядок жордановой клетки,отвечающей λik ;f (Jm1 ,λ1 )0..3) f (J) = для любого f (x) ∈ F [x].0f (Jms ,λs )(f (Jm1 ,λ1 ) определено в пункте 3) леммы 1).Доказательство. 1.многочлена и спектра.Поопределениюхарактеристического2. В силу леммы 2 hJ (x) = H.O.K. (hJm1 ,λ1 (x), . .
. , hJms ,λs (x)).mВ силу леммы 1 hJmi ,λi (x) = (x − λi ) i , i = 1, . . . , s. Следовательно,m1hJ (x) = H.O.K. ((x − λ1 ), . . . , (x − λs )ms)=pYsi k(x − λik ),k=1©ªгде λi1 , . . . , λip = Spec(J), sik — максимальный порядок жордановойклетки, отвечающей собственному значению λk .3. Выполнено в силу лемм 1 и 2.§ 13.¤Векторное пространство как прямаясумма корневых подпространствВ §§ 13–15 будет доказанаТеорема (Жордана).
Пусть ϕ ∈ LF (V, V ), dimF (V ) = n и F— алгебраически замкнутое поле. Тогда существует такой базисa1 , . . . , an пространства V , что [ϕ]a1 ,...,an = J (ϕ), где J(ϕ) —матрица Жордана, которая определяется однозначно, с точностьюдо перестановки клеток.Эквивалентная формулировка в матричной форме:Пусть A ∈ Mn (F ) и F — алгебраически замкнутое поле. Тогдасуществует такая матрица Жордана J(A), что A = T −1 J(A)T ,где T — обратимая матрица. Матрица Жордана J(A) определяетсяоднозначно, с точностью до перестановки клеток.664.
Линейные преобразования векторных пространствВ этом параграфе мы сведём построение матрицы Жорданак ϕ-инвариантному подпространству U , где ϕ|U нильпотентно.Пусть ϕ ∈ L(V, V ) и dimF (V ) = n. Для любого λ ∈ Spec (ϕ)обозначим через Vλ := {v ∈ V : ϕ (v) = λv} множество собственныхвекторов, соответствующих λ n∈ Spec (ϕ), и нулевой.okПоложим V (λ)=v ∈ V : (ϕ − λ · id) (v) = 0, k ∈ N—множество корневых векторов, соответствующих λ ∈ Spec (ϕ).Элемент v ∈ V называется корневым вектором высоты k, еслиkk−1(ϕ − λ · id) (v) = 0 и (ϕ − λ · id)(v) 6= 0.Так как равенство ϕ (v) = λv эквивалентно (ϕ − λ · id) (v) = 0, тоVλ ⊆ V (λ) и собственные векторы являются корневыми векторамивысоты 1.Лемма 1.
1. Vλ , V (λ) — подпространства в V .n2. V (λ) = {v ∈ V : (ϕ − λid) (v) = 0} , где n = dimF (V ).Доказательство. 1. 0 ∈ Vλ ⊆ V (λ), а потому Vλ , V (λ) 6= ∅.Для любых α, β ∈ F , u, v ∈ Vλ имеем ϕ (αu + βv) = αϕ (u) +βϕ (v) = λ (αu + βv). Следовательно, αu + βv ∈ Vλ и Vλ — линейноеподпространство в V .Для любых α, β ∈ F , u, v ∈ Vλ существуют такие k, m ∈ N, чтоkm(ϕ − λ · id) (u) = (ϕ − λ · id) (v) = 0. Пусть s = max {k, m} , тогдаsss(ϕ − λ · id) (αu + βv) = α (ϕ − λ · id) (u) + β (ϕ − λ · id) (v) = 0.Следовательно, αu + βv ∈ V (λ) и V (λ) — подпространство в V .2. Пусть a1 , . . .
, am — некоторый базис V (λ). Ясно, что m ≤n = dimF (V ) . Тогда существуют такие ki ,i = 1, . . . , m, чтоki(ϕ − λ · id) (ai ) = 0. Пусть k = max {k1 , . . . , km } . Для любых αi ∈ F,i = 1, . . . , m, выполняетсяk(ϕ − λ · id)mXi=1αi ai =mXkαi (ϕ − λ · id) ai = 0i=1и (ϕ − λ · id) нильпотентно на V (λ). В силу следствия 1 § 11 индекснильпотентности (ϕ − λ · id) на V (λ) меньше либо равен m, поэтомуnn(ϕ − λ · id) = 0 на V (λ), и V (λ) = {v ∈ V : (ϕ − λ · id) (v) = 0} .¤Теорема 1 (Жордана). (Представление пространства в видепрямой суммы инвариантных корневых подпространств.) Пусть ϕ ∈67§ 13.
