1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (826555), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Расстояниеrот фокуса до директрисы обозначим l. ИзF. jдиректориального свойства вытекает, чтоrr. cos jll+r cos ϕ = e. Это равенство можно переписать так ( упражнение 43):r=el.1 − e cos ϕЧисло p = el называется фокальным параметром кривой. Это длина радиуса, проведенного из фокуса в точку кривой параллельно директрисе.Если e < 1, то знаменатель не обращается в нуль.
Кривая — эллипс.Если e = 1 (и l = p), то при ϕ → 0 r → ∞. Кривая — парабола.Если e > 1, то r > 0 при cos ϕ < 1e . Это — правая ветвь гиперболы.Полярным координатам точки (r, ϕ) можно придавать смысл и приr < 0: считать в этом случае, что точка расположена на «отрицательном»продолжении луча, то есть считать при r < 0, что (−r, ϕ) := (r, ϕ + π).Упражнение 44: при такой интерпретации мы получим всю гиперболу.18Упражнения 45–51. В каком отношении фокус кривой с эксцентриситетом e делит хорду AB, наклоненную к оси кривой под углом α? Показать, что кривые с одинаковым эксцентриситетом подобны.
Что можносказать о директрисе окружности? Нарисовать кривые r = 1 + cosϕ (кардиоида); r = kϕ (спираль Архимеда); r = eϕ (логарифмическая спираль,e = 2.71828 . . . ). Доказать, что повернуть логарифмическую спираль наугол α — все равно, что растянуть ее в (сколько?) раз.3.8. Параметрическое задание эллипса и гиперболы. ФигурыЛиссажу. Гиперболические функцииПри аффинном преобразовании эллипсы переходят в эллипсы.
В частности, сжатием вдоль осей (то есть преобразованием вида (x, y) 7→ ( xa , yb )канонический эллипс переходит в единичную окружность x2 + y 2 = 1.Параметрическое уравнение окружности x = cos t, y = sin t равносильно основному тригонометрическому тождеству cos2 t + sin2 t ≡ 1.Стало быть, параметрическое уравнение эллипса таково:x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π].Фигуры Лиссажу.
Пусть точка движется по законуx(t) = sin t, y(t) = sin(t + α).Если «сдвиг фазы» (то есть угол α) равен π2 , то получаем параметрическое уравнение окружности, выписанное выше, так как sin(t + π2 ) =cos t. В случае, когда α 6= ± π2 , точка пробегает эллипс, оси которого повернуты на 45◦ относительно начала координат.Упражнения 52–54. Написать уравнение этого эллипса. Указание:разложить sin(t + α) по формуле синуса суммы. При каком α эллипсвырождается в отрезок? Найти площадь эллипса в зависимости от α.Если заставить координаты (x, y) менятьсяс разными частотами n, m: x(t) = sin nt, y(t) =sin(α + mt), то получатся так называемые фигуры Лиссажу.
Такие фигуры можно видеть наэкране осциллографа, если подать на горизонтальную развертку одну частоту, а на вертикальную — другую.Упражнения 55, 56. Найти α, n, m нарисованной фигуры Лиссажу. Нарисовать на компьютере несколько других фигур Лиссажу.Гиперболу тоже можно задать параметрически, если использоватьтак называемые гиперболические функции: гиперболический синус и гиперболический косинус. Они определяются так:19sh(t) =et − e−tet + e−t, ch(t) =.22«Основное гиперболическое тождество» ch2 t−sh2 t ≡ 1 (проверить!)позволяет задать гиперболу (правую ветвь) в параметрическом виде:x = a ch t, y = b sh t, t ∈ (−∞, ∞).Информация. Кривая y = a ch xa — так называемая цепная линия.По этой линии провисает веревка (а не по параболе, как часто считают).Упражнение 57.
Построить графики функций sh, ch и th.Замечание. Комплексная форма тригонометрических функцийsin t =eit − e−iteit + e−it, cos t =2i2позволяет проверять всякие тригонометрические тождества. Упражнение 58: с помощью бинома Ньютона разложить cos 5t по кратным дугам.4. Касательные4.1. Касательные векторы к множеству. Касательное пространствоПусть M ⊂ Rn и p ∈ M . Назовем вектор v касательным векторомк множеству M в точке p, если существует последовательность точекxk ∈ M такая, что xk 6= p, xk → p и угол между вектором v и векторомxk − p стремится к нулю. Множество всех касательных векторов в точкеp обозначают Tp M и называют касательным конусом или касательнымпространством.
Его обычно рисуют сразу сдвинутым в точку p.Упражнение 59. Множество Tp M является конусом в следующемсмысле: если v ∈ Tp M , то для каждого числа λ > 0 λv ∈ Tp M .4.2. Градиент функции многих переменных. Уравнение касательного пространстваТеорию этого параграфа мы изложим не очень строго, строгие доказательства — в курсе мат.анализа.Из математического анализа нам известна формула координатногопредставления дифференциала функции многих переменных через частные производные.
Именно, если функция F : Rn → R дифференцируемав точке p = (p1 , . . . , pn ), то справедлива формула:F (x) − F (p) =∂F∂F(p)(x1 − p1 ) + · · · +(p)(xn − pn ) + o(|x − p|).∂x1∂xn20Слагаемое вида o(|x − p|) означает здесь функцию, зависящую от x,и бесконечно малую по сравнению с |x − p|. То есть o(|x−p|)|x−p| →x→p 0.Эту формулу можно писать через градиент функции F — вектор∂F∂Fчастных производных ∇F (p) = ( ∂x(p), . . . , ∂x(p)):1nF (x) − F (p) = h∇F (p), (x − p)i + o(|x − p|).(5)4.2.1.
Лемма. Пусть поверхность ΩF(p)в Rn задана уравнением F (x) = c. ЕслиF дифференцируема в точке p ∈ Ω, тоградиент ∇F (p) ортогонален любому касательному вектору v к Ω в точке p.Доказательство. Если v = 0, то доказывать нечего. Пусть v 6= 0.Можно считать, что |v| = 1. Рассмотрим точки xk ∈ Ω, xk → p такие,kчто |xxk −p→ v. (Индекс k пишем вверху, чтобы не спутать с номером−p|координаты).
Имеем: F (xk ) = F (p) = c, поэтому из (5) следует, что приk→∞0 = h∇F (p), (xk − p)i + o(|xk − p|),Dh∇F (p), (xk − p)ixk − p E→0,или∇F(p),→ 0.|xk − p||xk − p|DПоследнее выражение стремится к h∇F (p), vi. Значит, это скалярноепроизведение равно нулю. Лемма доказана.Следствие. Пусть поверхность Ω задается уравнением F (x) = c и Fдифференцируема в точке p ∈ Ω. Если у поверхности существует касательная плоскость в точке p, то любая её точка x удовлетворяет уравнению h∇F (p), x − pi = 0, или, в координатах,∂F∂F(p)(x1 − p1 ) + · · · +(p)(xn − pn ) = 0.∂x1∂xn(6)Доказательство. Это — уравнение гиперплоскости, проходящей черезточку p и перпендикулярной вектору ∇F (p).Пример 1. F (x, y, z) = ax + by + cz.
Тогда ∇F (x0 , y0 , z0 ) = (a, b, c) —нормаль к плоскости F = const.Пример 2. F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Касательная плоскость к сфереF = const > 0 в точке (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярна вектору (x0 , y0 , z0 ) =12 ∇F .Упражнение 60. Градиент функции F (X) = hAX, Xi + 2hb, Xi + cравен вектору 2(AX + b).21Пример 3. Формула (6) является частным случаем уравненияy − f (x0 )= f 0 (x0 )x − x0касательной к графику функции f (x) = y в точке (x0 , f (x0 )).
В самомделе, рассмотрим функцию F (x, y) = f (x) − y и положим y0 = f (x0 ).Тогда ∇F (x0 , y0 ) = (f 0 (x0 ), −1) и формула (6) принимает привычныйвид f 0 (x0 )(x − x0 ) − (y − y0 ) = 0, производная — тангенс угла наклонакасательной.Упражнение 61. Пусть поверхность в R3 имеет вид z = f (x, y). Используя (6), доказать: касательная плоскость в точке (x0 , y0 , z0 ) такова:z − z0 =∂f∂f(x0 , y0 )(x − x0 ) +(x0 , y0 )(y − y0 ).∂x∂y4.3. Касательные к кривым второго порядка222yРассмотрим эллипс xa2 + yb2 = 1. Градиент — вектор ( 2xa2 , b2 ).
Пустьточка (x0 , y0 ) принадлежит эллипсу. Согласно формуле (6), касательная2y00прямая удовлетворяет уравнению 2xa2 (x−x0 )+ b2 (x−x0 ) = 0. Раскрываяскобки и пользуясь тем, чтоной:2x20a2+2y02b2= 2, получаем уравнение касатель-x0 x y0 y+ 2 =1a2bУпражнения 62, 63. Касательные к каноническим гиперболе и параболе в их точках (x0 , y0 ) имеют видx0 x y0 y− 2 = 1 (hip),a2byy0 = p(x + x0 ) (par).Укажем способ нахождения касательных, основанный на том, что касательная имеет с кривой второго порядка ровно одну общую точку.Пусть Ω — кривая (или поверхность) второго порядка и X0 — точка, не обязательно лежащая на Ω.
Параметрическое уравнение прямойс направляющим вектором v ∈ Rn имеет вид X = X0 + vt. Подставляякоординаты точки X в уравнение Ω, получаем многочлен переменной tвторой степени. Приравнивая к нулю его дискриминант, получаем условие единственности решения, то есть общей точки.Задача. Найти точки, из которых парабола y 2 = 2px видна под прямым углом, то есть такие точки (x0 , y0 ), из которых к параболе можнопровести перпендикулярные друг другу касательные.22Решение.
Рассмотрим прямую {x0 + kt, y0 + lt | t ∈ R}. Подставляяточки прямой в уравнение параболы, получаем: (y0 + lt)2 = 2p(x0 + kt)— квадратное уравнение переменной t:l2 t2 + 2(ly0 − pk)t + (y02 − 2px0 ) = 0.Приравняв дискриминант нулю, получаем условие касательнойpk 2 − 2ly0 k + 2x0 l2 = 0.Поделим это уравнение на k 2 , получим уравнение на переменную s = kl :p − 2ly0 s + 2x0 s2 = 0, или s2 −y0ps+= 0.x02x0Корни s12 этого многочлена — угловые коэффициенты касательных. Если касательные перпендикулярны, то s1 s2 = −1.
Но произведение корней, согласно теореме Виета, равно свободному члену, то естьp= −1.2x0Это — уравнение директрисы параболы.Замечание. По ходу рассуждения у нас два раза возникали квадратные уравнения, но нам ни разу не понадобилось их решать!Упражнение 64. Из каких точек эллипс виден под прямым углом?Упражнение 65.
Существуют ли прямые, имеющие с КВП толькоодну общую точку, но не являющиеся касательными?Касательная прямая к кривой — приближениепервого порядка. Соприкасающаяся окружность —приближение второго порядка..Задача: окружность какого радиуса R наиболееточно приближает параболу y 2 = 2px в начале координат?Решение.
Центр окружности должен лежать вточке (R, 0). Поэтому уравнение искомой окружности (x − R)2 + y 2 = R2 , или y 2 = 2xR − x2 . «Приравняем» это уравнениеуравнению параболы y 2 = 2px, получим 2xR − x2 ∼= 2px.Поделим на x, получим: 2R − x ∼= 2p. Подставляя x = 0, получаем:R = p.Упражнения 66, 67: получить этим же способом радиусы и центрыокружностей, приближающих эллипс и гиперболу в их вершинах. Подсказка: для удобства вычислений перенести точку (−a, 0), окрестностькоторой исследуется, в начало координат.235. Диаметры КВП.
Сопряженные направления5.1. Диаметр, сопряженный направлению vПроведем внутри окружности несколько параллельных хорд. Очевидно, что их середины лежат на прямой.Оказывается, это свойство выполняется и для всех КВП.Пусть хорды параллельны вектору v. Пряvмая, проходящая через середины хорд (обозначим ее lv ) называется диаметром кривой,сопряженным направлению v. У окружностисопряженный диаметр перпендикулярен v.lvВообще, диаметром кривой второго порядка называется прямая, сопряженная некоторомунаправлению.
(Более общо, диаметром ПВП в Rnназывается соответствующая гиперплоскость.)Упражнение 68: доказать прямолинейность lv для эллипса с использованием следующих соображений: Эллипс — аффинный образ окружности; при аффинных преобразованиях середины отрезков переходят всередины отрезков, а прямые — в прямые.Пусть Ω задается уравнением F (X) = hAX, Xi + 2hb, Xi + c = 0. Выведем уравнение диаметра lv . Формулы справедливы и для ПВП в Rn ,там lv будет гиперплоскостью (прямая в R2 — тоже гиперплоскость).Параметрический вид прямых, парал.X0+ vtлельных v и проходящих через точкуX0 , таков: X(t) = X0 + vt.
Общие точX0.ки этих прямых с множеством Ω соответствуют корням t1,2 уравнения t 7→.X0- vtF (X(t)). Подставляя X(t) в F и раскрывая скобки, получаем:F (X(t)) = t2 hAv, vi + 2thAX0 + b, vi + F (X0 ) = 0.Нам в этом уравнении важен только коэффициент при t, который является «минус суммой» корней. Если X0 — середина хорды, то t1 = −t2 ,что, по теореме Виета, возможно при условии hAX0 + b, vi = 0.Последнее условие можно переписать также в видеhAv, X0 i + hb, vi = 0(7)Но это уравнение, рассматриваемое как уравнение переменной X0 ∈ R2 ,является уравнением прямой (гиперплоскости) с вектором нормали Av.Она и есть искомый диаметр lv .24Упражнения 69–74. Если кривая Ω центральная и u, v — два ненулевых вектора, причем lv ku, то lu kv.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
