1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ТогдаF = α11 x21 + 2α12 x1 x2 + . . . + 2α1n x1 xn +nXαij xi xj =i,j=22−1= α11(α11 x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn ) −n¡ 2 2¢ X−12−α11α12 x2 + 2α12 α13 x2 x3 + . . . + α1nx2n +αij xi xj =i,j=2=−1α112(α11 x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn ) + F1 (x2 , . . . , xn ) .½y = α11 x1 + α12 x2 + . . .
+ α1n xn ,Рассмотрим замену неизвестных:y2 = x2 , . . . , yn = xn ,α11 0 . . . 0 .. .1 ... 0 (y1 , . . . , yn ) = (x1 , . . . , xn ) T, где T = ... . ... обратима. ..... α1n 0 . . . 1−1 2−1 2Тогда F = α11y1 + F1 (y2 , . . .
, yn ) = α11y1 + β2 z22 + . . . + βn zn2 , гдепоследнее равенство получено по индукции.2. Предположим теперь, что αii = 0, 1 ≤ i ≤ n. Тогда, например,α12 =6 0. Имеем:F = 2x1 (α12 x2 + . . . + α1n xn ) + F1 (x2 , . . . , xn ) .Рассмотрим следующую замену неизвестных: y1 = x1 ,y2 = α12 x2 + .
. . + α1n xn − x1 ,y3 = x3 , . . . , yn = xn ,110 ... 0 0 α12 0 . . . 0 .....1 ... 0 (y1 , . . . , yn ) = (x1 , . . . , xn ) T , где T = . обратима. ..... . ... . .. . ..0 α1n 0 . . . 1Тогда F = 2y1 (y1 + y2 )+F1 (y1 , . . . , yn ) = 2y12 +2y1 y2 +F1 (y1 , .
. . , yn ) ,где F1 (y1 , . . . , yn ) не содержит слагаемого αy12 . Таким образом, мыпришли к случаю 1).¤1086. Квадратичные формы§ 4.Закон инерции квадратичных формПусть F = F (X) =nPi,j=1αij xi xj ,αij = αji , приводится некоторойзаменой неизвестных к диагональной форме F = α1 z12 + . . . + αs zs2 −2αs+1 zs+1− . . . − αr zr2 , где α1 , . . . , αr > 0, r = r (F ) .
Число σ (F ) =σ = s − (r − s) = 2s − r называется сигнатурой формы F = F (X).Заметим, что если мы знаем и сигнатуру, и ранг формы, то мызнаем и число положительных, и число отрицательных коэффициентовв диагональной форме.Теорема 1. Сигнатура формы не зависит от способа приведенияк диагональному виду.Доказательство. Пусть F = XAX τ = Y D1 Y τ = ZD2 Z τ , гдеD1 = diag (α1 , .
. . , αs , −αs+1 , . . . , −αr , 0, . . . , 0) ,D2 = diag (β1 , . . . , βt , −βt+1 , . . . , −βr , 0, . . . , 0) ,αi > 0, βi > 0, X = Y T1 , X = ZT2 . Пусть s < t. Тогда Y T1 = ZT2 влечётY = ZT , где T = T2 T1−1 — матрица перехода от Y к Z.srtrPPPPИмеем равенствоαi yi2 −αi yi2 =βi zi2 −βi zi2 , илиi=1sXi=1αi yi2 +i=s+1rXi=t+1βi zi2 =i=1rXi=s+1αi yi2 +i=t+1tXβi zi2 .(1)i=1y1 = t11 z1 + . .
. + tn1 zn = 0,− − − − − − − − − − −−Рассмотрим систему от zi :ys = t1s z1 + . . . + tns zn = 0,zt+1 = 0, . . . , zn = 0.Число уравнений s + (n − t) = n − (t − s) < n, т. е. существуетрешение (z1 , . . . , zt ) = (γ1 , . . . , γt ) 6= 0, zt+1 = . . . = zn = 0.Подставив это решение в равенство (1), получим 0 = β1 γ12 + . . . +rPβt γt2 +αi yi2 (γ1 , . . . , γt ) > 0. Противоречие. Следовательно, s ≥ t.i=s+1Аналогично t ≥ s, т. е. s = t.¤109§ 5. Формула Якоби приведения формы к диагональному виду§ 5.Формула Якоби приведенияк диагональному видуформыПусть A ∈ Mn (R).
Миноры D0 (A) = 1, D1 (A) = a11 ,¯¯¯ a11 . . . a1k ¯¯¯¯¯¯ aa12 ¯¯¯ .... ¯ , . . . , D (A) = |A|D2 (A) = ¯¯ 11,...,D(A)=¯kn. ¯¯a21 a22 ¯¯ .¯ ak1 . . . akk ¯называются главными минорами матрицы A.Теорема 1 (формула Якоби). Для любой квадратичной формыF = F (X) = XAX τ , где r (A) = r > 0, D1 (A) 6= 0, . . .
, Dr (A) 6= 0,существует такая замена неизвестных X = ZT , чтоF =rXk=1zk2.Dk−1 (A) Dk (A)Доказательство. Индукция по n. При n = 1 имеем F (x1 ) = a11 x21 ,2F (x1 ) =z12(a11 x1 )=, где z1 = a11 x1 , D1 (A) = a11 6= 0.1 · a11D0 (A) D1 (A)Предположим, что для k ≤ n − 1 неизвестных утверждение верно.Тогда метод Лагранжа даётF = F (x1 , . . . , xn ) =nXi,j=1aij xi xj =12(a11 x1 + . . .
+ a1n xn ) −a11nX1a1i a1j2xi xj +aij xi xj =(a11 x1 + . . . + a1n xn ) +−aa1111i,j=2i,j=2µ¶nnXa1i a1j1 2 X1 2+aij −xi xj =y1 +bij yi yj =y1 +F2 (y2 , . . . , yn ) ,aaa111111i,j=2i,j=2nXгде y1 = a11 x1 + . . . + an xn , y2 = x2 , . . . , yn = xn . Положим bij = aij −nPa1ibij yi yj = Y BY τ , гдеa11 · a1j, 2 ≤ i, j ≤ n.
Тогда F2 (y2 , . . . , yn ) =i,j=2B =a22 −an2 −a12a11 a12...a1na11 a12a11. . . a2n − aa12a1n11 0.... . Пусть C = ..· · ·a1n. . . ann − a11 a1n0a12b22···bn2············a1nb2n .···bnn1106. Квадратичные формыТогда i-строка матрицы C равна разности между i-строкой Aи 1-строкой A, умноженной на a1i a−1= r (A).11 . Имеем r (C)Следовательно, r (B) = r − 1.
Далее D0 (C) = D0 (A) = 1, D1 (C) =a11 = D1 (A) , D2 (C) = D2 (A) = a11 D1 (B) 6= 0, . . . , Di (C) = Di (A) =a11 Di−1 (B) 6= 0, . . . , Dr (C) = Dr (A) = a11 Dr−1 (B) 6= 0.По индукции существует замена (y2 , . . . , yn ) = (t2 , . . . , tn ) T такая,чтоF2 (y2 , . . . , yn ) ==t22t2r+ ... +=D0 (B) D1 (B)Dr−2 (B) Dr−1 (B)a211 t22a211 t2r+ ... +.D1 (A) D2 (A)Dr−1 (A) Dr (A)ТогдаF =z12zr2+ ... +,D0 (A) D1 (A)Dr−1 (A) Dr (A)где z1 = y1 , z2 = a11 t2 , .
. . , zr = a11 tr .§ 6.¤Необходимые и достаточные условияположительной определённости формыКвадратичная форма F называется положительно определённой, еслидля всех X ∈ Rn , X 6= 0, справедливо F (X) > 0. Обозначение: F > 0.Имеем: F (X) = XAX τ = (XA, X).
Так как Aτ = A, топо определению (XA, X) = F (X) > 0 тогда и только тогда, когда A > 0.Последнее по лемме 1 § 5.13 эквивалентно тому, что A = Aτ и λi > 0для всех λi ∈ Spec (A). Это равносильно существованию такой матрицыU , что U −1 = U τ и U AU −1 = diag (α1 , . . . , αn ) , αi > 0, а последнеевозможно тогда и только тогда, когда F = α1 z12 + . . . + αn zn2 , αi > 0,или F = y12 + .
. . + yn2 .Теорема 1. Форма F = F (X) = XAX τ положительно определенатогда и только тогда, когда D1 (A) > 0, . . . , Dn (A) > 0.Доказательство. Пусть форма F положительно определена.Докажем, что D1 (A) 6= 0, . . . , Dn (A) 6= 0 и r (A) = n.
Имеем:D1 (A) = F (1, 0, . . . , 0) = a11 > 0. Пусть для некоторого k, 1 <111§ 6. Условия положительной определённости формыk < n, имеем: D1 (A) 6= 0, . . . , Dk (A) 6= 0, Dk+1 (A) = 0. ТогдаF (x1 , . . . , xk+1 , 0, . . . , 0) = G (x1 , . . . , xk+1 ) > 0, где x 1a11···a1k+1 .. ·········G (x1 , . . .