Векторное пространство как прямая суммаLF (V, V ), fϕ (x) =pQi=1ni(x − λi ), где λi 6= λj , при i 6= j, Spec (ϕ) ={λ1 , . . . , λp } ⊆ F. Тогда справедливы следующие утверждения.1. V = V (λ1 ) ⊕ . . . ⊕ V (λp ), где V (λi ) — ϕ-инвариантныеподпространства в V .2. dimF V (λi ) = ni и Spec ϕ|V (λ ) = λi , т. е. λi — единственноеiсобственное значение ϕ на V (λi ) , i = 1, .
. . , p.3.Преобразование(ϕ − λi · id)нильпотентнонаV (λi )и невырождено на Vi = V (λ1 ) ⊕ . . . ⊕ V\(λi ) ⊕ . . . ⊕ V (λp ) , i = 1, . . . , p.QnДоказательство. Обозначим fi (x) =(x − λj ) j , i = 1, . . . , p, т. е.j6=ifi (x) =fϕ (x)n1nn. . . (x \− λi ) i . . . (x − λp ) p .n = (x − λ1 )(x − λi ) iЯсно, что Н.О.Д. (f1 (x) , . . . , fp (x)) = 1. Следовательно, существуютg1 (x) , . . . , gp (x) ∈ F [x] , такие, чтоpXfi (x) gi (x) = 1.(1)i=1Заметим, что для любого ψ ∈ L (V, V ) множество ψ (V ) ={ψ (v) : v ∈ V } является линейным пространством. Действительно, 0 =ψ (0) ∈ ψ (V ), и для любых α, β ∈ F , ψ (u) , ψ (v) ∈ ψ (V ) имеемαψ (u) + βψ (v) = ψ (αu + βv) ∈ ψ (V ).
Значит, Wi = fi (ϕ) gi (ϕ) V ={fi (ϕ) gi (ϕ) (v) : v ∈ V } — линейное подпространство в V при i =1, . . . , p. Заметим, чтоϕ (Wi ) = ϕfi (ϕ) gi (ϕ) (V ) = fi (ϕ) gi (ϕ) ϕ (V ) ⊆ fi (ϕ) gi (ϕ) (V ) ⊆ Wiдля любого i = 1, . . . , p, что означает ϕ-инвариантность Wi .По теореме Гамильтона — Кэли имеем:(ϕ − λi · id)niWi = (ϕ − λi · id)nifi (ϕ) gi (ϕ) (V ) = fϕ (ϕ) gi (ϕ) (V ) = 0,а потому Wi ⊆ V (λi ) . Подставив x = ϕ в (1), получимpXµСледовательно,fi (ϕ) · gi (ϕ) = id.i=1pPi=1¶fi (ϕ) · gi (ϕ) (V ) = id (V ) = V, илиV =pXi=1fi (ϕ) · gi (ϕ) (V ) =pXi=1Wi .684.
Линейные преобразования векторных пространствppPPWi ⊆V (λi ) ⊆ V, поэтому V =V (λi ) .i=1i=1Ã i=1!PPПусть v ∈ V (λi ) ∩V (λj ) . Тогда v =vj , где vj ∈ V (λj ) .Имеем V =pPj6=ij6=inПо пункту 2) леммы 1 (ϕ − λi · id) v = 0. Более того, имеем:YYXnn(ϕ − λj · id) (v) = (ϕ − λj · id) v` =j6=ij6=i=X`6=i`6=iYn (ϕ − λj · id) v` = 0.j6=inОчевидно, что многочлены ai (x) = (x − λi )и bi (x) =Qn(x − λj ) ,j6=ii = 1, . . .
, p, взаимно просты. Следовательно, существуют такие ci (x)и di (x) ∈ F [x] , что ci (x) · ai (x) + di (x) · bi (x) = 1, откудаci (ϕ) · ai (ϕ) + di (ϕ) · bi (ϕ) = id,Ãи V (λi ) ∩P0 = ci (ϕ) ai (ϕ) (v) + di (ϕ) bi (ϕ) (v) = v!V (λj )= 0, i = 1, . . . , p. Таким образом, V = V (λ1 ) ⊕j6=i. . . ⊕ V (λp ) .Имеем: V = W1 + . . . + Wp , Wi ⊆ V (λi ) , i = 1, . . . , p. Следовательно,V = W1 ⊕. .
.⊕Wp , откуда Wi = V (λi ) = fi (ϕ) gi (ϕ) V и V (λi ) являютсяϕ-инвариантными при i = 1, . . . , p. Пункт 1) теоремы доказан.nnДалее (ϕ − λi · id) i V (λi )=(ϕ − λi · id) i fi (ϕ) gi (ϕ) V=fϕ (ϕ) gi (ϕ) V = 0, и (ϕ − λi · id) нильпотентно на V (λi ), i = 1, . . . , p.Тогда минимальный многочлен ϕ на V (λi ) является делителемn(x − λi · id) i , i = 1, . . . , p.
Следовательно, Spec(ϕ|V (λi ) ) = λi ,i = 1, . . . , p.Выберем в каждом V (λi ) базис, тогда их объединение a1 , . . . , an —базис V . В этом базисе по лемме 1 § 8A10..[ϕ]a1 ,...,an = ,.0Ap69§ 14. Теорема Жордана — существованиеmiгде Ai ∈ Mmi (F ), mi = dimF V (λi ). По лемме 1 § 10 fAi (x) = (x − λi )i = 1, .
