1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. . + βi0 Φi (λi ) .Так как Φi (λi ) 6= 0, то из первого уравнения находим βi0 , подставляемего во второе уравнение и находим βi1 и т. д. По индукции находим всеsPβij , 0 ≤ j ≤ k, все p1 (x) , p2 (x) , . . . , ps (x) и p (x) =pi (x).¤i=179§ 18. Представление функций от матриц многочленамиТеорема 1 (о представлении функций от матриц многочленами).Значение любой числовой функции от A ∈ Mn (C) можно представитьмногочленом от A. Значение любой числовой функции A ∈ Mn (C)не зависит от выбора базиса Жордана.Доказательство. Пусть f (x) — комплекснозначная функция, f :C → C и f (A) определено.
Докажем, что существует такой p (x) ∈ C [x] ,что f (A) = p(A). ПустьJm1 ,λ10−1..A = T −1 · · T = T · J (A) · T,.0Jms ,λsгде m1 +. . .+ms = n. Отметим, что в силу теоремы 1 § 15 J(A) не зависитот выбора базиса Жордана. По определениюf (Jm1 ,λ1 )0..f (A) = T −1 · · T..0f (Jms ,λs )По лемме 1 существует такой многочлен p (x) ∈ C [x], что выполняетсяследующее равенствоf (λ1 ) f (1) (λ1 ) · · · f (m1 −1) (λ1 ) 0··· 0 ....
= .. f (λs ) f (1) (λs ) · · ·p (λ1 ) p(1) (λ1 ) · · · ..= .p (λs )p(1) (λs )···f (ms −1) (λs )p(m1 −1) (λ1 ) 0······p(ms −1) (λs ) · · ·00.. . 0(без ограничения общности можно считать, что λi 6= λj ). Тогдасправедливоf (Jm1 ,λ1 )0..f (A) = T −1 T =.0f (Jms ,λs )p (Jm1 ,λ1 )0..T −1 T = p (A) ,.0p (Jms ,λs )804. Линейные преобразования векторных пространстви f (A) = p (A) = p (x)|x=A по теореме 1 § 17. Так как многочленp(x) определяется матрицей A, то f (A) не зависит от выбора базисаЖордана.¤Глава 5Евклидовы и унитарныепространстваВ этой главе мы изучим строение линейных преобразованийвекторных пространств со скалярным произведением; всепространства рассматриваются над полем F , где либо F ' R,либо F ' C.§ 1.Аксиоматика и примеры унитарныхи евклидовых пространствЛинейное пространство V над полем F называется унитарным, еслиопределено отображение ( , ) : V × V → F , называемое скалярнымпроизведением векторов, обладающее следующими свойствами:1)2)3)4)(a, b) = (b, a) для любых a, b ∈ V ;(αa, b) = α (a, b) для любых a, b ∈ V, α ∈ F ;(a + b, c) = (a, c) + (b, c) для любых a, b, c ∈ V ;если a 6= 0, то (a, a) ∈ R и (a, a) > 0.Если F = R, то унитарное пространство V называется евклидовым.В случае евклидовых пространств имеем следующие аксиомы:1) (a, b) = (b, a);2) (αa, b) = α (a, b);3) (a + b, c) = (a, c) + (b, c);825.
Евклидовы и унитарные пространства4) если a 6= 0, то (a, a) > 0.Простейшие свойства.Пусть V — унитарное пространство, тогда:1) для любых a, b ∈ V, α, β ∈ F имеем (αa, βb) = αβ (a, b) :(αa, βb) = α (a, βb) = α(βb, a) = α(β (b, a)) =αβ · (b, a) = αβ(a, b) = αβ (a, b) ;2) для любых a, b, c ∈ V имеем (a, b + c) = (a, b) + (a, c) :(a, b + c) = (b + c, a) = (b, a) + (c, a) = (b, a) + (c, a) = (a, b) + (a, c) ;PPP3) ( αi ai ,βj bj ) =i,j αi βj (ai , bj ) , что является следствиемаксиом 1) и 2);4) (a, 0) = (0, a) = 0 : действительно, (a, 0) = (a, 0 · a) = 0 · (a, 0) = 0.Примеры.
