Главная » Просмотр файлов » 1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c

1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 18

Файл №826568 1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции) 18 страница1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568) страница 182021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

ТогдаF = α11 x21 + 2α12 x1 x2 + . . . + 2α1n x1 xn +nXαij xi xj =i,j=22−1= α11(α11 x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn ) −n¡ 2 2¢ X−12−α11α12 x2 + 2α12 α13 x2 x3 + . . . + α1nx2n +αij xi xj =i,j=2=−1α112(α11 x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn ) + F1 (x2 , . . . , xn ) .½y = α11 x1 + α12 x2 + . . .

+ α1n xn ,Рассмотрим замену неизвестных:y2 = x2 , . . . , yn = xn ,α11 0 . . . 0 .. .1 ... 0 (y1 , . . . , yn ) = (x1 , . . . , xn ) T, где T =  ... . ...  обратима. ..... α1n 0 . . . 1−1 2−1 2Тогда F = α11y1 + F1 (y2 , . . .

, yn ) = α11y1 + β2 z22 + . . . + βn zn2 , гдепоследнее равенство получено по индукции.2. Предположим теперь, что αii = 0, 1 ≤ i ≤ n. Тогда, например,α12 =6 0. Имеем:F = 2x1 (α12 x2 + . . . + α1n xn ) + F1 (x2 , . . . , xn ) .Рассмотрим следующую замену неизвестных: y1 = x1 ,y2 = α12 x2 + .

. . + α1n xn − x1 ,y3 = x3 , . . . , yn = xn ,110 ... 0 0 α12 0 . . . 0  .....1 ... 0 (y1 , . . . , yn ) = (x1 , . . . , xn ) T , где T =  . обратима. ..... . ... . .. . ..0 α1n 0 . . . 1Тогда F = 2y1 (y1 + y2 )+F1 (y1 , . . . , yn ) = 2y12 +2y1 y2 +F1 (y1 , .

. . , yn ) ,где F1 (y1 , . . . , yn ) не содержит слагаемого αy12 . Таким образом, мыпришли к случаю 1).¤1086. Квадратичные формы§ 4.Закон инерции квадратичных формПусть F = F (X) =nPi,j=1αij xi xj ,αij = αji , приводится некоторойзаменой неизвестных к диагональной форме F = α1 z12 + . . . + αs zs2 −2αs+1 zs+1− . . . − αr zr2 , где α1 , . . . , αr > 0, r = r (F ) .

Число σ (F ) =σ = s − (r − s) = 2s − r называется сигнатурой формы F = F (X).Заметим, что если мы знаем и сигнатуру, и ранг формы, то мызнаем и число положительных, и число отрицательных коэффициентовв диагональной форме.Теорема 1. Сигнатура формы не зависит от способа приведенияк диагональному виду.Доказательство. Пусть F = XAX τ = Y D1 Y τ = ZD2 Z τ , гдеD1 = diag (α1 , .

. . , αs , −αs+1 , . . . , −αr , 0, . . . , 0) ,D2 = diag (β1 , . . . , βt , −βt+1 , . . . , −βr , 0, . . . , 0) ,αi > 0, βi > 0, X = Y T1 , X = ZT2 . Пусть s < t. Тогда Y T1 = ZT2 влечётY = ZT , где T = T2 T1−1 — матрица перехода от Y к Z.srtrPPPPИмеем равенствоαi yi2 −αi yi2 =βi zi2 −βi zi2 , илиi=1sXi=1αi yi2 +i=s+1rXi=t+1βi zi2 =i=1rXi=s+1αi yi2 +i=t+1tXβi zi2 .(1)i=1y1 = t11 z1 + . .

. + tn1 zn = 0,− − − − − − − − − − −−Рассмотрим систему от zi :ys = t1s z1 + . . . + tns zn = 0,zt+1 = 0, . . . , zn = 0.Число уравнений s + (n − t) = n − (t − s) < n, т. е. существуетрешение (z1 , . . . , zt ) = (γ1 , . . . , γt ) 6= 0, zt+1 = . . . = zn = 0.Подставив это решение в равенство (1), получим 0 = β1 γ12 + . . . +rPβt γt2 +αi yi2 (γ1 , . . . , γt ) > 0. Противоречие. Следовательно, s ≥ t.i=s+1Аналогично t ≥ s, т. е. s = t.¤109§ 5. Формула Якоби приведения формы к диагональному виду§ 5.Формула Якоби приведенияк диагональному видуформыПусть A ∈ Mn (R).

