1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (826555), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Лемма. Пусть F — центральное поле сил. Если тело движется под действием силы F , то вектор M = [r × ṙ] постоянный.55Доказательство. Производная M равна нулевому вектору. В самомделе, M 0 = [r × ṙ]0 = [ṙ × ṙ] + [r × r̈]. Первое слагаемое равно нулю всегда.Второе слагаемое также равно нулю, поскольку r̈kF kr.Вектор M — это момент инерции движения тела относительно центра.Получаем два важных геометрических следствия:А) В центральном поле движение происходит в плоскости, перпендикулярной вектору M (так как r ⊥ [r × ṙ]).B) (в случае поля тяготения этоназывают вторым законом Кеплеrра). Секториальная скорость в цен- ...r+drтральном поле сил постоянна, тоесть радиус-вектор движения за равные промежутки времени заметаетравные площади (так как длина вектора M равна площади параллелограмма, натянутого на векторы r и dr = ṙdt, поэтому за короткое времяdt радиус-вектор заметает треугольники одной и той же площади.)Упражнение 174.
Доказать, что и в случае центрального поля в Rnтело движется в фиксированном двумерном подпространстве и секториальная скорость постоянна.10.3. Вывод первого закона Кеплера из закона всемирноготяготенияПредположим, что r(t) ∈ R3 — закон движения космического телавокруг Солнца, которое мы расположим в начале координат. Согласнозакону всемирного тяготения, эта сила направлена от тела к Солнцу (т.е.вдоль вектора −r) и обратно пропорциональна квадрату расстояния |r|:F = −kr, k — произведение масс и гравитационной постоянной.|r|3Дифференциальное уравнение движения в поле тяготения таково:r̈ = −kr.|r|310.3.1. Теорема (первый закон Кеплера). Небесные тела движутся по кривым второго порядка, в фокусе кривых находится Солнце.Доказательство.
Мы уже знаем, что вектор M = [r × ṙ] постоянный.Введем так называемый вектор ЛапласаA = [ṙ × M ] − k56r|r|и докажем, что он тоже сохраняется: A0 = 0. Достаточно проверить, чтоµ ¶0r[ṙ × M ]0 = k.(19)|r|Вычислим левую часть (19) — выражение [ṙ × M ]0 . Имеем:[ṙ × M ]0 = [r̈ × M ] + [ṙ × M 0 ] = [r̈ × M ] = [r̈ × [r × ṙ]].Применим тождество «бац минус цаб», получим[ṙ × M ]0 = rhr̈, ṙi − ṙhr̈, ri.Подставив вместо r̈ вектор −k |r|r 3 , будем иметь[ṙ × M ]0 = −krk ṙkrk ṙhr, ṙi + 3 hr, ri = − 3 hr, ṙi + .|r|3|r||r||r|(20)Теперь вычислим правую часть (19).
Посчитаем без множителя k:µ ¶0ṙ|r| − r · (|r|0 )rrṙ=− 2 · |r|0 .=2|r||r||r| |r|1Но |r|0 = (hr, ri 2 )0 =hṙ,ri+hr,ṙi12hr,ri 2µr|r|=hṙ,ri|r| ,¶0=поэтомуṙr · hṙ, ri−.|r||r|3(21)Сравнивая (20) и (21), убеждаемся в справедливости формулы (19).Итак, мы доказали, что вектор Лапласа A постоянный. Выберем вплоскости движения полярную систему координат, направив ось по вектору Лапласа A. Умножим скалярно A на r, будем иметь|A| · |r| cos ϕ = hr, Ai = hr, [ṙ × M ]i − k|r|Слагаемое hr, [ṙ × M ]i — смешанное произведение векторов r, ṙ и M —перепишем в виде h[r × ṙ], M i.
Но это равно hM, M i = |M |2 . Имеем:|A| · |r| cos ϕ = |M |2 − k|r|, или |r| =M 2 /k1 + (|A|/k) cos ϕПоследнее (если вместо угла ϕ рассмотреть угол ϕ + π) — стандартноеуравнение КВП в полярной системе координат с эксцентриситетом |A|k .Для полноты сформулируем еще третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам длинбольших полуосей их орбит. Его можно доказать с помощью закона сохранения энергии.5711. Специальная теория относительности«Единственное различие между Временем и любым из трех пространственных измерений заключается в том, что наше сознание движетсявдоль него» (Г. Уэллс. Машина времени).
Развитие электродинамики иоптики привело Эйнштейна, Пуанкаре, Лоренца и Минковского к созданию специальной теории относительности. Математика, лежащая в ееоснове, очень проста.11.1. Опыт МайкельсонаУпражнение 175 (нерелятивистское). Самолет летит от пунктаA в пункт B и обратно. Расстояние между пунктами равно L. Скоростьсамолета равна некоторому числу c.
Сколько времени самолет затратитна путь, если а) ветра нет; б) ветер v дует вдоль маршрута по направлению от B к A; в) ветер v дует поперек маршрута?12LОтвет: а) 2L, в) q 1 v2 2Lv2 cc , б)c .1− c21− c2В поисках эфира — гипотетической среды, колебания которой хотелиинтерпретировать, как световые волны, ставились различные эксперименты.Интерферометр Майкельсона. Так называетсяB'прибор, состоящий из источника света I, полупрозрач0ного зеркала A, двух зеркал B, B и приемника светаBP , расположенных так, как показано на рисунке.
Поток IAсветовых волн, вылетевший из I, разделяется полупроPзрачным зеркалом A на две волны, встречающиеся в P ...I→A↓PÀB и I→B0↑↓A .↓PПредположим, что существует выделенная система отсчета, покоящаяся относительно эфира. Пусть, например, прибор Майкельсона движетсяотносительно этой системы так, что «эфирный ветер» направлен вдольлинии AB навстречу источнику света и скорость этого ветра равна числуv. Если предположить еще, что луч света «сносит» эфирным ветром, какв упражнении про самолет, то в приемнике возникнет интереференционная картина, возникшая в результате приема двух не совпадающих пофазе волн. На практике невозможно осуществить приемлемое равенство«плеч» AB и AB 0 , но это и не нужно, поскольку ясно, что при изменении58ориентации прибора Майкельсона по отношению к эфиру интерференционная картина тоже должна меняться.Опыт показал, что «картинка» в приемнике не зависит от ориентацииприбора.
Можно заметить, что предположение о сокращении длин в направлении движения в q 1 v2 раз приводит к тому, что время движения1− c2светового луча вдоль путей I и II будет одинаковым. (Упражнение176: показать это.)Предлагались и другие объяснения взаимодействия эфира со светоми веществом, объясняющие «отсутствие результата» опыта Майкельсона,однако эти объяснения, в свою очередь, противоречили результатам некоторых других опытов. Ничему не противоречило только предположениео том, что для различных систем отсчета справедливы преобразованияЛоренца.
Понятие эфира оказалось лишним.Основным аргументом в пользу истинности преобразований Лоренцастала инвариантность уравнений Максвелла, описывающих распространение электромагнитных волн. Преобразования Галилея не сохраняютуравнения Максвелла.11.2. Преобразования Лоренца (x, t) 7→ (x0 , t0 )Если в пространстве-времени выбрана система координат I (r, t), томожно говорить, что событие имеет координаты (r, x), если оно происходит (относительно системы I) в момент времени t в пространственнойточке r.Рассмотрим случай двумерного пространства-времени (x, t), x ∈ R.Если система координат II (x0 , t0 ) является инерциальной относительно I, то есть движется относительно I с постоянной скоростью v ∈ R, тоформулы перехода для двумерных координат в пространстве-времени отI к II имеют вид линейных преобразований (x, t) 7→ (x0 , t0 ):Механика Ньютона (преобразования Галилея) x = x0 + vt0 , t = t0 ,t0 + v2 x0x0 + vt0СТО (преобразования Лоренца) x = q,t = q c.221 − vc21 − vc211.3.
Сложение скоростей. Преобразования Лоренца в пространстве – времени (x, y, z, t). Постоянство скорости светаЗадача 1. Летящая со скоростью v ракета II стреляет вперед снарядом, вылетающим из нее с относительной скоростью u. Какова скорость w снаряда относительно неподвижного наблюдателя?59Решение. В системе отсчета ракеты закон движения снаряда x0 (t0 ) =ut . Найдем w, при котором x(t) =qwt.
Подставляем в преобразования2√Лоренца x0 и t0 (пишемвместо 1 − vc2 , чтобы не было громоздко):0µ ¶ Ãx=t1√v√v/c2√1√!µx0t0ö=Поделив x на t, получаем: w =xt1√v√v/c2√1√=u+v1+ uvc2!µut0t0¶(u+v)t0√= ( uv2 +1)t0 c√. Итак, скорость u «склады-вается» с v по коммутативному (что изначально не очевидно) правилуu«+»v =u+v.1 + uvc2(22)Упражнение 177.
«Сложение» параллельных скоростей ассоциативно.Упражнение 178. Если |u| < c и |v| < c, то |u«+»v| < c. Для каждогоu выполнено u«+»c = c.Обозначим r = (x, y, z), r0 = (x0 , y 0 , z 0 ). Если система координат II0 0 0(x , y , z ) является инерциальной, то есть движется относительно первойсистемы (x, y, z) с постоянной скоростью v ∈ R3 , то формулы преобразования Галилея таковы: r = r0 + v, t = t0 , а преобразования Лоренцаr0k + vt0t0 + hv, r0 irk = q, r⊥ = r0⊥ , t = q.2|v|21 − |v|1−22ccЗдесь r = rk + r⊥ — разложение вектора r на параллельную v иперпендикулярную v части.Например, если скорость v = (v, 0, 0) параллельна оси OX, то преобразования Лоренца будут такими: x =x0 +vt0q21− vc2, y = y0 , z = z0 , t =t0 + cv2 x0q.21− vc2Преобразования координат y, z при таком движении тождественны, а координаты (x, t) меняются как в двумерном преобразовании Лоренца.Преобразования Лоренца, как и преобразования Галилея, линейны.Упражнение 179*.
В отличие от галилеевых, преобразования Лоренца не линейны по скоростям, но обратное преобразование Лоренцаполучается, если взять −v вместо v. Таким образом, если система IIдвижется относительно I со скоростью v, то система I движется относительно системы II со скоростью v0 = −v.60Рассмотрим случай, когда складываемые скорости не параллельны.Задача 2. Ракета II летит со скоростью v вдоль оси OX относительно системы I. Из нее выстреливается в сторону перпендикулярнооси ракеты (в системе отсчета ракеты) снаряд со скоростью u.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
