kh_verian_mikroekonomika_promezhutochny_ uroven (825836), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В этих целях удобно рассмотреть упрощенную модель поведения в условиях неопределенности.13.1. Полезность как функция среднейи дисперсии относительно нееВ предыдущей главе мы исследовали модель выбора в условиях неопределенности, построенную с использованием функции ожидаемой полезности.
Другойподход к задачам выбора в условиях неопределенности состоит в том, чтобыописать распределения богатства по вероятностям, являющиеся объектами выбора, с помощью нескольких параметров и придумать функцию полезности,которай определялась бы указанными параметрами. Наиболее известный пример реализации такого подхода — модель средней и дисперсии относительно нее.Вместо того чтобы считать, что предпочтения потребителя зависят от полногораспределения вероятностей его богатства по всем возможным исходам, мыРИСКОВЫЕ АКТИВЫ____________________________________ 2&\_предполагаем, что его предпочтения могут быть должным образом описаны спомощью всего лишь нескольких статистических выводов в отношении распределения вероятностей его богатства.Допустим, что случайная переменная w принимает значения н^ для s = 1, ..., Sс вероятностью rrs. Средняя распределения вероятностей есть просто его среднеезначение:5=1Это формула среднего арифметического взвешенного: возьмите каждый изисходов, взвесьте его вероятностью того, что он будет иметь место, и суммируйте полученные результаты по всем исходам.Дисперсия распределения вероятностей богатства есть среднее значение величины (w — nw)2:sCJw=I ns(Ws — M-w) 2 s=lДисперсия измеряет "разброс" распределения и является подходящей меройстепени имеющегося риска.
Тесно связана с ней такая мера, как стандартноеотклонение, обозначаемое GW, которое является квадратным корнем из дисперсии:Средняя распределения вероятностей измеряет его среднее значение — то,вокруг которого сосредоточено распределение. Дисперсия распределения измеряет "разброс" распределения — то, каким образом оно рассеивается вокругсредней. На рис.
13.1 вы можете увидеть графическое представление распределений вероятностей с различными средними и дисперсиями.В модели средней и дисперсии относительно нее предполагается, что полезность распределения вероятностей, приносящего инвестору богатство ws свероятностью ns, можно выразить как функцию средней данного распределения и дисперсии относительно этой средней, u(\iw, ст^,).
Или, если это болееудобно, полезность можно выразить как функцию средней и стандартногоотклонения u(pw, aw). Поскольку и дисперсия, и стандартное отклонение естьмеры степени риска, характеризующей распределение вероятностей, можносчитать полезность зависящей от любого из этих двух показателей.Эту модель можно рассматривать как упрощение модели ожидаемой полезности, описанной в предыдущей главе. Если существует возможность полностью охарактеризовать варианты производимого выбора с помощью соответствующей им средней и дисперсии относительно нее, то на основе функции полезности для средней и дисперсии можно ранжировать варианты выбора такимГлава 13262же образом, как и на основе функции ожидаемой полезности. Более того, дажеесли распределения вероятностей не могут быть полностью охарактеризованыих средними и дисперсиями, модель средней и дисперсии относительно нееможет служить разумным приближением модели ожидаемой полезности.Примем естественным образом напрашивающуюся предпосылку о том, чтопри прочих равных условиях более высокий ожидаемый доход — это хорошо, аболее высокая дисперсия — плохо.
Это лишь другой способ сформулироватьпредпосылку о том, что люди обычно не расположены к риску.Применим модель средней и дисперсии относительно нее к анализу простой задачи на структуру портфеля активов. Предположим, что у вас имеетсявозможность произвести инвестиции в два различных актива. Один из них —безрисковый актив, всегда приносит постоянную норму дохода //. Этот актив —нечто вроде казначейского векселя, приносящего твердую ставку процента, чтобы ни произошло.ВероятностьОАРис.13.1ВероятностьДОХОДОВДОХОДСредняя и дисперсия относительно нее. Средняя распределения вероятностей,изображенного на рис.
А, положительна, а средняя распределения вероятностей, изображенного на рис. В, отрицательна. Распределение на рис.А более"растянуто", чем распределение на рис.В, а это означает, что оно характеризуется большей дисперсией.Другой актив — рисковый. Представьте себе, что этот актив — вложение вкрупный взаимный фонд, занимающийся покупкой акций. Если конъюнктура фондового рынка высокая, ваше вложение приносит высокий доход. Есликонъюнктура фондового рынке низкая, ваше вложение приносит низкий доход.
Обозначим через ms доход на этот актив при исходе s, а через xs — вероятность наступления данного исхода. Через гт мы обозначим ожидаемый доход на рисковый актив, а через <тт — стандартное отклонение дохода на этотактив.РИСКОВЫЕ АКТИВЫ263Конечно, вам не надо выбирать один из этих двух активов: как правило, увас есть возможность распределить свое богатство между вложениями в оба актива. Если доля вашего богатства, вложенная в рисковый актив, равна х, а долявашего богатства, вложенная в безрисковый актив, равна (1 — х), то ожидаемый доход на ваш портфель активов будет задан формулой:srx = Z (xms + (1 — K)rj)nsss5—15=1= x Z ms7is + (1 — x)rf S ns.Поскольку T.KS= 1, мы получаем— x)rf.Таким образом, ожидаемый доход на портфель из двух активов есть среднееарифметическое взвешенное двух ожидаемых доходов.СРЕДНИЙдоходКривыебезразличияБюджетнаялинияНаклон = -OxЪтСТАНДАРТНОЕОТКЛОНЕНИЕ ДОХОДАРиск и доход.
Бюджетная линия показывает издержки получения большегоожидаемого дохода, выраженные через возросшее стандартное отклонение дохода. В точке оптимального выбора кривая безразличия должна касаться этойбюджетной линии.Дисперсия вашего портфельного дохода задана формулой= I (xmss=\— x)rf —Рис.13.2264________________________________________ Глава 13Подставив в эту формулу полученное нами выражение для гх получим, = I (xms — xrm)2nss=\s= I X2(ms — rm)2nsСледовательно, стандартное отклонение портфельного дохода задано формулойЕстественно предположить, что гт > у , так как инвестор, не расположенный к риску, никогда не будет держать в своем портфеле рисковый актив, еслион приносит более низкий ожидаемый доход, чем безрисковый актив.
Отсюдаследует, что если вы предпочтете направить большую долю своего богатства напокупку рискового актива, то получите более высокий ожидаемый доход, нотакже будете нести больший риск. Это и иллюстрирует рис.13.2.Выбрав х - 1, вы вложите все свои деньги в рисковый актив и получитеожидаемый доход и стандартное отклонение вида (гт, ст). Выбрав х = 0, вывложите все свое богатство в надежный актив и получите ожидаемый доход истандартное отклонение вида (гт, 0). Выбрав х где-то между 0 и 1, вы окажетесьгде-то посередине линии, соединяющей две указанные точки. Эта линия и даетнам бюджетную линию, описывающую предлагаемый рынком выбор междуриском и доходом.Поскольку мы придерживаемся предпосылки о том, что предпочтения людей зависят лишь от средней и дисперсии их богатства, мы можем нарисоватькривые безразличия, иллюстрирующие предпочтения индивида в отношениириска и дохода.
Если люди не расположены к риску, то более высокий ожидаемый доход повышает их благосостояние, а более высокое стандартное отклонение его понижает. Это означает, что стандартное отклонение есть"антиблаго". Отсюда следует, что кривые безразличия будут иметь положительный наклон, как показано на рис.13.2.В точке оптимального выбора риска и дохода наклон кривой безразличияна рис.13.2 должен равняться наклону бюджетной линии. Мы могли бы назватьэтот наклон ценой риска, так как он измеряет пропорцию, в которой могутобмениваться риск и доход при выборе оптимальной структуры портфеля. Еслипроанализировать рис.13.2, то выясняется, что цена риска задается формулойр-5^2-.(13.1)РИСКОВЫЕ АКТИВЫ265Итак, точку оптимального распределения портфеля между надежным активом и рисковым активом можно охарактеризовать условием соблюдения равенства предельной нормы замещения дохода риском цене риска:(13.2)ДС//АЦПредположим теперь, что существует много индивидов, производящих выбор между двумя указанными активами.
Для каждого из них предельная нормазамещения должна равняться цене риска. Следовательно, в равновесии MRS увсех индивидов будут равны: если предоставить людям достаточно широкиевозможности для торговли рисками, то равновесная цена риска для всех индивидов будет одинаковой.
Риск в этом отношении ничем не отличается от других товаров.Идеи, развитые в предыдущих главах, можно использовать для исследования изменений, происходящих с оптимальным выбором при изменении параметров задачи. Применительно к данной модели можно использовать все сказанное о нормальных товарах, товарах низшей категории, выявленных предпочтениях и т.д.Например, предположим, что индивиду предлагается выбрать новый рисковый актив у, имеющий, скажем, среднее значение дохода гу, и стандартное отклонение су, как показано на рис. 13.3.ОЖИДАЕМЫЙдоходКривыебезразличияrf®хСуСТАНДАРТНОЕОТКЛОНЕНИЕПредпочтения в отношении риска и дохода.
Актив с комбинацией риска и дохода у предпочитается активу с комбинацией риска и дохода х.Который из двух активов выберет потребитель: вложение в х или вложениев у? На рис. 13.3 изображены и исходное, и новое бюджетные множества. Обра-Рис.13.3266_______________________________________Глава13тите внимание, что любая комбинация риска и дохода, которую можно быловыбрать при исходном бюджетном множестве, может быть выбрана и при новом бюджетном множестве, так как новое бюджетное множество включает всебя старое. Следовательно, инвестировать в актив у и в безрисковый актив определенно лучше, чем инвестировать в х и в безрисковый актив, поскольку вконечном счете потребитель сможет выбрать лучший портфель.В этих рассуждениях очень важен тот факт, что потребитель может выбирать, сколько рискового актива он хочет иметь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