Миноры D0 (A) = 1, D1 (A) = a11 ,¯¯¯ a11 . . . a1k ¯¯¯¯¯¯ aa12 ¯¯¯ .... ¯ , . . . , D (A) = |A|D2 (A) = ¯¯ 11,...,D(A)=¯kn. ¯¯a21 a22 ¯¯ .¯ ak1 . . . akk ¯называются главными минорами матрицы A.Теорема 1 (формула Якоби). Для любой квадратичной формыF = F (X) = XAX τ , где r (A) = r > 0, D1 (A) 6= 0, . . .

, Dr (A) 6= 0,существует такая замена неизвестных X = ZT , чтоF =rXk=1zk2.Dk−1 (A) Dk (A)Доказательство. Индукция по n. При n = 1 имеем F (x1 ) = a11 x21 ,2F (x1 ) =z12(a11 x1 )=, где z1 = a11 x1 , D1 (A) = a11 6= 0.1 · a11D0 (A) D1 (A)Предположим, что для k ≤ n − 1 неизвестных утверждение верно.Тогда метод Лагранжа даётF = F (x1 , . . . , xn ) =nXi,j=1aij xi xj =12(a11 x1 + . . .

+ a1n xn ) −a11nX1a1i a1j2xi xj +aij xi xj =(a11 x1 + . . . + a1n xn ) +−aa1111i,j=2i,j=2µ¶nnXa1i a1j1 2 X1 2+aij −xi xj =y1 +bij yi yj =y1 +F2 (y2 , . . . , yn ) ,aaa111111i,j=2i,j=2nXгде y1 = a11 x1 + . . . + an xn , y2 = x2 , . . . , yn = xn . Положим bij = aij −nPa1ibij yi yj = Y BY τ , гдеa11 · a1j, 2 ≤ i, j ≤ n.

Тогда F2 (y2 , . . . , yn ) =i,j=2B =a22 −an2 −a12a11 a12...a1na11 a12a11. . . a2n − aa12a1n11 0.... . Пусть C = ..· · ·a1n. . . ann − a11 a1n0a12b22···bn2············a1nb2n .···bnn1106. Квадратичные формыТогда i-строка матрицы C равна разности между i-строкой Aи 1-строкой A, умноженной на a1i a−1= r (A).11 . Имеем r (C)Следовательно, r (B) = r − 1.

Далее D0 (C) = D0 (A) = 1, D1 (C) =a11 = D1 (A) , D2 (C) = D2 (A) = a11 D1 (B) 6= 0, . . . , Di (C) = Di (A) =a11 Di−1 (B) 6= 0, . . . , Dr (C) = Dr (A) = a11 Dr−1 (B) 6= 0.По индукции существует замена (y2 , . . . , yn ) = (t2 , . . . , tn ) T такая,чтоF2 (y2 , . . . , yn ) ==t22t2r+ ... +=D0 (B) D1 (B)Dr−2 (B) Dr−1 (B)a211 t22a211 t2r+ ... +.D1 (A) D2 (A)Dr−1 (A) Dr (A)ТогдаF =z12zr2+ ... +,D0 (A) D1 (A)Dr−1 (A) Dr (A)где z1 = y1 , z2 = a11 t2 , .

. . , zr = a11 tr .§ 6.¤Необходимые и достаточные условияположительной определённости формыКвадратичная форма F называется положительно определённой, еслидля всех X ∈ Rn , X 6= 0, справедливо F (X) > 0. Обозначение: F > 0.Имеем: F (X) = XAX τ = (XA, X).

Так как Aτ = A, топо определению (XA, X) = F (X) > 0 тогда и только тогда, когда A > 0.Последнее по лемме 1 § 5.13 эквивалентно тому, что A = Aτ и λi > 0для всех λi ∈ Spec (A). Это равносильно существованию такой матрицыU , что U −1 = U τ и U AU −1 = diag (α1 , . . . , αn ) , αi > 0, а последнеевозможно тогда и только тогда, когда F = α1 z12 + . . . + αn zn2 , αi > 0,или F = y12 + .

. . + yn2 .Теорема 1. Форма F = F (X) = XAX τ положительно определенатогда и только тогда, когда D1 (A) > 0, . . . , Dn (A) > 0.Доказательство. Пусть форма F положительно определена.Докажем, что D1 (A) 6= 0, . . . , Dn (A) 6= 0 и r (A) = n.

Имеем:D1 (A) = F (1, 0, . . . , 0) = a11 > 0. Пусть для некоторого k, 1 <111§ 6. Условия положительной определённости формыk < n, имеем: D1 (A) 6= 0, . . . , Dk (A) 6= 0, Dk+1 (A) = 0. ТогдаF (x1 , . . . , xk+1 , 0, . . . , 0) = G (x1 , . . . , xk+1 ) > 0, где x 1a11···a1k+1 .. ·········G (x1 , . . .

