1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (826555), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В силу сохранения квадрата длины интервала имеем: в системе I (и в любой инерциальной системе отсчета) будетвыполнено r2 − (ct)2 > 0 — необходимое условие одновременности в некоторой системе координат. Упражнение 190: Показать, что это условиеи достаточно.Упражнение 191*. Показать, что условие r2 − (ct)2 < 0 необходимои достаточно для наличия системы координат II, в которой события A иB происходят в одном месте. Какова скорость II относительно I?В пространстве-времени (x, y, z, t) есть псевдоскалярное произведениеh(x1 , y1 , z1 , t1 ), (x2 , y2 , z2 , t2 )i := (x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 − c2 t1 t2 ).Соответствующая квадратичная форма (x, y, z, t) 7→ x2 + y 2 + z 2 − c2 t2имеет индексы 3, 1 и не является положительно определенной, поэтомуи присутствует приставка «псевдо».
Пространство с такой псевдоевклидовой структурой обозначается R1,3 и называется мир Минковского.Замечание: во многих источниках знаки обратны: не +++−, а −−−+.Классификация векторов в R1,3 не зависит от выбора инерциальнойсистемы отсчета:|AB|2 = x2 +y 2 +z 2 −(ct)2 > 0 — «пространственноподобные» векторы,|AB|2 = x2 + y 2 + z 2 − (ct)2 < 0 — «времениподобные» векторы.|AB|2 = x2 +y 2 +z 2 −(ct)2 = 0 — светоподобные векторы, или световойконус.
Его положительная часть образована траекториями фотонов.Упражнение 192*.tt'Пусть (x0 , y 0 , z 0 , t0 ) —система координат II,x', y,' z'x,y,zсвязанная c I преобразованием Лоренца. Доказать: 3-мерные плоскости Π0 = {t = const}одновременных в II событий сопряжены направлению оси времени O0 t066относительно светового конуса. Геометрически это значит, что центрыэллипсоидов — сечений конуса плоскостями, параллельными плоскостямΠ0 лежат на оси времени t0 .Упражнение 193*. Пусть I и II — две системы отсчета, причем осьвремени Ot0 второй системы параллельна вектору, имеющему в системеI координаты (c, 2c, 3c, 4).
Найти вектор скорости v, с которой система IIдвижется относительно системы I. Каково уравнение плоскости Ox0 y 0 z 0событий, одновременных относительно II, в системе координат I?Подчеркнем, что ни одна система координат в мире Минковского несчитается выделенной. Выделен только конус Минковского.Упражнение 194. Преобразования Лоренца сохраняют псевдоскалярное произведение, то есть являются изометриями мира Минковского.11.8. Преобразования Лоренца плоскости как группа гиперболических поворотов. Группа ЛоренцаВ этом параграфе скорость света равнаединице.
Обозначимматрицу!µ¶µ¶ à √10√ vxx221−v1−vсимвов преобразованиях Лоренца=√ v√ 1t0t1−v 21−v 2лом Av , v ∈ (−1, 1) ⊂ R.Упражнение 195. A−1v = A−v , Au Av = Av Au = Au«+»v .Таким образом, множество преобразований Лоренца с операцией композиции изоморфно группе {(−1, 1), «+»}, см. формулу (22).Преобразование Лоренца плоскости (x, t) естественно называть гиперболический поворот. В самом деле, для любого vµ ∈ (−1, 1) най¶ch α sh αдётся единственное число α = α(v) ∈ R такое, что Av =,sh α ch α1vто есть ch α = √1−v, sh α = √1−v. Это следует из определения гипербо22αα−α−α, sh α = e −eи «основного гиперболических функций ch α = e +e2222лического тождества» ch − sh = 1.
Итак, v = th α, α = arcth v.Упражнение 196. Проверить гиперболическое тождество. Вывестиформулы для ch(α + β), sh(α + β). Выразить arcth через логарифм.Упражнение 197. Для любых u, v ∈ (−1, 1) α(u) + α(v) = α(v«+»v), то есть и группа гиперболических поворотов, и группа {(−1, 1), «+»}изоморфны группе вещественных чисел по сложению.Группа гиперболических поворотов похожа на группу SO(2) поворотов евклидовойплоскости(x, y). Группа поворотов состоит из матрицµ¶cos α − sin αвидаи сохраняет окружности {(x, y) | x2 + y 2 = const}.sin α cos α67Упражнение 198*.
Какие кривые второго порядка сохраняются гиперболическими поворотами?Группа SO(2) является подгруппой в группе O(2) линейных изометрий R2 . Изометрия — отображение, сохраняющее квадрат длины вектора. Группа O(2) включает в себя следующие компоненты:µ¶µ¶cos α − sin αcos αsin αповороты,отражения.sin α cos αsin α − cos αСходным образом, группа гиперболических поворотов — подгруппагруппы Лоренца O(1, 1) — группы всех линейных изометрий псевдоевклидовой плоскости (x, t), т.е. отображений плоскости (x, t), сохраняющих «квадрат длины» x2 − t2 пространственно-временного интервала.Упражнение 199. Группа Лоренца состоит из следующих четырехтипов матриц:µ¶ µ¶ µ¶ µ¶ch α sh α− ch α sh αch α sh α− ch α sh α,,,.sh α ch αsh α ch αsh α − ch αsh α − ch αМатрицы первого типа задают стандартное преобразование Лоренца.Прочие типы отличаются от стандартных тем, что они меняют ориентацию пространственной и (или) временной части.
