1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. . , αn ), αi ∈ Spec (ϕ) ⊆ R.Доказательство. В силу теоремы 1 § 8 и теоремы 1 § 10 существуетортонормированный базис a1 , . . . , an в V такой, что[ϕ]a1 ,...,an = A1..00,.Ak¶ai −bi, где ρi =bi aiai + ibi ∈ Spec (ϕ) и ρi ∈/ R, i = 1, . . . , k. В силу леммы 1 § 13 Spec (ϕ) ⊆R, поэтому αi ∈ R и [ϕ]a1 ,...,an = diag(α1 , .
. . , αn ), где αi ∈ R и ai —собственные векторы ϕ при 1 ≤ i ≤ n.µгде Ai = αi , если αi ∈ Spec (ϕ) ∩ R, или Ai =τОбратно, [ϕ]a1 ,...,an = [ϕ]a1 ,...,an = [ϕ∗ ]a1 ,...,an , т. е. ϕ = ϕ∗ .¤Следствие. 1. Для любой эрмитовой матрицы A существуеттакая унитарная матрица U , что U AU −1 — вещественнаядиагональная матрица. 2. Для любой симметрической матрицыA существует такая ортогональная матрица U , что U AU −1 —вещественная диагональная матрица.Доказательство.Пусть`1 , . .
. , `n—произвольныйортонормированный базис и ϕ ∈ L (V, V ) такое, что [ϕ]`1 ,...,`n = A.Тогда по теореме 1 существует такой ортонормированный базисb1 , . . . , bn , состоящий из собственных векторов ϕ, что [ϕ]b1 ,...,bn =diag (α1 , . . . , αn ), αi ∈ R. Пусть U — матрица перехода от `1 , .
. . , `nк b1 , . . . , bn . В силу леммы 2 § 11 U — унитарная (ортогональнаяв случае F ' R) матрица. Поскольку [ϕ]b1 ,...,bn = U [ϕ]a1 ,...,an U −1 ,то diag (α1 , . . . , αn ) = U AU −1 .¤§ 15. Положительные и неотрицательные эрмитовы преобразования 101§ 15.Положительные и неотрицательныеэрмитовы преобразованияПусть V — унитарное пространство над F , где F ' C или F ' R.Эрмитово преобразование ϕ ∈ L (V, V ) называется неотрицательным,если (ϕ (x) , x) ≥ 0 для всех x ∈ V . Обозначение: ϕ ≥ 0. Эрмитовопреобразование ϕ называется положительным, если (ϕ (x) , x) > 0 длявсех x ∈ V . Обозначение: ϕ > 0. Аналогичные определения для матриц:если A ∈ Mn (F ), то A ≥ 0, если (xA, x) ≥ 0 для любого x ∈ Fn .Очевидно, что 0 ≥ 0, id > 0.Лемма 1 (основные свойства).1. Если α, β ≥ 0, ϕ, ψ ≥ 0, то αϕ + βψ ≥ 0.2. Если ϕ ∈ L (V, V ), то ϕ ◦ ϕ∗ ≥ 0.3.
Если ϕ эрмитово, то ϕ2 ≥ 0.4. ϕ ≥ 0 (> 0) ⇔ ϕ эрмитово и α ≥ 0 (> 0) для любого α ∈ Spec (ϕ).5. Если f (x) ∈ R [x] , f (x) = α0 + . . . + αm xm , αi ≥ 0, ϕ ≥ 0, тоf (ϕ) ≥ 0.Доказательство. 1. Для любого x ∈ V имеем ((αϕ + βψ) (x) , x) =∗α (ϕ (x) , x) + β (ψ (x) , x) ≥ 0, (αϕ + βψ) = αϕ∗ + βψ ∗ = αϕ + βψ.∗∗2–3. (ϕϕ∗ ) = (ϕ∗ ) ϕ∗ = ϕϕ∗ , т. е. ϕϕ∗ эрмитово. Для любого x ∈ Vимеем((ϕϕ∗ ) (x) , x) = (ϕ∗ (ϕ (x)) , x) = (ϕ (x) , ϕ (x)) ≥ 0.4. Если ϕ эрмитово, то по теореме 1 § 14 существуетортонормированный базис a1 , . . . , an в V , состоящий из собственныхвекторов, причём ϕ (ai ) = αi ai , где αi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n.
