1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (826555), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(Заметим: последние координатывектора сдвига v, начиная c (k + 2)-ой, ни на что не влияют.)A=λ1...λk00pλ10, A = p 0b1...λk00···bkpb1.. . bk .p c̃Внутри «крестов» все элементы нулевые. Сами «кресты» имеют ширинуn − k − 1. Полуинвариант Kk+1 — сумма главных (k + 2)-миноров, содержащих «нижний правый угол». Каждая матрица имеет ранг k + 2 итакой минор в ней только один. Он получается выбрасыванием «креста».Обозначим этот «выживший» минор в первой матрице Mk+2 , а во второй0матрице — Mk+2.
Связь между ними такова (обозначим b = (b1 , . . . , bk ),v = (v1 , . . . , vk ), Λk×k = diag{λ1 , . . . , λk }).Λk×k 0 bvΛk×k 0 0Ek×k 0 00 p = S> 00 p S, S = 01 vk+1 .bp c̃0p 00010Поскольку det S = 1, определители миноров Mk+2и Mk+2 равны, тоесть Kk+1 сохраняется. (Ср. с доказательством инвариантности Kn+1 ).Упражнения 129, 130.
Доказать инвариантность Kk и Kk+1 длямногочлена типа 1k , закончив тем самым доказательство теоремы. Проверить все определители в явном виде для n = 3.Следствие. Любой многочлен F (X) второго порядка в Rn можноповоротом и сдвигом привести к одному и только к одному простейшемумногочлену вида 1k , k ≤ n или 2k , k < n.44Приводя к каноническому виду уравнение, мы действуем так:1. Делаем сдвиги и повороты переменной — инварианты не меняются.2. Домножаем уравнения на число k 6= 0. Если k > 0, то знаки инвариантов не меняются.
Если же k < 0, то (упражнения 131, 132) знаку инвариантов с четными номерами остается тем же, а у инвариантов снечетными номерами он либо не меняется, либо меняется у всех разом.Упражнения 133 – 135. Проверить классификацию КВП в R2 :ЭллипсI2 > 0 I3 I1 < 0Вырожденный эллипсI2 > 0 I3 = 0Мнимый эллипсI2 > 0 I3 I1 > 0ГиперболаI2 < 0 I3 6= 0Пара пересекающихся прямых I2 < 0 I3 = 0ПараболаI2 = 0 K2 6= 0Пара параллельных прямыхI2 = 0 K2 = 0, K1 < 0Пара слившихся прямыхI2 = 0 K2 = 0, K1 = 0Пара мнимых параллельныхI2 = 0 K2 = 0, K1 > 0прямыхПоказать, что условие «λ1 , λ2 , λ3 одного знака» равносильно условию«I2 > 0, I1 I3 > 0».
Заполнить названия ПВП в следующей таблице:НазваниеI3I2 I4(I2 > 0 и K2I 1 K2 K1поверхности(= K3 ) I1 I3 > 0)6= 0−да6= 00да6= 0+да6= 0+нет6= 00нет6= 0−нет0+ 6= 00− 6= 00+ 06= 0 −0+ 000+ 06= 0 +0− 06= 00− 00006= 0000−0000000+На практике тип ПВП быстрее определять методом Лагранжа.458.4. Метод Лагранжа выделения полных квадратовТак называется метод упрощения многочленаF (X) =nXaij xi xj + 2i,j=1nXbi xi + c.i=1Ищем ненулевое aii . Пусть a11 6= 0. Запишем многочлен в видеa11 x21 + x1 · L(x2 , .
. . , xn ) + G(x2 , . . . , xn ).∂FУпражнение 136. 2L = ∂x(0, x2 , . . . , xn ).1¡Выделим полный квадрат по x1 , положив x01 = x1 +L2a11¢. Получи쵶L2a11 x + G − 2 (x2 , . . . , xn ).4a1102(16)Второе слагаемое в (16) — многочлен от переменных x2 , . . . , xn . Применяяк нему тот же прием и т.д., в конце концов получаем многочлен вида 1kили 2k . Матрица перехода X 7→ X 0 имеет треугольный вид (с точностьюдо перенумерации строк) и невырождена.Пример. Определим тип поверхностиx2 + 4y 2 + 4xy + 4xz + yz + 6x − 2z + 1 = 0.(17)В этом уравнении подчеркнуты члены, содержащие x.
Мы можем выделить полный квадрат и заменить сумму этих слагаемых на выражение(x + 2y + 2z + 3)2 − (8yz + 12y + 12z + 4y 2 + 4z 2 + 9).Положим x0 = x + 2y + 2z + 3. Выражение (17) примет видx02 − 7yz − 12y − 14z − 8 = 0.Теперь надо выделить полный квадрат по y, но слагаемое, содержащееy 2 , отсутствует. Из слагаемыхвторого порядка есть только −7yz. Посту½y = y0 + z0. (Заметим: это не ортогональнаяпим так: сделаем заменуz = y0 − z0замена.) Получим yz = y 02 − z 02 и уравнение примет видx02 − 7y 02 − 26y 0 + 2z 0 − 8 = 0.Сделав сдвиги по y 0 и z 0 , получаем гиперболический параболоид.469. Билинейные и квадратичные формыПусть X, Y, Z — векторные пространства. Отображение f : X ×Y → Zназывается билинейным отображением, если оно линейно по каждомуаргументу.
Билинейное отображение V × V → R называют еще билинейной формой. Отображение F : V → R называется квадратичнойформой, если существует билинейная форма f : V × V → R, такая, чтоF (v) = f (v, v).9.1. Примеры форм. Знакоопределенность. Координатноепредставление1. Скалярное произведение h , i : E × E → R — симметричная билинейная форма.2. Векторное произведение [ , ] : R3 × R3 → R3 — билинейное антисимметричное отображение, то есть [u, v] = −[v, u].Упражнение 137. Билинейное отображение f : X × X → Y антисимметрично тогда и только тогда, когда ∀v f (v, v) = 0.3. Определитель матрицы — полилинейная антисимметричная формаот столбцов матрицы.4. Всякая n × n-матрица A задает билинейную форму Rn × Rn → R,сопоставляя паре векторов u, v ∈ Rn числоv > Au = hAu, vi =n XmXaij ui vj .(18)i=1 j=1В частности, матрица A определяет квадратичную форму на RnXx 7→ F (x) =aij xi xj = x> Ax = hAx, xi.Упражнения 138 – 140.
Симметричная матрица 21 (A + A> ) задаетту же квадратичную форму, что и матрица A. Симметричная билинейнаяформа восстанавливается по квадратичной форме следующим образом:1n4 (F (u + v) − F (u − v)) = hAu, vi. Каждой квадратичной форме на Rсоответствует единственная симметричная (n × n)-матрица.Следующее понятие имеет исключительную важность для алгебры,геометрии и анализа.Квадратичная форма F положительно определена, если для любого ненулевого вектора v F (v) > 0. Аналогично определяется отрицательная определенная форма.
Вообще, квадратичная форма знакоопределена, если она положительно или отрицательно определена.Замечание. Стандартный диалог с двоечником на экзамене. — «чтотакое положительно определенная матрица?» — «это матрица с положительным определителем».475. Квадрат модуля вектора v 7→ hv, vi — положительно определеннаяквадратичная форма, порождаемая скалярным произведением.6. В задачах на исследование функций многих переменных важнейшую роль играет дифференциал функции в точке — линейноеотображение, задается скалярным умножением на градиент функции)и гессиан функции в точке — квадратичная форма, задается матрицей вторых производных).
Исследование экстремумов функций в основном сводится к исследованию знакоопределенности гессиана на подпространстве — ядре дифференциала. В частности, если дифференциалdf (p) дважды дифференцируемой функции f : Rn → R равен нулю, а гессиан d2 f (p) положительно определён, то p — точка строгого локальногоминимума функции f .Если на V выбрана система координат B = {e1 , . . . , en }, то каждоебилинейное отображение F задается матрицей aij по формуле (18).Упражнение 141: проверить это. Подсказка: положить aij = f (ei , ej )— значения формы на всевозможных парах векторов базиса B.Упражнение 142. Если форма A знакоопределена, то все элементына главной диагонали матрицы имеют одинаковый знак.9.1.1.
Лемма. Если базис B0 = {e01 , . . . , e0n } получается из базиса Bc помощью матрицы перехода S, то в новом базисе матрица Ã формыf такова: Ã = S > AS.Доказательство. Столбцы матрицы S — это координаты векторовнового базиса в старом базисе. Новые и старые координаты векторовсвязаны формулой X = SX 0 . Тогда u = Su0 , v = Sv 0 иf (u, v) = v > Au = (Sv 0 )> A(Su0 ) = v 0> S > ASu0 = v 0> Ãu0 .9.2. Приведение пары форм одновременно к сумме квадратов9.2.1. Теорема. Для любой квадратичной формы в евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис {e01 , . . .
