1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (826555), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. , n.9.3.3. Лемма. Пусть у формы A существует гиперплоскость, накоторой она положительно определена. Тогда A положительно определена на всем Rn тогда и только тогда, когда det A > 0.Доказательство. Приведем A к диагональному виду. Положительный индекс не меньше n−1, значит, все числа на диагонали (кроме, бытьможет, одного), положительны. Остальное просто. Лемма доказана.Доказательство критерия Сильвестра. Предположим, что форма Aположительно определена. Тогда она такова на каждом подпространствеRk := {(x1 , . . .
, xk , 0, . . . , 0)} ⊂ Rn .Но k × k-формы Ak — это сужения формы A на Rk , так как∀(x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) hAx, xi =kXaij xi xj .i,j=1Поэтому все Ak положительно определены и det Ak > 0 при k ≤ n.Обратное утверждение докажем по индукции. Для n = 1 очевидно.Пусть критерий уже доказан для n − 1. Пусть det Ak > 0 при k < n.50По предположению индукции, форма An−1 положительно определена и,значит, форма A положительно определена на (n − 1)-мерном подпространстве Rn−1 ⊂ Rn . Из леммы 9.3.3 получаем: если еще и det A > 0, тоA положительно определена на всём Rn . Критерий Сильвестра доказан.Упражнение 149.
Форма A отрицательно определена тогда и толькотогда, когда при четных k det Ak > 0, а при нечетных k det Ak < 0.9.4. Индексы на подпространстве9.4.1. Лемма. Пусть hAX, Xi — квадратичная форма на Rn . ПустьΠ — векторное подпространство в Rn . Тогда квадратичная форма A,суженная на Π, имеет индексы k 0 ≤ k, l0 ≤ l.Доказательство. Пусть V+ ⊂ Π — положительное подпространствоформы A, суженной на Π и dim V+ = k 0 . Тогда V+ — положительноеподпространство самой формы A и, значит, k ≥ k 0 .
Второе неравенстводоказывается аналогично.Развитую технику можно применить к исследованиям возможныхплоских сечений поверхностей второго порядка.Замена координат при сдвиге не влияет на квадратичную часть многочлена второго порядка. Это позволяет говорить об индексах многочлена второго порядка, заданного на произвольном аффинном подпространстве Rn .
Из леммы 9.4.1 нетрудно вывести следующую теорему:9.4.2. Теорема. Индексы квадратичной части многочлена второгопорядка, суженного на аффинное подпространство Π ⊂ Rn , не превосходят индексов этого многочлена на всем Rn .Задача: Доказать, что эллипс не может быть плоским сечением нигиперболического параболоида, ни гиперболического цилиндра.Решение. Каноническая квадратичная форма этих поверхностей име22ет вид xa2 − yb2 , индексы равны (1, 1). Сужение этой формы на какую-либоплоскость может иметь, согласно предыдущему утверждению, индексы(1, 1) (гиперболический тип), (1, 0) или (0, 1) (параболический тип).
Эллиптический тип (2, 0) или (0, 2) не получается.Упражнения 150, 151. Доказать, что у эллиптического параболоида нет гиперболических сечений. Показать, что среди сечений трехмерными гиперплоскостями поверхности x2 +y 2 −z 2 −t2 = c нет эллипсоидов.Упражнение 152*. Рассмотрим в четырехмерном пространстве поверхность, задаваемую уравнением x2 + y 2 + z 2 − t2 = 0. Верно ли, чтосреди ее сечений трехмерными гиперплоскостями есть все четырнадцатьнепустых поверхностей второго порядка?Упражнение 153*. Если формы A на Rn и A0 на Rm связаны формулой A0 = S > AS, где S — произвольная прямоугольная (n × m)-матрица,51то положительный и отрицательный индексы (k 0 , l0 ) формы A0 = S > ASне превосходят соответствующих индексов (k, l) формы A.Упражнение 154*. Доказать, что если поверхность второго порядкаΩ ⊂ Rn лежит в гиперплоскости, то ее канонический многочлен имеетвид 1k (см.
2.2.2), причем среди λi нет чисел разных знаков.9.5. Изотропные векторы квадратичной формы. РангПусть F (v) = hAv, vi — квадратичная форма Rn , A = A> .Изотропные векторы — это такие векторы v ∈ V , чтоF (v) = hAv, vi = 0.Упражнения 155, 156. Изотропные векторы образуют коническуюповерхность второго порядка. Изотропные векторы образуют векторноеподпространство тогда и только тогда, когда один из индексов (k, l) формы F равен нулю; в этом случае множество изотропных векторов совпадает с ядром A, то есть с подпространством ker A = {v | Av = 0}.Упражнение 157. ker A = {u ∈ V | hAu, vi = 0 ∀v ∈ V }.Упражнение 158*.
Пусть A = x2 + y 2 − k 2 z 2 — квадратичная формав R3 . Найти условие на вектор n = (nx , ny , ny ), при которых плоскость,ортогональная вектору n, будет положительным подпространством этойформы. Найти все прямые, на которых форма A отрицательно определена. Есть ли двумерные отрицательные векторные подпространства?Какую поверхность образуют изотропные векторы?Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.Упражнение 159. Определение корректно, то есть ранг не зависитот выбора базиса и равен числу n − dim ker F . Он же равен числу k + l.Следующее наблюдение является основой для нахождения условныхэкстремумов в теории функций многих переменных.9.5.1.
Лемма. Пусть F (X) = hAX, Xi — квадратичная форма. Пустьp, v ∈ Rn . Рассмотрим функцию h(t) = F (p + tv).1. hAp, vi = 0 — необходимое условие экстремума h(t) при t = 0.2. Если при этом локальный минимум, то F (v) ≥ 0, а если локальный максимум, то F (v) ≤ 0.Доказательство. h(t) — многочленh(t) = F (p + vt) = hA(p + vt), (p + vt)i = hAp, pi + 2thAp, vi + t2 hAv, vi.Число 2hAp, vi — первая производная, а число 2hAv, vi — вторая. Поэтомуутверждение леммы совпадает со стандартными условиями экстремума.Задача. Найти экстремумы функции F (x, y, z, t) = 7x2 +8y 2 −5z 2 −3t2четырех переменных на трехмерном подпространстве в R4 , задаваемом52уравнением Π = 9x + 3y − z + 6t = c.
Решение: экстремумов нет. В самомделе, индексы нашей квадратичной формы оба равны 2. Поскольку 2 >4 − 3, найдутся векторы вида v± , параллельных трехмерной плоскостиΠ и такие, что F вдоль направления v+ возрастает, а вдоль направленияv− убывает. Cужение нашей функции F на прямую p + tv− не имеетмаксимума, а сужение F на прямую p + tv− не имеет минимума. ПоэтомуF не может иметь локального экстремума в точке p.9.6.
Классификация направлений квадратичной формы. Диаметральные плоскости поверхностей второго порядкаvСопряженные направления. Плоскость Πv называется диаметромповерхности Ω, если эта плоскость сопряжена некоторому направлениюv, то есть является геометрическим местом середин хорд, параллельныхv. (См. параграф 5). Мы знаем (см. формулу (7)), что уравнение такойплоскости можно записать в двух эквивалентных видах:hAv, Xi + hb, vi = 0, hAX + b, vi = 0.Пусть A — симметричная n-форма. Мы обозначаем символом hu, viA«скалярное произведение», определяемое формой A.
Кавычки стоят потому, что форма A, в отличие от настоящего скалярного произведения,не обязательно положительно определена.Говорим, что вектор u сопряжен вектору v относительно формыA, если u ⊥A v, то есть hu, viA = 0.Упражнение 160. В этом случае вектор v сопряжен вектору u.Пусть U, V — векторные подпространства в Rn . Говорим, что они сопряжены относительно A, если ∀u ∈ U ∀v ∈ V hu, viA = 0.53Пусть L — прямая с направляющим вектором v. МножествоL⊥A = {u ∈ Rn | hu, viA = 0}называется подпространством, сопряженным направлению L.⊥Упражнение 161. L1 ⊂ L⊥2 ⇐⇒ L2 ⊂ L1 .Асимптотические или самосопряженные направления — это такиеv, что hAv, vi = 0, то изотропные направления квадратичной формы A.Упражнения 162, 163. Если у квадратичной формы нет асимптотических направлений, то она является знакоопределенной (т.е.
