Главная » Просмотр файлов » 1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c

1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 17

Файл №826568 1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции) 17 страница1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568) страница 172021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

. . , αn ), αi ∈ Spec (ϕ) ⊆ R.Доказательство. В силу теоремы 1 § 8 и теоремы 1 § 10 существуетортонормированный базис a1 , . . . , an в V такой, что[ϕ]a1 ,...,an = A1..00,.Ak¶ai −bi, где ρi =bi aiai + ibi ∈ Spec (ϕ) и ρi ∈/ R, i = 1, . . . , k. В силу леммы 1 § 13 Spec (ϕ) ⊆R, поэтому αi ∈ R и [ϕ]a1 ,...,an = diag(α1 , .

. . , αn ), где αi ∈ R и ai —собственные векторы ϕ при 1 ≤ i ≤ n.µгде Ai = αi , если αi ∈ Spec (ϕ) ∩ R, или Ai =τОбратно, [ϕ]a1 ,...,an = [ϕ]a1 ,...,an = [ϕ∗ ]a1 ,...,an , т. е. ϕ = ϕ∗ .¤Следствие. 1. Для любой эрмитовой матрицы A существуеттакая унитарная матрица U , что U AU −1 — вещественнаядиагональная матрица. 2. Для любой симметрической матрицыA существует такая ортогональная матрица U , что U AU −1 —вещественная диагональная матрица.Доказательство.Пусть`1 , . .

. , `n—произвольныйортонормированный базис и ϕ ∈ L (V, V ) такое, что [ϕ]`1 ,...,`n = A.Тогда по теореме 1 существует такой ортонормированный базисb1 , . . . , bn , состоящий из собственных векторов ϕ, что [ϕ]b1 ,...,bn =diag (α1 , . . . , αn ), αi ∈ R. Пусть U — матрица перехода от `1 , .

. . , `nк b1 , . . . , bn . В силу леммы 2 § 11 U — унитарная (ортогональнаяв случае F ' R) матрица. Поскольку [ϕ]b1 ,...,bn = U [ϕ]a1 ,...,an U −1 ,то diag (α1 , . . . , αn ) = U AU −1 .¤§ 15. Положительные и неотрицательные эрмитовы преобразования 101§ 15.Положительные и неотрицательныеэрмитовы преобразованияПусть V — унитарное пространство над F , где F ' C или F ' R.Эрмитово преобразование ϕ ∈ L (V, V ) называется неотрицательным,если (ϕ (x) , x) ≥ 0 для всех x ∈ V . Обозначение: ϕ ≥ 0. Эрмитовопреобразование ϕ называется положительным, если (ϕ (x) , x) > 0 длявсех x ∈ V . Обозначение: ϕ > 0. Аналогичные определения для матриц:если A ∈ Mn (F ), то A ≥ 0, если (xA, x) ≥ 0 для любого x ∈ Fn .Очевидно, что 0 ≥ 0, id > 0.Лемма 1 (основные свойства).1. Если α, β ≥ 0, ϕ, ψ ≥ 0, то αϕ + βψ ≥ 0.2. Если ϕ ∈ L (V, V ), то ϕ ◦ ϕ∗ ≥ 0.3.

Если ϕ эрмитово, то ϕ2 ≥ 0.4. ϕ ≥ 0 (> 0) ⇔ ϕ эрмитово и α ≥ 0 (> 0) для любого α ∈ Spec (ϕ).5. Если f (x) ∈ R [x] , f (x) = α0 + . . . + αm xm , αi ≥ 0, ϕ ≥ 0, тоf (ϕ) ≥ 0.Доказательство. 1. Для любого x ∈ V имеем ((αϕ + βψ) (x) , x) =∗α (ϕ (x) , x) + β (ψ (x) , x) ≥ 0, (αϕ + βψ) = αϕ∗ + βψ ∗ = αϕ + βψ.∗∗2–3. (ϕϕ∗ ) = (ϕ∗ ) ϕ∗ = ϕϕ∗ , т. е. ϕϕ∗ эрмитово. Для любого x ∈ Vимеем((ϕϕ∗ ) (x) , x) = (ϕ∗ (ϕ (x)) , x) = (ϕ (x) , ϕ (x)) ≥ 0.4. Если ϕ эрмитово, то по теореме 1 § 14 существуетортонормированный базис a1 , . . . , an в V , состоящий из собственныхвекторов, причём ϕ (ai ) = αi ai , где αi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n.

ТогдаnPдля любого x ∈ V имеем x =γi ai , для некоторых γi ∈ F ,i=1µ n¶nPPи ϕ (x) = ϕγi ai =γi αi ai , поэтомуi=1(ϕ (x) , x) = (i=1nXi=1γi α i a i ,nXi=1γi ai ) =nXi=1αi γi γi =nX2αi |γi | .i=1Следовательно, (ϕ (x) , x) ≥ 0 тогда и только тогда, когдаnPi=12αi |γi | ≥ 0для любых γ1 , . . . , γn ∈ F . Положим γ1 = 0, . . . , γk = 1, . . . , γn = 0 приnP2k = 1, .

. . , n. Тогда αk ≥ 0 при всех 1 ≤ k ≤ n ⇔αi |γi | ≥ 0 дляi=11025. Евклидовы и унитарные пространствалюбых γ1 , . . . , γn ∈ F . Аналогично (ϕ (x) , x) > 0 тогда и только тогда,когда α1 > 0, . . . , αn > 0.5. Заметим, что Spec f (ϕ) ⊆ R+ . Это следует из выбора f и свойств¤функций от матриц. Далее применяем пункты 1) и 4).Лемма 2. Пусть φ, ψ — симметрические преобразованияи φψ = ψφ. Тогда φ, ψ обладают общим ортонормированным базисомиз собственных векторов.Доказательство. Пусть λ ∈ Spec φ. Рассмотрим пространство Vλ .Для любого v ∈ Vλ имеем φ(ψ(v)) = ψ(φ(v)) = λψ(v).

Следовательно,Vλ инвариантно относительно ψ. Если ψ не было бы диагонализируемона Vλ , то его минимальный многочлен имел бы кратный множитель,что невозможно (это также следует из самосопряжённости ψ).Таким образом, можно выбрать базис из собственных векторови ортонормировать его.¤Лемма 3.

Для каждого неотрицательного преобразованияϕ унитарного пространства Vсуществует единственноенеотрицательное преобразование ψ такое, что ψ 2 = φ. При этомесли φ > 0, то и ψ > 0, r(φ) = r(ψ), φψ = ψφ.Доказательство. Пусть e1 , . . . , en — отронормированный базисиз собственных векторов для φ, φ(ei ) = λi e√i , λi ≥ 0. Пусть ψ — линейноепреобразование, для которого ψ(ei ) =λi ei .

Тогда ψ ∗ = ψ ≥ 02и для любого i = 1, . . . , n выполняется ψ (ei ) = λi ei = φ(ei ), так чтоψ 2 = φ. Ясно, что r(φ) = r(ψ), φψ = ψφ. Докажем единственность. Мызнаем, что существует многочлен p(t) такой, что p(φ) = ψ (так как ϕ√диагонализируемо, то существует ϕ). Если θ ≥ 0, θ2 = φ, то ψ = p(φ) =2p(θ ).

Тогда ψθ = θψ и по лемме 2 существуют унитарная матрица Uи такие диагональные матрицы Λi , что U ∗ ψU = Λ1 , U ∗ θU = Λ2 . ТогдаΛ21 = Λ22 , откуда Λ1 = Λ2 и θ = ψ.¤Следствие. φ = φ∗ ≥ 0 ⇔ φ = ψ 2 , ψ = ψ ∗ ⇔ φ = ψψ ∗ .§ 16.¤Сингулярное и полярное разложениелинейного преобразованияПусть V — унитарное пространство над F , где F ' C или F ' R,ϕ — произвольное линейное отображение из L (V, V ). Представлениеϕ = u◦h = h1 ◦u1 , где h, h1 — неотрицательные преобразования, а u, u1 —§ 16. Сингулярное и полярное разложение103унитарные преобразования, называется полярным разложением ϕ. Мыдокажем, что для любого ϕ ∈ L (V, V ) существует полярное разложение.Лемма 1.

Преобразования φφ∗ и φ∗ φ имеют одинаковый спектр.Доказательство. Пусть e1 , . . . , en — ортонормированный базисиз собственных векторов преобразования φ ◦ φ∗ , φ ◦ φ∗ (ei ) = ρ2i ei , ρi ≥ 0,причём ρ21 ≥ ρ22 ≥ . . . ≥ ρ2k > 0, ρk+1 = . . . = ρn = 0. Рассмотримa1 = φ(e1 ), .

. . , ak = φ(ek ). Имеем:(ai , aj ) = (φ(ei ), φ(ej )) = (φ∗ φ(ei ), ej ) = ρ2i (ei , ej ).Кроме того, ||ai ||2 = (φ(ei ), φ(ei )) = ρ2i (ei , ei ) > 0. Итак, a1 , . . . , ak —ортогональная система ненулевых векторов. Далее φφ∗ (ai ) = φφ∗ φ(ei ) =ρ2i φ(ei ) = ρ2i ai . Следовательно, φ∗ ◦ φ имеет собственные значенияρ21 , . . . , ρ2k , т. е. все ненулевые собственные значения φ∗ φ являютсясобственными значениями и для φφ∗ .

Ясно, что верно и обратное.¤Арифметические значения квадратных корней из общихсобственных значений φφ∗ и φ∗ φ называются сингулярными числамипреобразования φ.Лемма 2. Если φ ∈ L(V, V ), то (Ker φ)⊥ = Im φ∗ и (Im φ)⊥ = Ker φ∗ .Доказательство. Если y ∈ Im φ∗ , то y = φ∗ (x), поэтому для любогоv ∈ Ker φ имеем (v, y) = (v, φ∗ (x)) = (φ(v), x) = 0.

Значит, Im φ∗ ⊆(Ker φ)⊥ . Так как r(φ∗ ) = r(φ) = n − dim (Ker φ) = dim (Ker φ)⊥ , тоимеем равенство. Второе равенство получается из первого подстановкойφ∗ вместо φ.¤Следствие. Уравнение φ∗ (x) = a разрешимо ⇔ a ортогонален всемрешениям φ(y) = 0. В частности, φ(x) = a разрешимо для любого a ⇔φ∗ (y) = 0 имеет только нулевые решения.¤Рассмотрим вновь базис e1 , . . . , ek , ek+1 , .

. . , en . Тогда ||φ(ei )|| =||ai || = ρi 6= 0, i = 1, . . . , k, поэтому Lha1 , . . . , ak i = Im φ,Lhek+1 , . . . , en i = Ker φ.Нормируем ai : fi = ||aaii || = aρii , тогда φ(ei ) = ρi fi , i =1, . . . , k. Далее, так как (Im φ)⊥ = Ker φ∗ , то выберем за fk+1 , . . . , fnпроизвольный ортонормированный базис Ker φ∗ ; тогда f1 , . . . , fn —также ортонормированный базис. Имеем:½½ρi fi , i ≤ k,ρi ei , i ≤ k,φ(ei ) =φ∗ (fi ) =(1)0,i > k,0,i > k.1045.

Евклидовы и унитарные пространстваЗаметим, что φ∗ (fi ) = φ∗ ( aρii ) =1 ∗ρi φ φ(ei )= ρi e i .Ортонормированные базисы, связанныеназываются сингулярными базисами.соотношениями(1),Таким образом, нами доказана следующая теорема.Теорема 1. Для любого линейного преобразования унитарногопространства существуют сингулярные базисы.¤Теорема 2.

Для любого ϕ ∈ L (V, V ) существуют ψ, ψ1 ≥ 0и унитарные√ u, u1 , такие,√ что ϕ = uψ = ψ1 u1 . При этом1) ψ = ϕ∗ ϕ, ψ1 = ϕϕ∗ определяются однозначно;2) если ϕ обратимо, то u, u1 определяются однозначно;3) ϕ нормально ⇔ ψu = uψ или u1 ψ1 = ψ1 u1 .Доказательство. Пусть e1 , . . . , en и f1 , . . . , fn — сингулярные базисыпреобразования ϕ. Положим u(ei ) = fi , ψ(fi ) = ρi fi . Тогда u унитарно,ψ ≥ 0. Кроме того, ϕ(ei ) = ρi fi = ψ(fi ) = ψu(ei ), откуда всё следует.Далее ϕ∗ = ψu−1 , поэтому φφ∗ = ψ 2 и ψ определено однозначно. Еслисуществует φ−1 , то u = ϕψ −1 .

Если ψu = uψ, то φφ∗ = φ∗ φ = ψ 2 .Обратно, пусть ψ 2 = φφ∗ = φ∗ φ = uψψu−1 , ψ 2 = u−1 ψ 2 u, uψ 2 = ψ 2 u.Следовательно, uψ = ψu, так как ψ = p(ψ 2 ).¤Глава 6Квадратичные формыВ этой главе мы изучим квадратичные формы и пары форм над Rи их канонический вид.§ 1.Матрица квадратичной формы,поведение при замене неизвестныхеёОднородный многочлен F = F (X) = f (x1 , . . . , xn ) ∈ R [x1 , .

. . , xn ]степени 2 называется квадратичной формой над R.nPПусть F = F (X) =αij xi xj , где αij ∈ R и αij = αji . Тогдаi,j=1A = (αij ) называется матрицей формы F = F (X), X = (x1 , . . . , xn )называются неизвестными формы F .Имеем F = F (X) = XAX τ , где X = (x1 , . . . , xn ). Отметим, чтоA = A, т. е. A — симметрическая матрица.τПусть Y = (y1 , . . . , yn ) — новые неизвестные и x1 = t11 y1 + . .

. + tn1 yn ,−−−−−−−−−−−xn = t1n y1 + . . . + tnn yn ,где T = (tij ) ∈ Mn (R) — обратимая матрица. Тогда X = Y T называетсязаменой неизвестных в форме F = F (X).1066. Квадратичные формыЛемма 1. Пусть F = F (X) = XAX τ , X = Y T — заменанеизвестных. Тогда F = F (Y ) = Y BY τ , где B = T AT τ .τДоказательство. Имеем F = XAX τ = (Y T ) A (Y T )=ττττY (T AT ) Y = Y BY . Следовательно, T AT = B.¤Следствие. Ранг матрицы A равен рангу матрицы B и потомуназывается рангом r(F ) формы F = XAX τ .¤§ 2.Приведениеквадратичнойк главным осямформыФорма F = F (X) = α1 x21 + . . . + αn x2n называется диагональной.

Еслиαi = ±1, то F называется нормальной формой.Теорема 1. Для любой F = F (X) = XAX τ существует такоеортогональное преобразование Q неизвестных X в Y , что F = F (Y ) =Y DY τ — диагональная форма.Доказательство. Пусть `¯ = {`1 , . . . , `n } — некоторый ортонормированный базис Rn , [ϕ]`¯ = A = Aτ . Следовательно, ϕ —симметрическое преобразование. По теореме 1 § 5.14 существует такойортонормированный базис ā = {a1 , .

. . , an }, состоящий из собственныхвекторов ϕ, что [ϕ]ā := D := diag (α1 , . . . , αn ) , αi ∈ R. Пусть Q —матрица перехода от `¯ к ā. По лемме 1 § 5.11 имеем Qτ = Q−1 . ПустьX = Y Q, тогда F = F (Y ) = Y QAQτ Y τ = Y QAQ−1 Y τ = Y [ϕ]ā Y τ =Y DY τ .¤§ 3.АлгоритмЛагранжаприведенияформы к диагональному видуТеорема 1 (алгоритм Лагранжа). Любая квадратичная форма F =nPF (X) =αij xi xj , αij = αji приводится к диагональному видуi,j=1методом выделения полных квадратов.Доказательство индукцией по n.

При n = 1 имеем F = F (x1 ) =α11 x21 .Пусть любая форма от n − 1 неизвестной приводится к диагоnPнальному виду. Рассмотрим F = F (X) =αij xi xj , αij = αji .i,j=1§ 3. Алгоритм Лагранжа приведения к диагональному виду1071. Предположим, что F содержит квадрат хотя бы одногонеизвестного. Пусть, например, α11 6= 0.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее