1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (826555), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Найтивектор w скорости снаряда в системе I.Решение. Можно считать, что снаряд выстреливается вдоль оси OZ 0 .В системе координат ракеты II имеем: (x0 , y 0 , z 0 )(t0 ) = (0, 0, ut0 ), то естьмировая линия снаряда в системе координат II такова:(x0 , y 0 , z 0 , t0 ) = (0, 0, ut0 , t0 ).Для удобства перейдем к таким единицам измерения времени, в которых c = 1.
Подставим пространственно-временные координаты (0, 0, ut0 , t0 )x0 +vt0t0 +vx0в преобразования Лоренца x = √, y = y0 , z = z0 , t = √:1−v 21−v 2 √1x1−v 2 y 0 z =0√ vt1−v 2 √101−v 201=00√ v021−v0100x0 y0 0 0 = z 01√t01−v 2√ v01−v 2 0 0 0 ut 0√ 1t01−v 200100010√ v1−v 2√Поделим (x, y, z) на t, получим вектор скорости w = (v, 0, u 1 − v 2 ).Если вернуться к единицам измерения времени, в которых скоростьсвета равна c,то вместо скоростей u, v, w в последнейµформуле надо¶взятьqq2u v wwvuv2,,.Получаем:=(,0,1−),илиw=v,0,u1 − vc2 .c c ccccc2Упражнение 180.
|w| < c, если |u| < c и |v| < c. Что, если u = c?Упражнение 181. Сложение некоммутативно. Является ли сложение ассоциативным?11.4. Аберрация светаЗадача 3. Пилот ракеты II, летящей со скоростью v вдоль оси OXнеподвижной системы координат I видит в иллюминатор очень далёкую неподвижную в I звезду сбоку (т.е. перпендикулярно оси ракеты).Где будет видна звезда, если ракета остановится?Решение. Лучи звезды, попадающие в ракету, можно интерпретировать, как снаряды из задачи 2 (при этом u = −c, так как лучи со скоро61стью света влетают, а не вылетают). Остановка ракеты — это переходпиq2лота в систему отсчета I. Подставляя, получаем: w = (v, 0, −c 1 − vc2 ) =√(v, 0, − c2 − v 2 ).
Это означает, что при остановке звезда сместится «назад по борту» и угол от перпендикуляра к ракете до направления назвезду составит arctg √c2v−v2 .Это явление кажется парадоксальным, но на самом деле в нем нетничего особенного даже с классических позиций. В системе отсчета космонавта мы видим лучи, испущенные звездой очень давно, когда онанаходилась сбоку и впереди по курсу.Упражнение 182 (нерелятивистское). Пусть капли дождя падаютвертикально со скоростью u. Если человек бежит со скоростью v, то наблюдаемые им траектории капель составляют угол arctg uv с вертикалью.Упражнение 183.
Если ракета, наоборот, полетит быстрее (со скоростью V > v), то звезда сместится «вперед по борту». Насколько?11.5. Сокращение длин и относительность одновременностиПусть A и B — какие-то события в пространстве-времени. Пусть вектор AB имеет координаты (∆x, ∆t) в I и (∆x0 , ∆t0 ) в II. Рассмотримнекоторые следствия преобразований Лоренца∆t0 + v2 ∆x0∆x0 + v∆t0∆x = q, ∆t = q c.221 − vc21 − vc2Если вqII события A и B одновременны, то есть ∆t0 = 0, то2∆x01 − vc2 < 1, ∆x0 < ∆x. (лоренцево сокращение длин),∆x =∆t =v∆x0c2q21− vc26= 0 (относительность одновременности).Если вqII события происходят в одном и том же месте (∆x0 = 0), то2∆t01 − vc2 < 1, ∆t0 < ∆t (лоренцево сокращение времени).∆t =Проиллюстрируем эти эффекты на некоторых «парадоксах» СТО.1. Бегун, бегущий со скоростью v и несущий горизонтально расположенное копьё, вбегает в сарай.
Пусть событие B таково: «острие копьяпробило дальнюю от бегуна стенку сарая»; событие A таково: «хвост копья поровнялся с входом в сарай». Свяжем систему координат I с сараем,а систему координат II с бегуном.Имеем: ∆x0 — длина копья с точки зрения бегуна, ∆x — длина сарая(с «точки зрения» сарая).62Предположим, что события A и B одновременны с точки зрения бегуна (∆t0 = 0). Это, в частности, означает, что с его точки зрения длина∆x0 копья равна длине сарая. В то же время с «точки зрения» сарая событие B произошло позже события A (поскольку ∆t > 0), а копье, сталобыть, короче, чем длина сарая ∆x.2. В том же сарае висит пара часов A, B, идущих синхронно с «точкизрения» сарая.
Бегун несет не копье, а маленький фонарик, которым поочереди освещает часы. С точки зрения бегуна фонарик неподвижен, тоесть ∆x = 0. Путь от A до B с точки зрения бегуна занимает время ∆t0 .Но разница показаний часов A и B составит время ∆t > ∆t0 . Бегунупокажется, что часы в сарае спешат. В самом деле, если, осветив часыA, бегун поставил свои наручные часы по ним, то когда он осветит часыB, последние будут показывать более позднее время, чем наручные).3. Две одинаковых ракеты RI и RII летят близкими встречными курсами. В хвосте каждой ракеты имеется торчащая вбок антенна, Обозначим A событие (т.е. точку в пространстве-времени) «нос ракеты RIпоцарапался об антенну ракеты RII ». Событие B, соответственно: «носракеты RII поцарапался об антенну RI ».В системе отсчета ракеты RI сама RI неподвижна, а RII движетсяи, значит, ракета RII короче (сокращение длин!) ракеты RI .
Поэтомусначала произойдет событие A, а потом — событие B.Для космонавта второй ракеты всё наоборот (ситуация симметрична).Задача 4. Не может ли первый космонавт втянуть антенну в хвостсвоей ракеты сразу после события A (нажав на специальную кнопку) и,таким образом, «отменить» событие B?Решение: космонавт, сидящий в кабине ракеты I не может «отменить»событие B, несмотря на то, что оно (для него) наступит после A. Дело втом, что ракета — протяженный объект и если даже космонавт нажметкнопку, втягивающую антенну, одновременно с наступлением событияA, то электрический ток, идущий со скоростью света по кабелям внутриракеты, дойдет до механизма, втягивающего антенну, в тот самый миг(упражнение 184*), в который нос ракеты I заденет эту антенну.Упражнение 185.
Проверить случай, когда космонавт сидит в середине или в хвосте ракеты.qПриведём приближенные значения вездесущего множителяУпражнение 186 (мат.анализ).v2r1 − 2cесли vc ≈ 022v1− 2 ≈.qc 2(1 − |v| ) если |v| ≈ 1cc631−v2c2 .99Задача 5. Космонавт путешествует со скоростью 100c к звезде, находящейся на расстоянии 50 световых лет (то есть свет от звезды донас идет 50 лет) и обратно. На сколько постареет космонавт? Скольколет пройдет на Земле?p0Решение. tt ≈ 2(1 − vc ) ≈ 17 . Космонавт постареет примерно на 15лет, в то время, как на земле пройдет столетие.
Примерно в такой ситуации оказались герои книги [2].Замечание. Космонавту для достижения подобной скорости придетсягодами выдерживать ускорения порядка нескольких g.Задача 6. Ракета слетала к Марсу и обратно, летала она год соскоростью 10 км/c. Наcколько отстанут часы космонавта от земноговремени?0v217Решение. tt ≈ 1− 2c2 ≈ 1− 2·109 . В году приблизительно 3·10 секунд.Поэтому часы отстанут примерно на одну шестидесятую долю секунды.11.6. Эффект ДопплераЕсли мы сближаемся с источником звука, то звук кажется выше, аесли удаляемся — то ниже.
При этом частота ω «излучаемого» звукасвязана с частотой ω 0 воспринимаемого звука формулойω0v=1− ,ωVгде V — скорость звука в воздухе, а v ∈ (−∞, V ) — скорость удаленияобъекта от нас. Вспомним, как понижается звуковой сигнал проезжающего рядом автомобиля.Выведем эту формулу, пользуясь преобразованиями Галилея.
Считаем, что 0 < v.Пусть частота источника звука равна ω, то есть источник (в своейсистеме отсчета I) испускает ω звуковых волн в секунду. За t секундисточник испустит tω волн.Пусть источник включают, когда движущийся наблюдатель поравнялся с ним. За время t источник излучит tω звуковых волн вслед наблюдателю, но поскольку наблюдатель удалится к этому времени от источника на расстояние tv, до него еще не долетят волны, выпущенныеза последние t Vv секунд (проверьте!). Итак, к моменту t до наблюдателядолетит ωt(1 − Vv ) звуковых волн иt(1 −ω0=ωt0vV)=1−vV(так как в преобразованиях Галилея время t0 = t).64(23)Упражнение 187. Разобрать случай v < 0 (II сближается с I).Задача 7.
Над домом пролетел вертолет, при этом высота его звукапонизилась на квинту (частоты квинты относятся как 2/3). Найтискорость.Решение. Обозначим ω собственную частоту вертолета. Пусть скорость вертолета v. Когда вертолет приближается, v имеет знак минус, аωω= (1 + Vv ), удал.= (1 − Vv ), значиткогда удаляется — плюс. Имеем прибл.ωω1−2ωудал.==3ωприбл.1+vVvV=V −vV +vСкорость в пять раз меньше скорости звука, или примерно 240 км/ч.Для вычисления светового эффекта Допплера используем преобразования Лоренца.
Нетрудно проверить, что рассуждения до формулы(23) включительно остаются верными и для этих преобразований (только надо вместо «звук» писать «свет», а вместо скорости V писать «c».К моменту t до наблюдателя долетит ωt(1 − vc ) световых волн. Как и в0t(1− v )1−v2c2формуле (23), имеем: ωω = t0 c .А теперь мы вспомним, что в преобразованияхq Лоренца время t и2t00время t не совпадают, а связаны формулой t = 1 − vc2 . Поэтому указанное выше количествоq световых волн наблюдатель воспримет за собственное время t0 = tиp1−t(1 − vc )(1 − vc )ω0==q=p02ωt1+1 − vc2vcvc√c−v=√.c+v0Упражнение 188.
При малых vc ωω ≈ 1 − vc + K( vc )2 + .... Найти K.Задача 8. Роберт Вуд сказал полицейскому, что видел красный сигнал светофора как зелёный. Находчивый полицейский все же оштрафовал Вуда. За что?Решение. Отношениечастот «зеленый»/«красный» примерно равно√c−v√1.25. Решая уравнение c+v = 1.25, получаем, что Вуд ехал со скоростьючуть медленнее четверти скорости света. Полицейский оштрафовал Вудаза превышение скорости.11.7. Четырехмерный мир Минковского.
Пространственноподобные и времениподобные интервалы. Световой конусПусть A 6= B — некоторые события в пространстве-времени. Какопределить, может ли одно из этих событий A быть причиной друго65го? Ясно, что этого не может быть, например, когда есть такая системакоординат, в которой события одновременны.Выберем системы координат I и II, пусть в системе I AB = (r, t) =(x, y, z, t), а в системе координат II AB = (r0 , t0 ) = (x0 , y 0 , z 0 , t0 ).Упражнение – определение 189. «Квадрат длины» пространственно-временного интервала сохраняется при преобразованиях Лоренца:x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = x0 2 + y 0 2 + z 0 2 − c2 t0 2 .Поэтому если в системе II события A и B одновременны, т.е. t0 = 0,то r0 2 − (ct0 )2 = r0 2 > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