1. Rn — n-мерное пространство строк над R, Rn ={(α1 , . . . , αn ) : αi ∈ R}. Определим на Rn скалярное произведение: a =(α1 , . . . , αn ) , b = (b1 , . . . , bn ), тогда положим (a, b) = α1 b1 + . . . + αn bn .Очевидно, что hRn , ( , )i — евклидово пространство.2. Cn — n-мерное пространство строк над C, Cn{(α1 , . .
. , αn ) : αi ∈ C}. Определим на Cn скалярное произведение:=(a, b) = α1 β1 + . . . + αn βn , если a = (α1 , . . . , αn ) , b = (β1 , . . . , βn ) .22Тогда (a, a) = α1 α1 + . . . + αn αn = |α1 | + . . . + |αn | > 0, если a 6= 0.3. Пример бесконечномерного унитарного пространства:{f : f ∈ R [0, 1]} — пространство непрерывных функций наОчевидно, что V — бесконечномерное векторное пространство(1, x, .
. . , xn — линейно независимые векторы для любого nОпределим ( , ):Z1(f, g) = f (x)g (x) dx.V =[0, 1].над R∈ N).0Так как f (x) g (x) ∈ R [0, 1], то интеграли конечен. Далее1) (f, g) = (g, f );R10f (x)g (x) dx существует§ 2. Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши — Буняковского 832) (αf, g) =R1αf (x)g (x) dx = α03) (f + h, g) =4) (f, f ) =R1R10(f + h)gdx =R1R1f (x)g (x) dx = α (f, g) ;0f gdx +0R1hgdx = (f, g) + (h, g);0f 2 dx > 0, если f 6= 0.0§ 2.Длина вектора и расстояние. Неравенство Коши — БуняковскогоПусть V — унитарное пространство над F .
Для a ∈ V число kak =p(a, a) называется длиной вектора a. Ясно, что k k : V → R. Отметимпростейшие свойства длины:1) kak = 0 ⇔ a = 0 :pkak = 0 ⇒ (a, a) = 0 ⇒ (a, a) = 0 ⇒ a = 0 ⇒ kak = 0;2) для любых α ∈ F , a ∈ V выполняется kαak = |α| · kak :qpp2kαak = (αa, αa) = α · α (a, a) = |α| · (a, a) = |α| · kak ;° °° a °13) для любого ненулевого a ∈ V имеем ° kak· kak = 1.° = kakВектор a ∈ V называется нормированным, если kak = 1. Такимaобразом, kak— нормированный вектор для любого ненулевого a ∈ V .Теорема 1 (неравенство Коши — Буняковского). Для любых a, b ∈V выполняется неравенство |(a, b)| ≤ kak · kbk , причём равенстводостигается в том и только в том случае, когда a и b линейнозависимы.Доказательство.
Для любого λ ∈ F имеем (a − λb, a − λb) ≥ 0, или(a, a) − (λb, a) − (a, λb) + (λb, λb) ≥ 0,(a, a) − λ(a, b) − λ (a, b) + λλ (b, b) ≥ 0.Если b = 0, то доказываемое неравенство тривиально. Поэтому считаем,что b 6= 0. Подставив λ = (a,b)(b,b) , получим:(a, a) −(a, b) · (a, b) (a, b) · (a, b) (a, b) (a, b)−+≥ 0.(b, b)(b, b)(b, b)845. Евклидовы и унитарные пространства2Следовательно, (a, a) · (b, b) − (a, b) · (a, b) ≥ 0 и (a, a) · (b, b) ≥ |(a, b)| .Таким образом,|(a, b)| ≤ kak · kbk .Если a и b линейно независимы, то a − λb 6= 0 для любого λ ∈ Fи (a − λb, a − λb) > 0. Повторяя рассуждения, получим |(a, b)| < kak ·kbk . Если a и b линейно зависимы, например, a = αb для α ∈ F , то|(a, b)| =qpp2|(αb, b)| = |α|·|(b, b)| = |α| (b, b) (b, b) = |α| (b, b)·kbk = kak·kbk .
¤Следствие 1. Для любых α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn ∈ C выполняетсяq¯¯ q¯α1 β1 + . . . + αn βn ¯ ≤ |α1 |2 + . . . + |αn |2 · |β1 |2 + . . . + |βn |2 .Доказательство. Пусть Vn — унитарное пространство строк над C.Тогда если a = (α1 , . . . , αn ), b = (β1 , . . . , βn ), то (a, b) = α1 β 1 +. . .+αn β n ,q2222(a, a) = |α1 | + . .
