1611671589-8b32ec633a68274ab2f981b506c8e32e (826555), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Остальное просто. Теорема доказана.Упражнение 119. Доказать, что сечения поверхности второго порядка параллельными плоскостями имеют одинаковый эксцентриситет.Сечения эллипсоида вращения, перпендикулярные его оси, очевидно,являются окружностями. Однако и у трехосного эллипсоида тоже естькруговые сечения, причем не одно семейство, а два.Покажем это «на пальцах». Пусть a > b > c — длины полуосей эллипсоида.
Будем поворачивать секущую плоскость эллипсоида вокруг оси b.В сечениях будут получаться эллипсы. Одна ось этих эллипсов всегдаравна b, а длина другой оси меняется непрерывно от a до c и снова до a.Ясно, что в какие-то два момента вторая ось также станет равной b, тоесть в сечении получится окружность.Выведем уравнение соответствующих плоскостей. Уравнение эллип222соида имеет вид F = xa2 + yb2 + zc2 = 1.Cфера радиуса b задается уравне222нием G(x, y, z) = xb2 + yb2 + zb2 = 1.Поэтому общие точки эллипсоида исферы удовлетворяют системе уравнений F (x, y, z) = G(x, y, z) = 1.
Вычитая G из F , получаем: общие точкидолжны принадлежать также множеству решений такого уравнения:x2³1³1´1´2 1−+z−= 0.a2b2c2b2Но это — уравнение пары пересекающихся плоскостей, так как знакикоэффициентов при x2 и z 2 разные. (Упражнение 120: выписать уравнение каждой из этих плоскостей.) Окружности — сечения сферы плоскостями — совпадают с сечениями эллипсоида этими же плоскостями.39Согласно теореме 7.5.1, всякие сечения эллипсоида плоскостями, параллельными данным, будут окружностями(возможно, вырождеными или мнимыми). Среди них есть четыре вырожденные окружности — точки. В окрестноститаких точек поверхность, с точностью довторого порядка, выглядит как кусок сферы, такие точки называютсяомбилическими.
У сферы каждая точка омбилическая. У эллипсоидавращения две омбилических точки.Рассмотрим задачу на условныйэкстремум, всегда разбираемую в курсе мат.анализа при изучении методамножителей Лагранжа: найти экстремум функции G = x2 + y 2 + z 2 при222условии F = xa2 + yb2 + zc2 = 1. Сформулируем ее геометрически, пользуясьтем, что G(x, y, z) — квадрат расстояния от (x, y, z) до (0, 0, 0).222Задача. Какие точки эллипсоида xa2 + yb2 + zc2 = 1 ближе всего к началукоординат? Дальше всего от начала координат?Начнем надувать в начале координат сферу — геометрическое место точек, равноудаленных от начала координат. При малых радиусахR сфера не будет иметь общих точек с эллипсоидом. При R = c сфераприкоснется к эллипсоиду в двух точках C = (0, 0, ±c).
Увеличиваясь,сфера будет пересекать эллипсоид по двум непересекающимся замкнутым линиям, которые будут сближаться. Когда R станет равным длинеb средней полуоси, эти линии встретятся в точках (0, ±b, 0) и превратятся в две пересекающихся окружности. При дальнейшем увеличениирадиуса эти окружности снова начнут расходиться и превратятся (приR = a) в две точки A = (±a, 0, 0). После этого весь эллипсоид окажетсявнутри сферы. Итак, искомые экстремумы равны G(0, 0, ±c) = c2 (min)и G(±a, 0, 0) = a2 (max).
Других (локальных) экстремумов нет, так как влюбой окрестности точки P эллипсоида, отличной от A и C, содержатсяточки P+ и P− , такие, что G(P− ) < G(P ) < G(P+ ).Упражнение 121. Найти экстремумы функции F при G = 1.Упражнение 122. Найти круговые сечения гиперболоидов и конуса.Упражнение 123. Доказать, что пересечение параболоида вращенияи кругового цилиндра — плоская кривая, если оси поверхностей параллельны (даже если оси не совпадают).408. Инварианты и полуинварианты. Метод Лагранжавыделения полных квадратовPPВ этом параграфе F (X) = aij xi xj +2 bi xi +c = hAX, Xi+2hb, Xi+c.8.1.
Инварианты I1 , . . . , InПусть χA (λ) = det(A−λE) – характеристический полином матрицы A.8.1.1. Лемма. Если det S 6= 0 и A0 = S −1 AS, то χA0 (λ) = χA (λ). Вчастности, если Q ортогональна, то χA = χQ> AQ .Доказательство.det(A0 − λE) = det(S −1 AS − λE) = det(S −1 (A − λE)S) = det(A − λE). ¤Запишем многочлен χA (λ) в таком виде:χA (λ) = (−λ)n + I1 (−λ)n−1 + I2 (−λ)n−2 · · · − In−1 λ + In .(14)При поворотах X = QX 0 многочлен χA не меняется, значит, I1 , . .
. , Inне меняются тоже. Они не меняются и при сдвигах, так как при сдвигематрица A не меняется вообще. Числа I1 , . . . , In называют инвариантами.8.1.2. Лемма. Ранг симметричной матрицы A равен максимальному номеру ненулевого Ik .Доказательство. Пусть k = rank A.
Приведем матрицу A к видуdiag(λ1 , . . . , λk , 0, . . . , 0). Характеристический многочлен этой матрицыделится на λn−k . Остальное легко следует из формулы (14). Лемма доказана.Упражнение 124. Выразить инварианты I1 , . . . In через симметрические многочлены от собственных чисел матрицы.Упражнение 125*. Число Ik равно сумме главных k-миноров матрицы A. В частности, I1 = a11 + · · · + ann — след матрицы A, In = det A.Для многочлена a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2b1 x + 2b2 y + c в R2 имеем:¯¯¯ a11 a12 ¯¯¯ = |A|.I1 = a11 + a22 , I2 = ¯a12 a22 ¯Для соответствующего многочлена в R3 имеем:¯¯ ¯¯ ¯¯ a11 a12 ¯ ¯ a11 a13 ¯ ¯ a22¯¯¯¯+¯I1 = a11 +a22 +a33 , I2 = ¯+a12 a22 ¯ ¯ a13 a33 ¯ ¯ a238.2. Инвариант Kn , он жеa11 · · · a1n .....Пусть A = . a1n · · · annb1 · · · bn¯a23 ¯¯, I = |A|.a33 ¯ 3In+1 .
Полуинварианты K1 , . . . , Knb1.. . — окаймленная матрица.bn c418.2.1. Теорема. Число Kn = det A не меняется при повороте и сдвиге X = QX 0 + X0 , то есть является инвариантом многочлена F .Доказательство. Замену координат X = QX 0 + X0 можно записать0в следующем «n + 1-этажном» виде: X = Q X , гдеµµ 0 ¶µ¶¶0XXQ X0X=, X =, Q=.1101Соответственно, многочлен F можно переписать в виде F (X) = hA X, Xi.Многочлен в новых координатах X 0 можно переписать так:0000>hA X , X i, где A = Q A Q.(15)Матрица A не обязательно ортогональна, но ее определитель равен ±1.0Поэтому det A = det A. Теорема доказана.Новый инвариант Kn обозначают еще In+1 .Полуинварианты многочлена F — это функции от коэффициентов F , сохраняющиеся при поворотах (но не обязательно при сдвигах).Базовыми полуинвариантами являются коэффициенты K1 , .
. . , Kn в следующем разложении¯¯¯ a11 − λ · · ·a1nb1 ¯¯¯n¯...... ¯X¯... ¯¯ = (−λ)n +Kk (−λ)n−k .G(λ) = ¯¯¯ a1n···a−λbnnnk=1¯¯¯b1···bnc ¯В частности, Kn = G(0) — уже известный нам инвариант.Упражнение 126*. Показать, что Kk — сумма всех главных k + 1миноров, включающих в себя нижний правый элемент матрицы A.8.2.2. Теорема. Числа Kk не меняются при повороте X = QX 0 .Доказательство.µ¶ Многочлен G(λ) можно записать как det(A − λE0 ),E 0где E0 =. В новых переменных будем иметь, согласно формуле0 0µ¶0>>Q 0(15), A = Q A Q, причем Q =.
Тогда E0 = Q E0 Q. Имеем:0 10>>>>A − λE0 = Q A Q − λE0 = Q A Q − Q E0 Q = Q (A − λE0 )Qи определители равны. Остальное очевидно. Теорема доказана.Упражнение 127. Почему доказательство не годится для сдвига?42¯ ¯¯¯¯ a11 b1 ¯ ¯ a22 b2 ¯¯¯¯¯ , K 2 = I3 .Для уравнений КВП в R K1 = ¯+b1c ¯ ¯ b2c ¯Для уравнений ПВП в R3 имеем:¯¯ ¯¯ ¯¯¯ a11 b1 ¯ ¯ a22 b2 ¯ ¯ a33 b3 ¯¯¯¯¯¯¯,K1 = ¯++b1c ¯ ¯ b2c ¯ ¯ b3c ¯¯¯ ¯¯ ¯¯¯ a11 a12 b1 ¯ ¯ a11 a13 b1 ¯ ¯ a22 a23 b2 ¯¯¯ ¯¯ ¯¯K2 = ¯¯ a12 a22 b2 ¯¯ + ¯¯ a13 a33 b3 ¯¯ + ¯¯ a23 a33 b3 ¯¯ , K3 = I4 .¯ b1b2c ¯ ¯ b1b3c ¯ ¯ b2b3c ¯28.3. Полуинварианты простейших многочленовСогласно теореме 2.2.2, многочлен F (X), X ∈ Rn поворотом и сдвигомприводится к одному из следующих видовkXλi x2i + c, λ1 , .
. . , λk 6= 0, k ≤ n,1kλi x2i + 2pxk+1 , λ1 , . . . , λk 6= 0, p 6= 0, k < n.2ki=1kXi=1Окаймленные (n + 1) × (n + 1)-матрицы A(1k ) и A(2k ) изобразим вблочном виде (на пустых местах стоят нули):λ1λ1......λkλkA(1k ) = , A(2k ) = .pcpУпражнение 128. Доказать, что для многочленов 1k , 2k выполненоIk 6= 0, Ik+1,...n = 0, Kk+1 = 0,(1k )Ik 6= 0, Ik+1,...n = 0, Kk+1 6= 0.(2k )8.3.1. Теорема1. Многочлен F (X) можно поворотом и сдвигом привести к виду 1kтогда и только тогда, когда выполнено (1k ). В этом случае числа Kk иKk+1 не только полуинварианты, но и инварианты.432.
Многочлен F (X) можно поворотом и сдвигом привести к виду 2kтогда и только тогда, когда выполнено (2k ). В этом случае число Kk+1не только полуинвариант, но и инвариант.Доказательство. Исследуем многочлен второго типа. Фраза «Многочлен F (X) можно поворотом и сдвигом привести к виду 2k » эквивалентна фразе: «многочлен F (X) можно поворотом и сдвигом получить измногочлена 2k ». Поэтому все что нам нужно — это показать, что у многочлена типа 2k число Kk+1 не меняется при сдвиге системы координат,а у многочлена типа 1k при сдвиге не меняются числа Kk и Kk+1 .0Используя (15), выпишем для многочлена 2k матрицы A и A «доPk2и после» сдвига X 7→ X 0 + v. Ниже bi = λi vi , c̃ =i=1 λi vi + 2pvk+1 ;на пустых местах матриц стоят нули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