. . , p, и по лемме 1 § 8fϕ (x) = f[ϕ]a1 ,...,an(x) =pYfAi (x) =i=1pYi=1mi(x − λi )=pYni(x − λi ),,i=1где λi 6= λj при i 6= j. Так как F [x] — факториальное кольцо, то mi = niпри i = 1, . . . , p. Следовательно, dimF V (λi ) = ni , i = 1, . . . , p, и пункт2) теоремы доказан.Осталосьдоказать,что(ϕ − λi · id)—невырожденное\преобразование на Vi = V (λ1 ) ⊕ .
. . ⊕ V (λi ) ⊕ . . . ⊕ V (λp ) ,i = 1, . . . , p. В силу теоремы 1 § 1.19, (ϕ − λi · id) невырожденона Vi ⇔ Ker (ϕ − λi · id)|V = 0. Пусть v ∈ Vi и (ϕ − λi · id) v = 0. Тогдаiv ∈ V (λi ), откуда v ∈ V (λi ) ∩ Vi = 0 и v = 0.¤§ 14.Теорема Жордана — существованиежордановой нормальной формыДоказательство теоремы мы начнём со случая нильпотентногопреобразования.
Пусть ϕ ∈ L (V, V ) и ϕ нильпотентно индекса m на V .В силу следствия 1 § 11 m ≤ n = dimF (V ).Система линейно независимых векторов a, ϕ (a) , . . . , ϕk−1 (a), гдеϕ (a) = 0, называется цепочкой длины k. Ясно, что h(a) = k. С другойстороны, в силу леммы 1 § 11 для любого a ∈ V такого, что h(a) = k,множество a, ϕ (a) , . . . , ϕk−1 (a) образует цепочку.kБазиспространстваV,состоящийизцепочекai , ϕ (ai ) , . . . , ϕki −1 (ai ), где i = 1, . . .
, p, k1 + . . . + kp = n, называетсябазисом Жордана. Ясно, что в этом базисеJk1 ,00..[ϕ] = — матрица Жордана..0Jkp ,0Лемма 1. Пусть ϕ ∈ L (V, V ) и ϕ нильпотентно индекса m на V .Тогда ϕ имеет базис Жордана.Доказательство индукцией по m. При m = 1 имеем ϕ = 0.Тогда любой базис a1 , . . . , an , n = dimF (V ), является объединением704. Линейные преобразования векторных пространствцепочек длины 1, т. е. образует базис Жордана. Предположим, чтоутверждение верно для преобразований индекса ≤ m − 1. Рассмотримподпространство ϕ (V ) ⊆ V .
Ясно, что ϕ (V ) является ϕ-инвариантными ϕ нильпотентно на ϕ (V ) индекса m − 1. По предположению индукцииϕ|ϕ(V ) имеет базис Жордана. Так как для любого x ∈ ϕ (V ) существуетy ∈ V такой, что x = ϕ (y), то можно записать этот базис в видеpPϕ (ai ) , . . . , ϕki (ai ), i = 1, . . .
, p,ki = dimF ϕ (V ) . Докажем, чтоi=1система {ai , ϕ (ai ) , . . . , ϕki (ai ) , i = 1, . . . , p} состоит из линейнонезависимых векторов. Пустьp XkiXαij ϕj (ai ) = 0, где αij ∈ F.i=1 j=0Тогдаp Xp XkikiXXϕαij ϕj (ai ) =αij ϕj+1 (ai ) = 0,i=1 j=0i=1 j=0откуда αij = 0 при i = 1, . . . , p, j = 0, . . . , ki − 1, так как ϕj (ai ) — базисpPϕ(V ) при i = 1, . . . , p, j = 1, . .
. , ki . Следовательно,αiki ϕki (ai ) = 0i=1и αiki = 0, i = 1, . . . , p, по тем же причинам. Если t =pPi=1(ki + 1) = n,то построенные цепочки — базис Жордана. Если t < n, то дополнимнайденную систему векторами b1 , . . . , b` до базиса V .Для любого s = 1, . . . , ` имеем ϕ (bs ) ∈ ϕ (V ) . Следовательно, мыможем однозначно разложить эти векторы по базису ϕ(V ):ϕ (bs ) =p XkiX(s)βij ϕj (ai ) ,i=1 j=1(s)где βij ∈ F, s = 1, . . . , `.
С другой стороны, ϕ (bs ) = ϕ (cs ) , гдеcs =p XkiX(s)βij ϕj−1 (ai ) , s = 1, . . . , `.i=1 j=1Тогда ϕ (bs − cs ) = 0, s = 1, . . . , `, т. е. векторы bs − cs образуют цепочкидлины 1.71§ 14. Теорема Жордана — существование©ªДокажем, что ϕj (ai ), bs − cs : i = 1, . . . , p, j = 0, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
