1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (826555)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетК. В. СторожукЛЕКЦИИПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИКРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКАУчебное пособиеНовосибирск2016.2Предисловие. Предлагаемое пособие охватывает второй семестр курса аналитической геометрии, читаемый автором на первом курсе ММФНГУ. Читателю пригодятся знания геометрии, алгебры и математического анализа в объеме первого семестра.Решаемость упражнений — критерий понимания. Упражнение внутридоказательства означает: читатель, если он понял все остальное, легкоего решит.
Трудные или важные упражнения отмечены звездочкой.Автор благодарен Я.В. Базайкину, Е.Г. Мальковичу, Э.И. Шамаеву иА.Э. Даржаину за ценные советы.1. Многочлены и алгебраические поверхностиМножество Ω ⊂ Rn называется алгебраической поверхностью, еслисуществует многочлен n переменных F (x), x = (x1 , . . . , xn ), такой, чтоΩ = {x ∈ Rn | F (x) = 0}.Наименьшую возможную степень многочлена, задающего Ω, называютпорядком алгебраической поверхности и обозначают ord(Ω) или ord Ω.Например, гиперплоскости (и только они) — поверхности порядка 1.Пустое множество и само Rn — поверхности порядка 0. В самом деле,Rn = {x | 0 = 0}, ∅ = {x | 1 = 0}.При n > 1 точка в Rn — поверхность порядка 2, так как она можетбыть задана уравнением (x1 − p1 )2 + .
. . + (xn − pn )2 = 0.Упражнения 1 – 3. Окружность на плоскости, сфера в пространстве— поверхности порядка 2. Прямая в R3 — поверхность второго порядка.Конечный набор точек в R — поверхность какого порядка?1.1. Лемма. Объединение и пересечение алгебраических поверхностей — алгебраическая поверхность, причемord(Ω1 ∪Ω2 ) ≤ ord(Ω1 )+ord(Ω2 ), ord(Ω1 ∩Ω2 ) ≤ max{ord2 (Ω1 ), ord2 (Ω2 )}.Доказательство. Пусть поверхности Ω1 и Ω2 задаются многочленамиF1 (x) и F2 (x), x ∈ Rn .
Легко проверить, что многочлен F1 · F2 задаетобъединение, а многочлен F12 + F22 — пересечение. Лемма доказана.Пусть V — векторное пространство или аффинное подпространствовекторного пространства. Множество Ω ⊂ V называется алгебраическойповерхностью в V , если существует такая аффинная система координатв V , в которой Ω задается многочленом. Наименьшая возможная степеньмногочлена называется порядком поверхности в V и обозначается ordV Ω.Букву V опускают, если ясно, в каком V рассматривается Ω.3Упражнение 4. Пусть P — точка на прямой l ⊂ Rn , n > 1.
Тогдаord{P } {P } = 0, ordl {P } = 1, ordRn {P } = 2.Докажем, что порядок поверхности не зависит от выбора системы координат в V . Пусть F (x1 , . . . , xn ) — многочлен и (x01 , . . . , x0n ) — новая система координат,связанная с координатами (x1 , . . . xn ) формулами переPхода xi = aij x0j + bi , i = 1, . . .
, n. Рассмотрим многочлен G(x01 , . . . , x0n ),получаемый подстановкой в многочлен F соответствующих выражений.Многочлены G и F задают одно и то же множество Ω (каждый — в своей системе координат). При этом deg G ≤ deg F . Осталось показать, чтоdeg G = deg F . Это — упражнение 5.Упражнение 6. Пусть A : Rn → Rn — аффинное преобразование.Если Ω — алгебраическая поверхность, то A(Ω) — алгебраическая поверхность того же порядка.1.2. Лемма.
Пересечение алгебраической поверхности Ω в V и аффинного подпространства X ⊂ V — алгебраическая поверхность в X.При этом degX (X ∩ Ω) ≤ degV (Ω).Доказательство. Выберем в X координаты (x1 , . . . , xk ) и продолжимих до координат (x1 , . . . , xn ) на всем V . Поверхность Ω можно задать вV многочленом F (x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . xn ) = 0. Положим G(x1 , . . . , xk ) =F (x1 , . . . , xk , 0, .
. . 0). Уравнение G(x1 , . . . , xk ) = 0 задает множество Ω∩Xв подпространстве X. Остальное очевидно. Лемма доказана.1.3. Лемма. Пусть Ω — алгебраическая поверхность, ord Ω = k.Любая прямая l либо имеет с Ω не более чем k общих точек, либо l ⊂ Ω.Доказательство. Эту лемму можно вывести из предыдущей леммыи упражнения 3, но мы докажем ее непосредственно. Подставим параметрическую запись прямой X(t) = X0 + at в многочлен, задающий Ω,получаем многочлен g(t) одной переменной t, причем его степень не превосходит числа k. Из теоремы Безу следует, что либо g(t) ≡ 0 (и тогдаl ⊂ Ω), либо g имеет не больше k корней.
Лемма доказана.Упражнения 7 – 9. Кривая y = sin x не алгебраическая. Луч — неалгебраическая кривая. Кривая y = x1 алгебраическая, какого порядка?Упражнение 10. Доказать, что криваяΩ1 имеет порядок 8.Упражнение 11*. Доказать, что криваяΩ2 имеет порядок 8.U1U2Упражнение 12*. Кривая y = ex не алгебраическая.Упражнение 13*.
Многочлены F и G в Rn совпадают (то есть коэффициенты при одинаковых мономах у них одинаковы) в том и только томслучае, когда F и G совпадают как функции (т.е. ∀x ∈ Rn F (x) = G(x)).42. Многочлены второго порядка в Rn2.1. Матричная запись многочлена второго порядкаВекторы из Rn всюду мы считаем вектор-столбцами, хоть пишем ихв строчку. Например, X = (x1 , . . . , xn ), X 0 = (x01 , .
. . , x0n ).Многочлен F второго порядка n переменных можно записать в видеF (X) =nXaij xi xj + 2i,j=1nXbi xi + c,i=1и можно сделать aij = aji (почему?) Запишем этот многочлен такF (X) = hAX, Xi + 2hb, Xi + c,считая X = (x1 , x2 , .
. . , xn ), A = (aij ) — симметричная n × n-матрица,b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn . Угловые скобки означают скалярное произведение.2.2. Замена координат в многочлене второго порядка1. Линейная замена координат. Пусть X 0 = (x01 , . . . , x0n ) и Q — матрица перехода (не обязательно ортогональная), X = QX 0 .Многочлен второго порядка F (X) = hAX, Xi + 2hb, Xi + c при такойзамене превращается в многочлен hÃX 0 , X 0 i + 2hb̃, X 0 i + c, гдеà = Q> AQ, b̃ = Q> b.В самом деле, вспомним, что для любой матрицы T и векторов u, v выполнено hu, T vi = hT > u, vi. В частности,hAX, Xi = hAQX 0 , QX 0 i = hQ> AQX 0 , X 0 i.Аналогично, hb, Xi = hb, QX 0 i = hQ> b, X 0 i.2.2.1. Лемма.
Существует ортогональная замена координат («поворот»), в которой квадратичная часть многочлена F принимает диагональный вид, т.е.XhÃX 0 , X 0 i =λi x02i .Доказательство. Известно, что из собственных векторов симметричнойматрицыможновыбратьортогональныйбазис{e01 , . . . , e0n },00Aei = λi ei . Перейдем в новую систему координат, X = QX 0 . Столбцыматрицы Q — координаты векторов e0i . Тогда Ã = Q> AQ — диагональная матрица. Проверим это: на ij-том месте стоит скалярное произведение i-той строки матрицы Q> на j-тый столбец матрицы AQ, то естьhe0i , λi e0j i.
Последнее равно λi при i = j и нулю при i 6= j, так как векторыортогональны. Лемма доказана.52. Замена координат при сдвиге. Пусть X = X 0 +X0 . Многочлен F (X)преобразуется в многочлен F̃ (X 0 ) = hAX 0 , X 0 i + 2hb̃, X 0 i + c̃, гдеb̃ = AX0 + b, c̃ = hAX0 , X0 i + 2hb, X0 i + c = F (X0 ).(1)В самом деле, раскрывая скобки, получаем:F (X 0 + X0 ) = hA(X 0 + X0 ), X 0 + X0 i + 2hb, X 0 + X0 i + c == hAX 0 , X 0 i + hAX0 , X 0 i + hAX 0 , X0 i + hAX0 , X0 i + 2hb, X 0 i + 2hb, X0 i + c.Матрица A симметрична, поэтому второе и третье слагаемое равны.Заменим сумму этих слагаемых на 2hAX0 , X 0 i:hAX 0 , X 0 i + 2hAX0 , X 0 i + hAX0 , X0 i + 2hb, X 0 i + 2hb, X0 i + c.Объединяя второе и четвертое слагаемые, получаем требуемое:F̃ (X 0 ) = hAX 0 , X 0 i + 2hAX0 + b, X 0 i + hAX0 , X0 i + 2hb, X0 i + c.2.2.2.
Теорема. Многочлен F (X) можно поворотом и сдвигом привести к одному из следующих простейших многочленов:kXλi x2i + c, λ1 , . . . , λk 6= 0, k ≤ n,1kλi x2i + 2pxk+1 , λ1 , . . . , λk 6= 0, p 6= 0, k < n.2ki=1kXi=1Доказательство. Для упрощения записи иногда будем опускать штрихи при переходе к новым координатам, если нет риска путаницы.Делаем поворот, превращая квадратичнуючастьP многочлена в сумPnму квадратов. Получаем уравнение i=1 λi x2i + 2 bi xi + c = 0. Пустьλ1 , . .
. , λk 6= 0, а остальные — нулевые. Сделаем сдвиги вдоль координатx1 , . . . , xk , выделив полные квадраты:x0i = xi +bi.λiЕсли k = n, получили многочлен вида 1n . Если k < n, то получитсямногочлен, в котором первые k координат вектора b равны нулю:kXi=1λi x2i + 2nXi=k+16bi xi + c.Если все остальные bi равны нулю, то получился многочлен 1k . Предположим, что вектор b ненулевой. Сделаем поворот в подпространствеV = Lin{ek+1 , .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