ТогдаnPдля любого x ∈ V имеем x =γi ai , для некоторых γi ∈ F ,i=1µ n¶nPPи ϕ (x) = ϕγi ai =γi αi ai , поэтомуi=1(ϕ (x) , x) = (i=1nXi=1γi α i a i ,nXi=1γi ai ) =nXi=1αi γi γi =nX2αi |γi | .i=1Следовательно, (ϕ (x) , x) ≥ 0 тогда и только тогда, когдаnPi=12αi |γi | ≥ 0для любых γ1 , . . . , γn ∈ F . Положим γ1 = 0, . . . , γk = 1, . . . , γn = 0 приnP2k = 1, .
. . , n. Тогда αk ≥ 0 при всех 1 ≤ k ≤ n ⇔αi |γi | ≥ 0 дляi=11025. Евклидовы и унитарные пространствалюбых γ1 , . . . , γn ∈ F . Аналогично (ϕ (x) , x) > 0 тогда и только тогда,когда α1 > 0, . . . , αn > 0.5. Заметим, что Spec f (ϕ) ⊆ R+ . Это следует из выбора f и свойств¤функций от матриц. Далее применяем пункты 1) и 4).Лемма 2. Пусть φ, ψ — симметрические преобразованияи φψ = ψφ. Тогда φ, ψ обладают общим ортонормированным базисомиз собственных векторов.Доказательство. Пусть λ ∈ Spec φ. Рассмотрим пространство Vλ .Для любого v ∈ Vλ имеем φ(ψ(v)) = ψ(φ(v)) = λψ(v).
Следовательно,Vλ инвариантно относительно ψ. Если ψ не было бы диагонализируемона Vλ , то его минимальный многочлен имел бы кратный множитель,что невозможно (это также следует из самосопряжённости ψ).Таким образом, можно выбрать базис из собственных векторови ортонормировать его.¤Лемма 3.
Для каждого неотрицательного преобразованияϕ унитарного пространства Vсуществует единственноенеотрицательное преобразование ψ такое, что ψ 2 = φ. При этомесли φ > 0, то и ψ > 0, r(φ) = r(ψ), φψ = ψφ.Доказательство. Пусть e1 , . . . , en — отронормированный базисиз собственных векторов для φ, φ(ei ) = λi e√i , λi ≥ 0. Пусть ψ — линейноепреобразование, для которого ψ(ei ) =λi ei .
Тогда ψ ∗ = ψ ≥ 02и для любого i = 1, . . . , n выполняется ψ (ei ) = λi ei = φ(ei ), так чтоψ 2 = φ. Ясно, что r(φ) = r(ψ), φψ = ψφ. Докажем единственность. Мызнаем, что существует многочлен p(t) такой, что p(φ) = ψ (так как ϕ√диагонализируемо, то существует ϕ). Если θ ≥ 0, θ2 = φ, то ψ = p(φ) =2p(θ ).
Тогда ψθ = θψ и по лемме 2 существуют унитарная матрица Uи такие диагональные матрицы Λi , что U ∗ ψU = Λ1 , U ∗ θU = Λ2 . ТогдаΛ21 = Λ22 , откуда Λ1 = Λ2 и θ = ψ.¤Следствие. φ = φ∗ ≥ 0 ⇔ φ = ψ 2 , ψ = ψ ∗ ⇔ φ = ψψ ∗ .§ 16.¤Сингулярное и полярное разложениелинейного преобразованияПусть V — унитарное пространство над F , где F ' C или F ' R,ϕ — произвольное линейное отображение из L (V, V ). Представлениеϕ = u◦h = h1 ◦u1 , где h, h1 — неотрицательные преобразования, а u, u1 —§ 16. Сингулярное и полярное разложение103унитарные преобразования, называется полярным разложением ϕ. Мыдокажем, что для любого ϕ ∈ L (V, V ) существует полярное разложение.Лемма 1.