, xk+1 ) = (x1 , . . . , xk+1 ) . .ak+1,1 · · · ak+1,k+1xk+1По формуле Якоби G (x1 , . . . , xk+1 ) =kPi=1zi2Di−1 (A)Di (A) ,гдеz1 = t11 x1 + . . . + tk+1,1 xk+1 , . . . , zk+1 = t1,k+1 x1 + . . . + tk+1,k+1 xk+1 ,т. е. (z1 , . . . , zk+1 ) = (x1 , . . . , xk+1 ) T , T = (tij ) — невырожденнаяматрица. z1 = t11 x1 + . . . + tk+1,1 xk+1 = 0,... ... .............................Рассмотрим системуzk = t1,k x1 + .
. . + tk+1,k xk+1 = 0.Так как число k уравнений строго меньше числа k+1 неизвестных, тосистема имеет нетривиальное решение: (x1 , . . . , xk+1 ) = (γ1 , . . . , γk+1 ) 6=0. Тогда G (γ1 , . . . , γk+1 ) = 0. Противоречие. Следовательно, D1 (A) 6=0, . . . , Dn (A) 6= 0. По формуле Якоби существует такая невырожденнаяnPzi2замена X = ZT , что F =Di−1 (A)Di (A) . Предположим, чтоDi−1 (A) Di (A) < 0 для z1zizni=1некоторого 1 ≤ i ≤ n. Рассмотрим систему=...=...=t11 x1 + .
. . + tn1 xn = 0,t1i x1 + . . . + tni xn = 1,t1n x1 + . . . + tnn xn = 0.Матрица T обратима, поэтому существует решение (γ1 , . . . , γn ) 6= 0 иF (γ1 , . . . , γn ) =1< 0.Di−1 (A) Di (A)Следовательно, Di−1 (A) Di (A) > 0 для любого i. Так как D0 (A) = 1 >0, то D1 (A) > 0. Продолжая так далее, получаем Di (A) > 0 для всех i.kPzi2Обратно, F = F (x1 , . . . , xn ) =Di−1 (A)Di (A) .
Следовательно,i=1F (γ1 , . . . , γn ) > 0 для любого (γ1 , . . . , γn ) 6= 0.¤112§ 7.6. Квадратичные формыОдновременная диагонализация двухквадратичных формТеорема 1. Пусть F = F (x1 , . . . , xn ) > 0, G = G (x1 , . . . , xn ).Тогда существует замена X = Y T такая, что F = y12 + . . . + yn2 ,G = β1 y 2 + . . .
+ βn yn2 , где β1 , . . . , βn с точностью до перестановкиоднозначно определены формами F и G.Доказательство. Пусть F = XAX τ , G = XBX τ .Существование. Пусть X = ZT приводит F к нормальному виду:n F = XAX τ = ZT AT τ Z τ = ZZ τ = Pzi2 ,i=1G = XBX τ = ZT BT τ Z τ = ZB1 Z τ .Приведём ZB1 Z τ к главным осям: Z = Y Q, где Q−1 = Qτ ,nPyi2 , F = ZEZ τ = Y QEQτ Y τ =i=1nPτ−1 τβi yi2 . G = ZB1 Z = Y QB1 Q Y =i=1Единственность. Пусть замена X = Y T1 приводит нашу пару формк виду½F = y12 + . . . + yn2 ,G = β1 y12 + . .
. + βn yn2 ,а замена X = ZT2 — к виду½F = z12 + . . . + zn2 ,G = γ1 z12 + . . . + γn zn2 .¡¢Тогда X = Y T1 = ZT2 . Следовательно, Y = Z T2 T1−1 = ZT , где T =τT2 T1−1 . Тогда F= Y EY τ = ZTT τ Z τ = ZEZ⇒ T T τ =E ⇒ T −1 = T τ .β1γ1....,Γ:=Пусть B := . Тогда..βnγnG = Y BY τ = ZT BT −1 Z τ = ZΓZ τ ⇒ T BT −1 = Γ ⇒ B ∼ Γ.Следовательно, β1 , . . . , βn с точностью до перестановки совпадаютс элементами γ1 , . . . , γn .¤Глава 7Базисы ГрёбнераВ этой главе даются основы теорииалгебраических уравнений над полями.§ 1.системпроизвольныхЭквивалентность систем алгебраических уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