положительно либо отрицательно определена). Если поверхность Ω заданауравнением hAX, Xi + 2hb, Xi + c = 0, то прямые, параллельные асимптотическому направлению формы A, либо целиком лежат в поверхности,либо не пересекают её.Главное направление — это направление, перпендикулярная плоскость к которому ему сопряжена. Соответствующие плоскости называются главными диаметральными плоскостями.9.6.1. Теорема.
Каждая гиперплоскость, сопряженная главномунаправлению, является плоскостью симметрии поверхности Ω.Доказательство. Записав уравнение сопряженной v диаметральнойплоскости Π в виде hAX + b, vi = 0, видим: в каждой точке Π векторAX+b перпендикулярен вектору v. Если v главное направление, то Π ⊥ v,то есть AX + bkΠ. Согласно теореме 5.4.2, Π — плоскость симметрии.Упражнение 164*. Верно ли обратное?Упражнения 165, 166. Если L — прямая,то диаметр, сопряженный направлению L, параллелен подпространству L⊥A .
Если поверхность центральная, то любое сечение ее плоскостью — центральная кривая и центры сечений параллельными плоскостями лежат напрямой.Особое направление — направление, сопряженное любому направлению. Если есть особые направления, то любой диаметр параллелен им.Упражнения 167 — 170. Главные направления ПВП в Rn — это— собственные векторы матрицы A. Для особых направлений Av = 0.Найти асимптотические, главные и особые направления квадратичнойформы F (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . То же для формы F (x, y, z) = x2 − y 2 .Упражнения 171, 172.
Любое особое направление параллельно любому диаметру. Найти все диаметры параболоидов и цилиндров.5410. Движение в силовом поле. Законы Кеплера10.1. Вектор-функции одной переменнойПусть r(t) ∈ Rn — вектор-функция, зависящая от переменной t ∈ Rr(t+dt)−r(t)(например, от времени). Тогда ṙ = limdt→0 dr— обычнаяdt =dtпроизводная, имеющая геометрический смысл скорости движения (скорость — тоже вектор). Очевидно, что операция дифференцирования линейна, то есть (u + v)0 = u̇ + v̇ и (λu)0 = λu̇.
Покажем, что и произведения векторов дифференцируются аналогично формулам дифференцирования произведений обычных функций:10.1.1. Лемма. Пусть a, b — две вектор-функции. Тогда0ha, bi = hȧ, bi + ha, ḃi, [a × b]0 = [ȧ × b] + [a × ḃ].Доказательство. Можно проверить в координатах, но мы воспользуемся лейбницевым представлением r(t + dt) − r(t) = ṙ(t)dt + o(dt), оноэквивалентно определению производной. Проверим, например, формулу для векторного произведения. Имеем (многоточия означают члены,малые по сравнению с dt):[(a + ȧdt + ...) × (b + ḃdt + ...)] = [a × b] + ([a × ḃ] + [ȧ × b])dt + ....Остальное несложно. Для скалярного произведения доказывается аналогично. Лемма доказана.Упражнение 173.
Доказать таким же способом (без координат!)формулу для дифференцирования смешанного произведения (a, b, c)0 =(ȧ, b, c) + (a, ḃ, c) + (a, b, ċ).10.2. Движение в центральном поле силПусть на тело, находящееся в точке r = (x, y, z) ∈ R3 действует силаF (r), F называют силовым векторным полем.Предположим, что координаты тела зависят от времени t, r(t) ∈ R3— закон движения тела. Тогда ṙ — скорость движения, а r̈ — ускорение.Согласно второму закону Ньютона, ускорение пропорционально силе инаправлено вдоль нее: mr̈ = F .Поле называется центральным, если для каждого r ∈ R3 векторF (r) параллелен вектору r. Примеры — поле тяготения, создаваемое центральной массой или электрическое поле, создаваемое центральным зарядом. Магнитное поле не является центральным.10.2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