Преобразования φφ∗ и φ∗ φ имеют одинаковый спектр.Доказательство. Пусть e1 , . . . , en — ортонормированный базисиз собственных векторов преобразования φ ◦ φ∗ , φ ◦ φ∗ (ei ) = ρ2i ei , ρi ≥ 0,причём ρ21 ≥ ρ22 ≥ . . . ≥ ρ2k > 0, ρk+1 = . . . = ρn = 0. Рассмотримa1 = φ(e1 ), .
. . , ak = φ(ek ). Имеем:(ai , aj ) = (φ(ei ), φ(ej )) = (φ∗ φ(ei ), ej ) = ρ2i (ei , ej ).Кроме того, ||ai ||2 = (φ(ei ), φ(ei )) = ρ2i (ei , ei ) > 0. Итак, a1 , . . . , ak —ортогональная система ненулевых векторов. Далее φφ∗ (ai ) = φφ∗ φ(ei ) =ρ2i φ(ei ) = ρ2i ai . Следовательно, φ∗ ◦ φ имеет собственные значенияρ21 , . . . , ρ2k , т. е. все ненулевые собственные значения φ∗ φ являютсясобственными значениями и для φφ∗ .
Ясно, что верно и обратное.¤Арифметические значения квадратных корней из общихсобственных значений φφ∗ и φ∗ φ называются сингулярными числамипреобразования φ.Лемма 2. Если φ ∈ L(V, V ), то (Ker φ)⊥ = Im φ∗ и (Im φ)⊥ = Ker φ∗ .Доказательство. Если y ∈ Im φ∗ , то y = φ∗ (x), поэтому для любогоv ∈ Ker φ имеем (v, y) = (v, φ∗ (x)) = (φ(v), x) = 0.
Значит, Im φ∗ ⊆(Ker φ)⊥ . Так как r(φ∗ ) = r(φ) = n − dim (Ker φ) = dim (Ker φ)⊥ , тоимеем равенство. Второе равенство получается из первого подстановкойφ∗ вместо φ.¤Следствие. Уравнение φ∗ (x) = a разрешимо ⇔ a ортогонален всемрешениям φ(y) = 0. В частности, φ(x) = a разрешимо для любого a ⇔φ∗ (y) = 0 имеет только нулевые решения.¤Рассмотрим вновь базис e1 , . . . , ek , ek+1 , .
. . , en . Тогда ||φ(ei )|| =||ai || = ρi 6= 0, i = 1, . . . , k, поэтому Lha1 , . . . , ak i = Im φ,Lhek+1 , . . . , en i = Ker φ.Нормируем ai : fi = ||aaii || = aρii , тогда φ(ei ) = ρi fi , i =1, . . . , k. Далее, так как (Im φ)⊥ = Ker φ∗ , то выберем за fk+1 , . . . , fnпроизвольный ортонормированный базис Ker φ∗ ; тогда f1 , . . . , fn —также ортонормированный базис. Имеем:½½ρi fi , i ≤ k,ρi ei , i ≤ k,φ(ei ) =φ∗ (fi ) =(1)0,i > k,0,i > k.1045.
Евклидовы и унитарные пространстваЗаметим, что φ∗ (fi ) = φ∗ ( aρii ) =1 ∗ρi φ φ(ei )= ρi e i .Ортонормированные базисы, связанныеназываются сингулярными базисами.соотношениями(1),Таким образом, нами доказана следующая теорема.Теорема 1. Для любого линейного преобразования унитарногопространства существуют сингулярные базисы.¤Теорема 2.
Для любого ϕ ∈ L (V, V ) существуют ψ, ψ1 ≥ 0и унитарные√ u, u1 , такие,√ что ϕ = uψ = ψ1 u1 . При этом1) ψ = ϕ∗ ϕ, ψ1 = ϕϕ∗ определяются однозначно;2) если ϕ обратимо, то u, u1 определяются однозначно;3) ϕ нормально ⇔ ψu = uψ или u1 ψ1 = ψ1 u1 .Доказательство. Пусть e1 , . . . , en и f1 , . . . , fn — сингулярные базисыпреобразования ϕ. Положим u(ei ) = fi , ψ(fi ) = ρi fi . Тогда u унитарно,ψ ≥ 0. Кроме того, ϕ(ei ) = ρi fi = ψ(fi ) = ψu(ei ), откуда всё следует.Далее ϕ∗ = ψu−1 , поэтому φφ∗ = ψ 2 и ψ определено однозначно. Еслисуществует φ−1 , то u = ϕψ −1 .
Если ψu = uψ, то φφ∗ = φ∗ φ = ψ 2 .Обратно, пусть ψ 2 = φφ∗ = φ∗ φ = uψψu−1 , ψ 2 = u−1 ψ 2 u, uψ 2 = ψ 2 u.Следовательно, uψ = ψu, так как ψ = p(ψ 2 ).¤Глава 6Квадратичные формыВ этой главе мы изучим квадратичные формы и пары форм над Rи их канонический вид.§ 1.Матрица квадратичной формы,поведение при замене неизвестныхеёОднородный многочлен F = F (X) = f (x1 , . . . , xn ) ∈ R [x1 , .
. . , xn ]степени 2 называется квадратичной формой над R.nPПусть F = F (X) =αij xi xj , где αij ∈ R и αij = αji . Тогдаi,j=1A = (αij ) называется матрицей формы F = F (X), X = (x1 , . . . , xn )называются неизвестными формы F .Имеем F = F (X) = XAX τ , где X = (x1 , . . . , xn ). Отметим, чтоA = A, т. е. A — симметрическая матрица.τПусть Y = (y1 , . . . , yn ) — новые неизвестные и x1 = t11 y1 + . .
. + tn1 yn ,−−−−−−−−−−−xn = t1n y1 + . . . + tnn yn ,где T = (tij ) ∈ Mn (R) — обратимая матрица. Тогда X = Y T называетсязаменой неизвестных в форме F = F (X).1066. Квадратичные формыЛемма 1. Пусть F = F (X) = XAX τ , X = Y T — заменанеизвестных. Тогда F = F (Y ) = Y BY τ , где B = T AT τ .τДоказательство. Имеем F = XAX τ = (Y T ) A (Y T )=ττττY (T AT ) Y = Y BY . Следовательно, T AT = B.¤Следствие. Ранг матрицы A равен рангу матрицы B и потомуназывается рангом r(F ) формы F = XAX τ .¤§ 2.Приведениеквадратичнойк главным осямформыФорма F = F (X) = α1 x21 + . . . + αn x2n называется диагональной.
Еслиαi = ±1, то F называется нормальной формой.Теорема 1. Для любой F = F (X) = XAX τ существует такоеортогональное преобразование Q неизвестных X в Y , что F = F (Y ) =Y DY τ — диагональная форма.Доказательство. Пусть `¯ = {`1 , . . . , `n } — некоторый ортонормированный базис Rn , [ϕ]`¯ = A = Aτ . Следовательно, ϕ —симметрическое преобразование. По теореме 1 § 5.14 существует такойортонормированный базис ā = {a1 , .
. . , an }, состоящий из собственныхвекторов ϕ, что [ϕ]ā := D := diag (α1 , . . . , αn ) , αi ∈ R. Пусть Q —матрица перехода от `¯ к ā. По лемме 1 § 5.11 имеем Qτ = Q−1 . ПустьX = Y Q, тогда F = F (Y ) = Y QAQτ Y τ = Y QAQ−1 Y τ = Y [ϕ]ā Y τ =Y DY τ .¤§ 3.АлгоритмЛагранжаприведенияформы к диагональному видуТеорема 1 (алгоритм Лагранжа). Любая квадратичная форма F =nPF (X) =αij xi xj , αij = αji приводится к диагональному видуi,j=1методом выделения полных квадратов.Доказательство индукцией по n.
При n = 1 имеем F = F (x1 ) =α11 x21 .Пусть любая форма от n − 1 неизвестной приводится к диагоnPнальному виду. Рассмотрим F = F (X) =αij xi xj , αij = αji .i,j=1§ 3. Алгоритм Лагранжа приведения к диагональному виду1071. Предположим, что F содержит квадрат хотя бы одногонеизвестного. Пусть, например, α11 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