. + |αn | ⇒ kak = |α1 | + . . . + |αn | ,22(b, b) = |β1 | + . . . + |βn | ⇒ kbk =q22|β1 | + . . . + |βn |и в силу неравенства Коши — Буняковского |(a, b)| ≤ kak · kbk.¤Аналогично доказывается, что¯ 1¯2¯Z¯Z1Z1¯¯¯ f (t) g (t) dt¯ ≤ f (t)2 dt · g (t)2 dt.¯¯¯¯000Следствие 2. Пусть V — унитарное пространство. Тогда длялюбых a, b ∈ V выполняется неравенство ka + bk ≤ kak + kbk(неравенство треугольника).2Доказательство. Имеем ka + bk = (a + b, a + b) = (a, a) + (a, b) +(a, b) + (b, b) = (a, a) + 2Re (a, b) + (b, b) . Так как Re (a, b) ≤ |(a, b)| ≤222kak·kbk, то ka + bk ≤ (a, a)+2 kak·kbk+(b, b) = kak +2 kak·kbk+kbk =2¤(kak + kbk) . Следовательно, ka + bk ≤ kak + kbk .Пусть V — линейное пространство над C. Отображение ρ : V ×V → Rназывается расстоянием на V , если выполнено следующее:§ 3.
Процесс ортогонализации Грама — Шмидта851) ρ (a, b) > 0, если a 6= b; ρ (a, a) = 0;2) ρ (a, b) = ρ (b, a) ;3) ρ (a, b) + ρ (b, c) ≥ ρ (a, c) .Следствие 3. Пусть V — унитарное пространство, тогдаρ (a, b) = ka − bk является расстоянием.Доказательство. Пункты 1) и 2) очевидны. Докажем 3): ρ (a, c) =ka − ck = ka − b + b − ck ≤ ka − bk + kb − ck = ρ (a, b) + ρ (b, c).¤§ 3.Процесс ортогонализации Грама – ШмидтаВекторы a, b ∈ V называются ортогональными, если (a, b) = 0.Обозначение: a ⊥ b. Очевидно, что a ⊥ b ⇔ b ⊥ a.
Заметим, что0 ⊥ a для любого a ∈ V . Система векторов a1 , . . . , an ∈ V называетсяортогональной, если (ai , aj ) = 0 при i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n. Системавекторов a1 , . . . , an ∈ V называется ортонормированной, если½0, i 6= j,(ai , aj ) = δij =1 ≤ i, j ≤ n.1, i = j,Лемма 1. Пусть a1 , . . . , am — ортогональная система ненулевыхвекторов пространства V . Тогда:1) a1 , . . . , am — линейно независимая система;2) система a1 , .
. . , am может быть дополнена до ортогональногобазиса V ;3) если a1 , . . . , am — ортонормированная система, то она можетбыть дополнена до ортонормированного базиса.mPДоказательство. 1. Пустьαi ai = 0, где αi ∈ F . Тогда для любогоi, 1 ≤ i ≤ n, имеем (mPi=1i=1αi ai , ai ) = αi (ai , ai ) = 0. Так как (ai , ai ) 6= 0, тоαi = 0.2. В силу доказанного в предыдущем пункте a1 , . . . , am — линейнонезависимые векторы.
Следовательно, m ≤ dimF (V ) = n. Среди всехортогональных систем ненулевых векторов вида a1 , . . . , am , am+1 , . . . , as ,m ≤ s ≤ n, выберем такую, что s — максимальное число. Так какm ≤ s ≤ n, такая система существует. Докажем, что a1 , . . . , as — базис(x,ak )V . Пусть x — произвольный вектор из V . Обозначим αk = (a,k=k ,ak )1, 2, .
. . , s, и y = α1 a1 +. . .+αs as . Тогда (y, ak ) = αk (ak , ak ) = (x, ak ), т. е.865. Евклидовы и унитарные пространства(x − y, ak ) = 0 при k = 1, 2, . . . , s. Значит, x−y = 0 и x = α1 a1 +. . .+αs as .Следовательно, a1 , . . . , as — базис V .3. Так как a1 , . . . , am — ортонормированная система, то она состоитиз ненулевых векторов (поскольку (ai , ai ) = 1). В силу пункта 2существует ортогональная система a1 , .
. . , am , am+1 , . . . , an ненулевыхвекторов, образующих базис V . Тогда (ai , ai ) 6= 0 для любого i. Системаanm+1¤a1 , . . . , am , ||aam+1|| , . . . , ||an || является искомой.Существует прямой способ построения ортонормированной базы.Теорема 1 (процесс ортогонализации Грама — Шмидта).В любом конечномерном унитарном пространстве существуетортонормированный базис.Доказательство.Выберемпроизвольныйбазиспространства V . Положимa1 = `1 ,a2 = α2,1 a1 + `2 ,−−−−−−−−−−−−−−−ak = αk,1 a1 + . .
. + αk,k−1 ak−1 + `k ,`1 , . . . , `nгде α2,1 , . . . , αk,k−1 ∈ F — неизвестные коэффициенты. Докажем, чтоможно найти такие коэффициенты α2,1 , . . . , αk,k−1 ∈ F , что a1 , . . . , ak— ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов. При k = 1вектор a1 ненулевой.Предположим, что a1 , . . . , ak−1 — ортогональная система, состоящаяиз ненулевых векторов. Тогда(a1 , ak ) = αk,1 (a1 , a1 ) + (a1 , `k ) ,(a2 , ak ) = αk,2 (a2 , a2 ) + (a2 , `k ) ,− − − − − − − − − − − − −−(ak−1 , ak ) = αk,k−1 (ak−1 , ak−1 ) + (ak−1 , `k ) .Положим (a1 , ak ) = .
. . = (ak−1 , ak ) = 0. Тогдаαk,1 = −(a1 , `k )(ak−1 , `k ), . . . , αk,k−1 = −,(a1 , a1 )(ak−1 , ak−1 )так как (a1 , a1 ) , . . . , (ak−1 , ak−1 ) — ненулевые числа. Очевидно, что ak 6=0, поскольку e1 , . . . , ek линейно независимы. Тогда a1 , . . . , ak — искомаясистема.¤87§ 5. Пространство как ортогональная сумма подпространств§ 4.Ортогональные суммы и ортогональныедополненияДва подмножества M, N ⊆ V называются ортогональными, если(a, b) = 0 для любых a ∈ M, b ∈ N . Обозначение: M ⊥ N .
СуммаmPподпространств U =Ui называется ортогональной, если Ui ⊥Uj дляi=1всех 1 ≤ i 6= j ≤ m. Множество всех векторов ортогональных к M , гдеM ⊆ V , называется ортогональным дополнением к M и обозначаетсячерез M ⊥ . Таким образом, M ⊥ = {m ∈ V : (m, M ) = 0}.Лемма 1. 1. Если M ⊥N , то M ∩ N = ∅ или M ∩ N = 0.mP2. Если U =Ui — ортогональная сумма подпространств, тоi=1mmPi=1i=1U = ⊕ Ui — прямая сумма. При этом если a =ai , bi ∈ Ui , 1 ≤ i ≤ m, то (a, b) =mPi=1ai , b =mPi=1bi , где(ai , bi ).3. Для любого подмножества M ⊆ V множество M ⊥ являетсяподпространством пространства V .Доказательство.
1. Пусть M ∩ N 6= ∅ и a ∈ M ∩ N . Тогда (a, a) = 0и a = 0.P2. Нетрудно заметить, что Ui ⊥ ( Uj ) для любого 1 ≤ i ≤ m,j6P=iпоэтому в силу пункта 1) имеем Ui ∩ ( Uj ) = 0.j6=iДалее (a, b) = (mPi=1ai ,mPj=1bj ) =mPi=1(ai , bi ).3. Для любых a, b ∈ M ⊥ и α, β ∈ F имеем (αa + βb, M ) ⊆ α (a, M ) +β (b, M ) = 0. Следовательно, αa + βb ∈ M ⊥ , (0, M ) = 0, а потому M ⊥ —подпространство в V .¤§ 5.Пространство как ортогональная суммаподпространств U и U ⊥Теорема 1. Пусть U — произвольное подпространство в V . ТогдаV = U ⊕ U ⊥.885. Евклидовы и унитарные пространстваДоказательство. Пусть e1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