Например, третий типменяет «направление времени».Упражнение 200. Четыре компоненты группы Лоренца являютсясмежными классами по подгруппе гиперболических поворотов.Преобразования Лоренца мира Минковского (x, y, z, t) образуют подгруппу в группе Лоренца O(1, 3) всех линейных преобразований, сохраняющих «квадрат длины» пространственно-временногоинтервала.1 0 0 00 1 0 0 Упражнение 201. Пусть P = 0 0 1 0 .
Тогда: L ∈ O(1, 3) ⇔0 0 0 −1L> P L = P .Упражнение 202*. Линейное преобразование L переводит световойконус в себя ⇔ L пропорциональна некоторому элементу группы O(1, 3).Группа Лоренца O(1, n) преобразований, сохраняющих аналогичнуюквадратичную форму P сигнатуры (1, n) в пространстве Rn+1 тоже состоит из четырех компонент. Подгруппа стандартных преобразованийЛоренца обозначается SO+ (1, n) (или SO↑ (1, n)). Стрелка показывает сохранение направления времени (причинности), а буква S — сохранениеориентации всего n + 1-мерного «пространства-времени». Соответствующее «пространство-время» принято обозначать R1,n .68Упражнение 203. Придумать определение пространства Rl,k и группы O(k, l).
Сколько компонент в этой группе?ЛИТЕРАТУРА1. Табачников С. Геометрия и биллиарды. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011.2. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие.– 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.3. Станислав Лем. Возвращение со звезд. СПб.: Амфора, 2000.69СОДЕРЖАНИЕПредисловие . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. Многочлены и алгебраические поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Многочлены второго порядка в Rn . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Матричная запись многочлена второго порядка. Замена координатв многочлене второго порядка.§ 3. Кривые второго порядка на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Классификация кривых второго порядка. Директориальное свойство. Фокальные свойства.
Оптические свойства. Кривые второгопорядка как конические сечения. Шары Данделена. Биллиарды.Эллиптический биллиард. Уравнения КВП в полярной системе координат. Параметрическое задание эллипса и гиперболы. ФигурыЛиссажу. Гиперболические функции.§ 4. Касательные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Касательные векторы к множеству. Касательное пространство. Градиент функции многих переменных. Уравнение касательного пространства. Касательные к кривым второго порядка.§ 5.
Диаметры КВП. Сопряженные направления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Диаметр, сопряженный направлению v. Уравнение кривой в базисе сопряженных направлений. Теоремы Аполлония.§ 6. Центр. Цилиндрические и конические поверхности второгопорядка в Rn . Плоскости симметрии . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Центр. Центральные поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности второго порядка. Конические поверхности. Конус над подмножеством. Плоскости симметрии.§ 7. Поверхности второго порядка в R3 . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Классификация поверхностей второго порядка в R3 . Прямолинейные образующие. Аффинная классификация ПВП. Топологическая классификация ПВП. Поверхности вращения. Круговые сечения ПВП. Одна задача на условный экстремум.§ 8. Инварианты и полуинварианты. Метод Лагранжа выделенияполных квадратов .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Инварианты I1 , . . . , In . Инвариант Kn , он же In+1 . Полуинварианты K1 , . . . , Kn . Полуинварианты простейших многочленов. МетодЛагранжа выделения полных квадратов.§ 9. Билинейные и квадратичные формы . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Примеры форм. Знакоопределенность. Координатное представление. Приведение пары форм одновременно к сумме квадратов.Положительный и отрицательный индексы квадратичной формы.70Закон инерции. Критерий Сильвестра.
Индексы на подпространстве. Изотропные векторы квадратичной формы. Ранг. Классификация направлений квадратичной формы. Диаметральные плоскости поверхностей второго порядка.§ 10. Движение в силовом поле. Законы Кеплера . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Вектор-функции одной переменной. Движение в центральномполе сил. Вывод первого закона Кеплера из закона всемирноготяготения.§ 11. Специальная теория относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 58Опыт Майкельсона. Преобразования Лоренца в пространстве–времени(x, t). Преобразования Лоренца в четырехмерном пространстве–времени. Сложение скоростей. Постоянство скорости света. Аберрация света. Сокращение длин и относительность одновременности. Эффект Допплера. Четырехмерный мир Минковского. Пространственноподобные и времениподобные интервалы. Световойконус. Преобразования Лоренца как группа гиперболических поворотов. Группа Лоренца.Литература . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6971.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