, e0n }, в котором матрица формы диагональна.Доказательство. Выбор какого-нибудь ортонормированного базиса{e1 , . . . , en } позволяет отождествить E со стандартным евклидовым пространством Rn . Пусть A — матрица квадратичной формы в этом базисе.У симметричной матрицы все собственные числа λi вещественные, а изсобственных векторов можно выбрать новый ортонормированный базис{e01 , .
. . e0n }. В этом базисе форма будет уже диагональна, так какaij = hAe0i , e0j i = hλi e0i , ej i = δij λi .Теорема доказана.489.2.2. Теорема. Пусть A и B — две квадратичные формы на Rn ,причем A положительно определена. Существует система координат(не обязательно ортогональная), в которой обе формы диагональны.Доказательство(ср. с леммой 2.2.1).
Форма A задает на Rn новоескалярное произведение. (Упражнение 143: проверить аксиомы скалярного произведения.)hu, viA := hAu, vi.Пусть e01 , . . . , e0n — ортонормированный относительно этого скалярногопроизведения базис, в котором форма B диагональна. Такой базис существует согласно предыдущей теореме. Ясно, что форма A в таком базисепросто единичная. Теорема доказана.9.3.
Положительный и отрицательный индексы квадратичной формы. Закон инерции. Критерий СильвестраКвадратичную форму можно приводить к диагональному виду разными способами (например, методом Лагранжа). При этом справедлива9.3.1. Теорема (закон инерции). Числа k и l положительныхи отрицательных элементов на диагонали приведенной квадратичнойформы не зависят от выбора приводящего базиса.Мы докажем теорему, дав числам k и l (они называются положительный индекс и отрицательный индекс квадратичной формы)геометрическое бескоординатное описание. Оказывается, число k — наибольшая из размерностей векторных подпространств, на которых форма положительно определена и l — наибольшая из размерностей подпространств, где форма отрицательно определена. (Квадратичная форма F положительно определена на векторном подпространствеV ⊂ Rn , если ∀v ∈ V v 6= 0 ⇒ F (v) > 0.
Аналогично определяетсяотрицательная определенность на подпространстве). Соответствующиеподпространства (их много) можно называть положительными и отрицательными подпространствами формы F .Ясно, что закон инерции равносилен следующей лемме:9.3.2.
Лемма. Пусть квадратичная форма A в какой-то системекоординат B имеет диагональный вид (ai > 0, bj < 0, k + l ≤ n):kXi=1ai x2i +lXbj x2j+k .j=1Тогда k равно наибольшей из размерностей подпространств, на которых форма положительно определена и l — наибольшая из размерностей подпространств, где форма отрицательно определена.49Доказательство. Возьмем конкретное положительное подпространство V+ , состоящее из векторов, последние n − k координат которых (всистеме B) равны нулю. Ясно, что dim V+ = k.
Покажем, что у формы нет положительного подпространства Ṽ размерности, большей k. Всамом деле, любое такое подпространство Ṽ по соображениям размерности нетривиально пересекалось бы с (n − k) — мерным координатнымдополнением к V+ — подпространством V(−,0) , у которого первые k координат нулевые. Но на любом векторе из V(−,0) форма F неположительна.Итак, k — наибольшая из размерностей положительных подпространств.Аналогично устанавливается, что l — наибольшая из размерностей отрицательных подпространств.
Лемма доказана. Доказан и закон инерции.Упражнение 144. Почему «V(−,0) » не обозначено просто «V− »?Упражнения 145, 146. Если форма A положительно определена,то det A > 0. А если A отрицательно определена, то что?Упражнения 147, 148. Квадратичная форма F как функция из Rnв R имеет в точке 0 строгий минимум (максимум) тогда и только тогда,когда она положительно (отрицательно) определена. Что можно сказатьоб индексах, если экстремум есть, но он нестрогий?Критерий Сильвестра. Квадратичная форма A на Rn положительно определена тогда и только тогда, когда положительны определители матриц Ak , получаемые вычеркиванием из A последних n − kстрок и столбцов, k = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