, xk+1 ) = (x1 , . . . , xk+1 ) . .ak+1,1 · · · ak+1,k+1xk+1По формуле Якоби G (x1 , . . . , xk+1 ) =kPi=1zi2Di−1 (A)Di (A) ,гдеz1 = t11 x1 + . . . + tk+1,1 xk+1 , . . . , zk+1 = t1,k+1 x1 + . . . + tk+1,k+1 xk+1 ,т. е. (z1 , . . . , zk+1 ) = (x1 , . . . , xk+1 ) T , T = (tij ) — невырожденнаяматрица. z1 = t11 x1 + . . . + tk+1,1 xk+1 = 0,... ... .............................Рассмотрим системуzk = t1,k x1 + .

. . + tk+1,k xk+1 = 0.Так как число k уравнений строго меньше числа k+1 неизвестных, тосистема имеет нетривиальное решение: (x1 , . . . , xk+1 ) = (γ1 , . . . , γk+1 ) 6=0. Тогда G (γ1 , . . . , γk+1 ) = 0. Противоречие. Следовательно, D1 (A) 6=0, . . . , Dn (A) 6= 0. По формуле Якоби существует такая невырожденнаяnPzi2замена X = ZT , что F =Di−1 (A)Di (A) . Предположим, чтоDi−1 (A) Di (A) < 0 для z1zizni=1некоторого 1 ≤ i ≤ n. Рассмотрим систему=...=...=t11 x1 + .

. . + tn1 xn = 0,t1i x1 + . . . + tni xn = 1,t1n x1 + . . . + tnn xn = 0.Матрица T обратима, поэтому существует решение (γ1 , . . . , γn ) 6= 0 иF (γ1 , . . . , γn ) =1< 0.Di−1 (A) Di (A)Следовательно, Di−1 (A) Di (A) > 0 для любого i. Так как D0 (A) = 1 >0, то D1 (A) > 0. Продолжая так далее, получаем Di (A) > 0 для всех i.kPzi2Обратно, F = F (x1 , . . . , xn ) =Di−1 (A)Di (A) .

Следовательно,i=1F (γ1 , . . . , γn ) > 0 для любого (γ1 , . . . , γn ) 6= 0.¤112§ 7.6. Квадратичные формыОдновременная диагонализация двухквадратичных формТеорема 1. Пусть F = F (x1 , . . . , xn ) > 0, G = G (x1 , . . . , xn ).Тогда существует замена X = Y T такая, что F = y12 + . . . + yn2 ,G = β1 y 2 + . . .

+ βn yn2 , где β1 , . . . , βn с точностью до перестановкиоднозначно определены формами F и G.Доказательство. Пусть F = XAX τ , G = XBX τ .Существование. Пусть X = ZT приводит F к нормальному виду:n F = XAX τ = ZT AT τ Z τ = ZZ τ = Pzi2 ,i=1G = XBX τ = ZT BT τ Z τ = ZB1 Z τ .Приведём ZB1 Z τ к главным осям: Z = Y Q, где Q−1 = Qτ ,nPyi2 , F = ZEZ τ = Y QEQτ Y τ =i=1nPτ−1 τβi yi2 . G = ZB1 Z = Y QB1 Q Y =i=1Единственность. Пусть замена X = Y T1 приводит нашу пару формк виду½F = y12 + . . . + yn2 ,G = β1 y12 + . .

. + βn yn2 ,а замена X = ZT2 — к виду½F = z12 + . . . + zn2 ,G = γ1 z12 + . . . + γn zn2 .¡¢Тогда X = Y T1 = ZT2 . Следовательно, Y = Z T2 T1−1 = ZT , где T =τT2 T1−1 . Тогда F= Y EY τ = ZTT τ Z τ = ZEZ⇒ T T τ =E ⇒ T −1 = T τ .β1γ1....,Γ:=Пусть B := . Тогда..βnγnG = Y BY τ = ZT BT −1 Z τ = ZΓZ τ ⇒ T BT −1 = Γ ⇒ B ∼ Γ.Следовательно, β1 , . . . , βn с точностью до перестановки совпадаютс элементами γ1 , . . . , γn .¤Глава 7Базисы ГрёбнераВ этой главе даются основы теорииалгебраических уравнений над полями.§ 1.системпроизвольныхЭквивалентность систем алгебраических уравнений.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее