Главная » Просмотр файлов » 1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c

1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568), страница 6

Файл №826568 1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (Пожидаев - Лекции) 6 страница1611672535-7205ee7fb92cecd63cdae109c575108c (826568) страница 62021-01-26СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Как мызнаем, A[x1 , . . . , xn ] — целостное кольцо. Многочлен f (x1 , . . . , xn ) ∈A[x1 , . . . , xn ] называется однородным тогда и только тогда, когда все егоодночлены с ненулевыми коэффициентами имеют одинаковую степень.Если f — однородный многочлен степени k, то все одночлены, входящиев f , имеют степень k.Пример. Пусть f (x1 , x2 , x3 ) = x31 + 2x22 x3 . Тогда f — однородныйстепени 3. Многочлен h(x1 , x2 , x3 ) = 4x1 − 5x22 + x33 не являетсяоднородным, deg h = 3.Лемма 1. Пусть f, g — ненулевые многочлены кольца A[x1 , . . .

, xn ].Тогдаdeg (f g) = deg f + deg g.Доказательство. Пусть deg f = k, deg g = l. Тогдаf = f0 + f1 + . . . + fkиg = g0 + g1 + . . . + gl ,где fi и gj — однородные многочлены степеней i и j соответственно,и fk , gl 6= 0. Поскольку f g = f0 g0 + . . . + fk gl , тоdeg (f g) = deg (fk gl ) = k + l = deg f + deg g.¤Многочлен f = f (x1 , . . . , xn ) ∈ A[x1 , . . . , xn ] называется симметрическим тогда и только тогда, когда для любой подстановки σ ∈ Snвыполняется равенство σf = f (xσ(1) , . .

. , xσ(n) ) = f (x1 , . . . , xn ).303. Кольца многочленовПример. Многочлены f (x1 , . . . , xn ) = xk1 + . . . + xkn и f (x1 , x2 ) =+ x22 — симметрические. Многочлен f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 неявляется симметрическим, так как для подстановки σ = (23) получаем:σf (x1 , x2 , x3 ) = x2σ(1) + x2σ(2) = x21 + x23 6= f (x1 , x2 , x3 ).x21Очевидно, что сумма и произведение симметрических многочленов— симметрические многочлены.

Ясно, что для любого многочленаg(y1 , . . . , yn ) ∈ A[y1 , . . . , yn ], g(f1 , . . . , fn ) ∈ A[x1 , . . . , xn ] — симметрический многочлен от x1 , . . . , xn , если f1 , . . . , fn — симметрическиемногочлены от x1 , . . . , xn .Элементарные симметрические многочлены от x1 , . . . , xn :s1=s2=sk···=s1 (x1 , . .

. , xn ) = x1 + . . . + xn ,Xs2 (x1 , . . . , xn ) =xi xj ,1≤i<j≤nXsk (x1 , . . . , xn ) =xi1 xi2 . . . xik ,1≤i1 <i2 <...<ik ≤nsn···=sn (x1 , . . . , xn ) = x1 . . . xn .Наша цель — доказать, что любой симметрический многочленможно выразить как многочлен от s1 , . . .

, sn .Подставим в многочлены s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn ) вместонеизвестной xn элемент 0 ∈ A. Тогда получим, что(s1 )0 = s1 |xn =0 = s1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) = x1 + . . . + xn−1 = s1 (x1 , . . . , xn−1 ),Xxi xj = s2 (x1 , . . . , xn−1 ),(s2 )0 = s2 |xn =0 = s2 (x1 , . . . , xn−1 , 0) =1≤i<j≤n−1···(sk )0 = sk |xn =0 = sk (x1 , . .

. , xn−1 , 0) =Xxi1 . . . xik = sk (x1 , . . . , xn−1 ),1≤i1 <...<ik ≤n−1···(sn−1 )0 = sn−1 |xn =0 = sn−1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) =x1 . . . xn−1 = sn−1 (x1 , . . . , xn−1 ),(sn )0 = sn |xn =0 = sn (x1 , . . . xn−1 , 0) = 0§ 12. Основная теорема о симметрических многочленах31являютсяэлементарнымисимметрическимимногочленамиот неизвестных x1 , .

. . , xn−1 .Посмотрим, что происходит с одночленами многочленаg(y1 , . . . , yn ) ∈ A[y1 , . . . , yn ] при подстановках y1 = s1 , . . . , yn = sn .Если g(y1 , . . . , yn ) = y1i1 y2i2 . . . ynin , то одночлен y1i1 y2i2 . . . ynin переходитв многочлен si11 si22 . . . sinn от неизвестных x1 , . . . , xn . Этот многочлен,очевидно, является однородным многочленом степени i1 +2i2 +. .

.+nin .Число i1 + 2i2 + . . . + nin называется весом одночлена y1i1 . . . ynin . Весоммногочлена g(y1 , . . . , yn ) называется максимальный вес одночленов,входящихв g с ненулевыми коэффициентами. Для многочленаPg = 0≤i1 ,...,in ≤m βi1 ...in y1i1 . . . ynin через h(g) обозначим его вес. Тогдаh(g) =max0≤i1 ,...,in ≤m{i1 + 2i2 + . . .

+ nin : βi1 ...in 6= 0}.Пример. Пусть g = y13 + y22 y3 . Тогда h(g) = max{3, 2 · 2 + 3 · 1} = 7.Для многочлена g = y1 + y22 + y33 его вес h(g) = max{1, 2 · 2, 3 · 3} = 9.Теорема 2. Для любого симметрического многочлена f ∈A[x1 , . . . , xn ] степени m существует единственный многочлен g ∈A[y1 , . . . , yn ] веса m, такой, чтоf (x1 , . . . , xn ) = g(s1 , . . . , sn ).Доказательство. Сначала докажем существование многочлена g.Доказательство проведём индукцией по двум параметрам n и m.При n = 1 имеем f (x1 ) = a0 + a1 x1 + . . . + am xm1 , где ai ∈ Aи s1 (x1 ) = x1 . Тогда f (x1 ) = a0 + a1 s1 + .

. . + am sm1 , а потому g(y) =a0 + a1 y + . . . + am y m — искомый многочлен. Следовательно, в этомслучае утверждение верно.Пусть для всех многочленов от k (k ≤ n − 1) неизвестныхутверждение верно и f (x1 , . . . , xn ) — многочлен степени mот неизвестных x1 , . . . , xn . Справедливость утверждения для fбудем доказывать индукцией по m.При m = 1 имеем f = f (x1 , . . . , xn ) = a0 + a1 (x1 + . . . + xn ), гдеa0 , a1 ∈ A.

Тогда f = a0 + a1 s1 (x1 , . . . , xn ), а потому g(y) = a0 + a1 y —искомый многочлен. Следовательно, в этом случае утверждение верно.Пусть для всех многочленов f = f (x1 , . . . , xn ) степени <m утверждение выполнено. Рассмотрим такой многочлен f =f (x1 , . . . , xn ), что deg f = m. Положим xn = 0 в f = f (x1 , . . . , xn ).Тогда f (x1 , . . . , xn−1 , 0) — многочлен от неизвестных x1 , .

. . , xn−1 ,323. Кольца многочленовпоэтому по предположению индукции существует g1 (y1 , . . . , yn−1 ) ∈A[y1 , . . . , yn−1 ], такой, чтоf (x1 , . . . , xn−1 , 0) = g1 ((s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 ),но поскольку deg f (x1 , . . . , xn−1 , 0) ≤ m, то h(g1 (y1 , . . . , yn−1 )) ≤ m,а также deg (g1 (s1 , . . . , sn−1 )) ≤ m. Следовательно, многочленf1 (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . .

. , xn ) − g1 (s1 , . . . , sn−1 )имеет степень ≤ m. Так какf1 (x1 , . . . , xn−1 , 0) = f (x1 , . . . , xn−1 , 0) − g1 ((s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 ) = 0,то по теореме Безу многочлен f1 (x1 , . . . , xn ) делится на xn , т. е.f1 (x1 , . . . , xn ) = xn f2 (x1 , . . . , xn ). Но многочлен f1 (x1 , . . . , xn ) являетсясимметрическим, поэтому для любой подстановки σ ∈ Sn получаем,что σf1 = f1 = xσ(n) f2 (xσ(1) , . . . , xσ(n) ). Следовательно, многочленf1 делится на x1 , x2 , . . . , xn соответственно, и значит f1 делитсяна произведение x1 x2 . .

. xn = sn . Поэтому f1 (x1 , . . . , xn ) = sn ·f3 (x1 , . . . , xn ). Тогда для любой подстановки σ ∈ Sn , σf1 = f1 =sn · σf3 . Отсюда следует, что 0 = sn · (σf3 − f3 ) = 0. ПосколькуA[x1 , . . . , xn ] — целостное кольцо, то σf3 = f3 . Следовательно,f3 (x1 , . .

. , xn ) — симметрический многочлен. Поскольку deg f3 ≤m − n, то по предположению индукции существует g2 (y1 , . . . , yn ) ∈A[y1 , . . . , yn ], что f3 (x1 , . . . , xn ) = g2 (s1 , . . . , sn ). Тогдаf (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 , . . . , xn ) + g1 (s1 , . . . , sn−1 ) =sn · g2 (s1 , . . . , sn ) + g1 (s1 , . . . , sn−1 ).Существование многочлена g доказано. Сравнивая степени f и g,получаем, что вес g равен m.

Докажем единственность такого g.Пусть существуют два многочлена h1 (y1 , . . . , yn ), h2 (y1 , . . . , yn ) ∈A[y1 , . . . , yn ] такие, что f (x1 , . . . , xn ) = h1 (s1 , . . . , sn ) = h2 (s1 , . . . , sn ).Рассмотрим многочлен g(y1 , . .

. , yn ) = h1 (y1 , . . . , yn ) − h2 (y1 , . . . , yn ).Тогда g(s1 , . . . , sn ) = 0. Докажем, что g(y1 , . . . , yn ) — нулевой многочлен.Для этого установим справедливость следующего утверждения: пустьg(y1 , . . . , yn ) ∈ A[y1 , . . . , yn ] — произвольный многочлен, такой, чтоg(s1 , . . . , sn ) = 0, тогда g(y1 , . . . , yn ) = 0.

Доказательство проведёминдукцией по n.§ 12. Основная теорема о симметрических многочленах33При n = 1 получаем g = g(y1 ) = α0 + α1 y1 + . . . + αk y1k , где αi ∈ A.Поскольку s1 (x1 ) = x1 , то g(s1 ) = α0 + α1 x1 + . . . + αk xk1 = 0, т. е.α0 = α1 = . . . = αk = 0 и g = 0.Пусть утверждение верно для всех многочленов от (n − 1)неизвестной. Рассмотрим g = g(y1 , . . .

, yn ) от неизвестных y1 , . . . , ynи разложим g по степеням yn . Тогдаg = g0 (y1 , . . . , yn−1 ) + g1 (y1 , . . . , yn−1 )yn + . . . + gk (y1 , . . . , yn−1 )ynk ,где g0 (y1 , . . . , yn−1 ), . . . , g1 (y1 , . . . , yn−1 ) — многочлены от (n − 1)неизвестной, и 0 = g(s1 , . . . , sn ) =g0 (s1 , . . . , sn−1 ) + g1 (s1 , . . . , sn−1 )sn + . . . + gk (s1 , . . . , sn−1 )skn .Положив xn = 0, получим 0 = g((s1 )0 , . .

. , (sn )0 ) = g0 ((s1 )0 , . . . , (sn−1 )0 ).Таким образом, многочлен g0 (y1 , . . . , yn−1 ) обладает следующимсвойством:g0 (s1 (x1 , . . . , xn−1 ), . . . , sn−1 (x1 , . . . , xn−1 )) = 0.Тогда по предположению индукции получаем g0 (y1 , . . . , yn−1 ) = 0.Если все многочлены gi (y1 , . . . , yn−1 ) = 0, то g = 0, и доказыватьнечего.Пусть существует такое i = 1, .

. . , k, что gi (y1 , . . . , yn−1 ) 6= 0.Выберем число l = min1≤i≤k {i : gi (y1 , . . . , yn−1 ) 6= 0}. Тогда 0 =g(s1 , . . . , sn ) =kgl (s1 , . . . , sn−1 )sln + gl+1 (s1 , . . . , sn−1 )sl+1n + . . . + gk (s1 , . . . , sn−1 )sn =sln (gl (s1 , . . . , sn−1 ) + gl+1 (s1 , . . . , sn−1 )sn + . . .

+ gk (s1 , . . . , sn−1 )sk−ln ) = 0.Поскольку A[x1 , . . . , xn ] — целостное кольцо, то= 0.gl (s1 , . . . , sn−1 ) + gl+1 (s1 , . . . , sn−1 )sn + . . . + gk (s1 , . . . , sn−1 )sk−lnПолагая опять xn = 0, получим, что gl (y1 , . . . , yn−1 ) = 0. Противоречиес выбором l.

Следовательно, все gi (y1 , . . . , yn−1 ) = 0, откудаg(y1 , . . . , yn ) = 0 и h1 = h2 .¤Следствие. Пусть P — поле, f (x) ∈ P [x], c1 , . . . , cn — все корниf (x) в расширении F поля P и h(x1 , . . . , xn ) — симметрическиймногочлен. Тогда h(c1 , . . . , cn ) ∈ P .Доказательство. По теореме 2 существует g(y1 , .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее